kudryavtsev2 (947414), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Следует заметить, что если гладкая поверхность ориентируема «ли неориентируема в смысле определения 29, то она будет ориентиэуема (соответственно неориентируема) и в смысле первоначального «пределення ориентации. Как и раныпе в подобных случаях, мы ие 5удем останавливаться на доказательстве этого утверждения, а также и на математнзации понятия «правила штопора», так как это 1ЕЕ Определение и свойство поверхностное интегралов 187 потребовало бы изложения некоторых топологических методов исследования, что не входит в задачу настоящего учебника.
Эти понятия и свойства, по существу, не используются в нижеследующих теоремах, так как в каждом случае, о котором будет идти речь, можно будет конкретно указать, о каком именно выборе ориентации идет речь. й 51, ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ В этом и в следующем параграфах будут рассматриваться только параметрически заданные поверхности (см. определение 1 в 50.1) и кусочно-гладкие поверхности. состоящие из конечного числа параметрическн заданных поверхностей (см. определение 28 в п.
80.6). Поэтому в этих параграфах для простоты параметрически заданные поверхности называются просто п о в е р х н о с т я м и. 51 1. Определение и свойства поверхностных интегралов Пусть задана гладкая поверхность Е, т' = «(и, о) = (х= х (и, о), у = у (и, о), г = г (и, о); (и, о) ~ тл) (о1.1) — ее непрерывно дифференцируемое представление без особых точек, Π— квадрируемая плоская область и, как обычно, Е, 6 и Р— коэффициенты первой квадратичной формы поверхности 5.
Пусть, далее, на множестве точек «(и, о) поверхности 3 задана функция Ф, т. е. функция Ф(«(и, о)) = Ф(х(и, о), у(и, о), г(и, о)). Иногда функцию Ф будем условно обозначать также Ф(х, у, г) (ср. п. 47.1). Определение е'. Интеграл ДФ(х,у,г) Ю определим равенс«пволс (ем. 50.24) 0 Ф(х, у, г) с(Ж= Ц Ф(х(и, о), у(и, о), г(и, о)) АНГЕС вЂ” )ндибо.
(81.2) в о Этот интеграл называется поверхнос«иным интегралом первого рода. Пусть р = р (и„о,) — другое представление рассматриваемой поверхности, которое задано па замыкании Вт квадрируемой области О„и для которого преобразование (50.4) параметров и, о в и„о, взаимно однозначно и непрерывно днфференцируемо на В и имеет на П не равный нул1о якобиан.
Если Ем Ех и 6, суть й БП Пол«ахнпгтнне инке«раль )вв коэффициенты первой квадратичной формы, соответствующие этому представлению, то ЦФ(х(и, о), у(и, о), г(и, о))у'ЕС вЂ” Е««(ис)о = = ЦФ(х(и,, о«), у(и„о), г(и„с«))Ъ Е, С,— К «)и««)ои (51.3; О, Чтобы в этом убедиться, достаточно в интеграле, стоящем в правой части этого равенства, сделать замену переменных (50.4) и восполь. зоваться формулой (50.18).
Таким образом, поверхностный интеграл первого рода ие зависит от выбора представлений поверхности. Пусть, теперь «,,/ и й — как обычно, единичные координатны векторы, д (т, г) д(г,х) . з(к, у) х„ у, г, и = е„хе,.= и У=— )и) (51.б) ЦФ(х,у,г) с(х«(у и ДФ(х, у,г)с(х«(у, (51.6) чазыеаелгые поверкностныли интегралаии второго рода (при заданном предппаелении паелркности), определяются согласно «рорл«рлал« Ц Ф (х, у, г) с(х с(у = Ц Ф(х, у, г) сов (т, й) «(3, з-~- я и Ф (х, у, г) «(х «(у = Ц Ф(х, у, г) соз ( — т, й) «(3, (51.7) причем, согласно нашим предположениям, нормаль т непрерывно продолжаема на границу области О. Поверхность 5, на которой выбрана единичная нормаль т, обозначим 5+, а поверхность 3, на которой выбрана нормаль †, обозначим через 3 (очевидно,т и — т суть две ориентации поверхности Я). Подчеркнем, что поверхности с нормалями определяются самой поверхностью «с точностью до наоборотэ и зависят от выбора представления поверхности.
Определение 2. Иоеерхносгпные интегралы 199 б1.Л Определение и свойства поверхностные интстрапов где (м, А) и ( — ~,А) — углы между векторами и, й и, соответст- венно, между — ъ, й, За основу этого определения взято интуитивное соображение о том, что элемент площади Ж дащгой поверхности (см. (Ю.24)), помноженный на косинус угла, который он «составляетл с плоско- стью хОу, равен элементу площади с(хе(у этой плоскости (рис.!66), как было бы, если бы речь шла о плошади плоской фигуры и ее про- екции. Интегралы (51.6) будем обозначать общим символом (( Ф(х,у, г)л(хл(у.
Так как (т, й)+( — т, Й) = и и, следовательно„соз(и,й) = = — соз( — ~, й), то из (51.7) получим ) ) Ф(х, у, г) г1х е(у = — Ц Ф (х, у, г) л(х г(у. (51.9) ар Б— д(х, у) д [„, о) и)) (глкги) Й соз(» и) ~и (ф~( ) гиу.гс1 д(х, у) д о) лт Е6 — рл (еихги) поэтому ЦФ(х, у,г) о(хе(у = ЦФ(х,у,г)соз(ъ й)л(Я= а+ Ь Поверхностные интегралы пер- г ного рода не зависят от выбора представления поверхности, поэтому поверхностные интегралы второго рода (51.6) не зависят от вы- 1 бора представления ориентирован- ! яой поверхности но, конечно, е 0 ! (51.8) при данной поверхности 8 и данной функции Ф зависят, вообще говоря, от выбора непрерывной ю и~ ду нормали т на поверхности, т. е.
от выбора ориентации поверхности. Выведем формулы, удобные для вычисления поверхнгктных интегралов второго рода. Предварительно заметим, что из формул (514) (51 5) и (5() 22) следует что 199 а И. Поверхностные интегралы = ) ) Ф [х (и„о), у (и, о), г (и, с )1 соз (т й) усЕ6 — Г» с(и с(о = с = О Ф (х (и, и), у(и, о), г (и, о)) „' ) с(и с(о. д (к,у) о опуская у функций обозначения аргументов, Таким образом, имеем ДФс(хс(у = ДФд("'У) с( ~о (51 10) в+ О и, согласно (51«8), ~Г Фд(х У) ~( (о Г(Фд(У, х) ( ( (51 11) Ь со Иногда интеграл ) 1 Ф с(хс(у обозначается ) 1 Фс(х с(у, а интегв+ Ь рал Ц Фс(хс(у записывается в этом случае в виде О Фс(ус(х.
ь— ь Таким образом, ЦФс(хс(у = ЦФ *У с(ис(о, ЦФс(ус(х = ЦФ У' с(ис(о. Б ! ь о Если поверхность 5 задана явно непрерывно дифференцнруемой функцией г = ((х, у), (х, у) ~~ В„то формула (51.3) принимает внд (см. (50.25)) Ц Ф (х, у, г) (5 = Ц Ф(х.у. ~ (х. у)) )с'1+ ~'„+ Ц (х (у, и а формулы (51.10) н (51.11) — такой внд: ЦФ(х,у,г) с(хс(у =- ДФ(х, у,С(х, у)) ихс(у, + о Ц Ф(х, у, г) с(хс(у= — ЦФ(х, у, Г(х, у)) с(хс(у. 5 о Здесь 5+ называется «верхней стороной поверхности 5» (она соответствует положительной ориентации у поверхности 5 при заданном ее представлении г = с(х, у)), а 5 называется «нижней стороной поверхности 5» (она соответствует отрицательной ориентации — ы). Н.я Определение и свояствп поверхностных интегрплов 191 1.1 й 1 О 1„ О 1 = — 1.1 — 1т,1+ и, и, следовательно а е 1л 1т 1 ФГ!+ 1'„"+1'-„' Ф/1+ 1„+ 1 У 1+ 1'+ 1е поэтому соз (т, 1с) = ) О.
)/с1+ 1г + 19 Отсюда видно, что угол между векторами т и А острый, т. е, вектор т направлен свверхв от рассматриваемой поверхности (см. рис. 166). Подобно определению (61.7) определяются и другие поверхностные интегралы второго рода: Ц 61 (х, у, г) с(у с1г = И Ф (х, у, г) соз (т, 1) с1о, Ц Ф(х, у, г) ф с(г = ) ) Ф(х, )Ч г) соз ( — У, е) Ю, Ь— 5 Ц Ф(х, у, г) с(ге(х= Ц Ф(х, у, г) соз (и„/) 1(3, Ц Ф(х, у, г) с(ге(х = 0 Ф(х, у, г) соз ( — пт„г) сЖ (61 12) Для этих интегралов аналогично проделанному выше получаем Фс(у с(г = — Ф с(у с(г, 0 Фс(гс1х = — Ц Гс(гйх, н- Ь+ ЦФс1ус(г=ЦФ ' с(пс(о, 5+ О Ц Фс(гс(х.= 0Ф ' с(и с(п. а+ о (61.13) Эти названия объясняются тем обстоятельством, что в случае явного задания поверхности з зп ПссвеСсхссссггссце сцстегрссссц сзг тогда 1пп о.с ' = ) ) Ф(х, у, г)Ж, с,-о 5 1'пп о! ' = Ц Ф (х, у, г) с(х с(у.
с,-о (51.14) (б1 1б) Действительно, и Ф(х, у, г) Ю = Ц Ф(г (ц, и)) )/ Егс — рс с(ц с(,— 3 о Ц Ф (г (и, и)) )с Е6 — Гз с(ц с(п; с'с посколькУ спев Зс = Я)ГЕО Е~с(ц с(п гс! о' сю = Х Фс Ц Р ЕΠ— Г' с(цсЬ = с=- ! хц 0Ф(г(цс, пс)) ~/Еб — Р с(цс(о. о Обозначая теперь через ьс(6; Ф) модуль непрерывности функции Ф на замкнутой области О, получим ~ Ц Ф (х, у, г) с(8 — о! " ~ < ~ Я ~Ф (г (и, г ))— ь 51.2.
Поверхностные интегралы как пределы интегральных сумм Поверхностные интегралы могут быть получены также н как пределы соответствующих интегральных сумм. Для зтого возьмем какое-либо разбиение т = (О,.),' !" области О, на замыкании Б которой задано представление г = г(ц, и), (и, и) ~ О, рассматриваемой гладкой поверхности 5. Обозначим через Зс поверхность, задаваемую представлением г= г(ц, п),(ц, и)(- Ос.
Очевидно, что Зс — также гладкие поверхности ! = 1, 2, ..., с,. (Система тз = (Е!)';:~!', называется разбиением поверхности 8.) Пусть функция Ф(г(ц, гс)) = Ф(х(и, о), у(и, и), г(сс, и)) непрерывна на О и (ин пс) ~ Ос, Ф,. = Ф (г (цо о!)). Обозначим через созс (ъ, сг) косинус угла между нормалью ч и ортом Й в точке г(цс, и!) данной поверхнсссти и положим о оо'= ~ ФсспезЗц ос~с= ~ Ф.соз.(ъ, й)псевд,; с.= ! с ! ада Интегралы ао кусочно-гладким ловерхносгям 193 — Ф (г (и ь о,)) Я~ Е0 — Ев с(и с(о < са (6,; Ф) гпез Б. Переходя в этом неравенстве к пределу при 6,+ О и замечая, что 1нп щ(6„.Ф) = О, получим фопмулу (51.14). х,-о Аналогично доказывается формула (Н.15) (произведение Фсоз(ч, й) непрерывно, а значит, и равномерно непрерывно на 0).
Подобные утверждения справедливы н для интегралов второго рода других типов (61.12). У п р аж не н не 1. Локачать формулу (З(ыб). 51.3. Поверхностные интегралы по поверхностям с комическими точками и по кусочно-гладким поверхностям Легко обобщаются определения поверхностных интегралов и на гладкие поверхности, имеющие конечное число конических точек. Пусть для простоты поверхность 5 гладкая, кроме одной конической точки М„ = г(ие, ое) (из ое) ~ 0 Это означает, что существует векторное представление г (и, о), (и, о) ~ Гл, поверхности 5, такое, что для всех (и, о) ~ О, (и, о)+(и„о ), функция «(и, о) непрерывно днфференцируема; г„~с г, + О и ограничено по абсолютной величине.
Пусть е ) О, К. = Ии, о): (и — и,)' — (о — ое)в к" з') — круг радиуса з, и Я,— поверхность, задаваемая представлением г = = г(и„о) при (и, о) ~ Ъ К.*>. Поверхность Ю„очевидно, является гладкой дифференцируемой поверхностью. Определение 3. Если существует предел Игп И Р (х, у, г) с(Я, я с 5 то он называется поверхностным интегралом ~ ~ Ф(х, у, г)Ю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
