kudryavtsev2 (947414), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Теорема б. Для того чтобы непрерывно дифференцируемое векторное поле а было соленоидальным в объемно односвязной области, необходимо и достаточно, чтобы д(ч а = О во всех ттючках области 6. До к а з а тел ь от в о. Если а — соленоидальное поле, то для любой допустимой поверхности 8 имеем Поэтому, беря, например, для любой точки М ~6 в качестве Я сферы с цен~ром в М таких радиусов, что ограниченные ими шары лежат в области 6 (зто имеет место для всех достаточно малых радиусов в силу открытости множества 6), мы видим, что в формуле (52.10) для определения днвергенции числитель дроби, стоящий под знаком предела, равен нулю, откуда и следует, что б(ч а(М) = О.
Необходимость этого условия для соленоидальности поня доказана и даже без использования объемной односвязности области 6. Пусть теперь д)ч а = О в 6 и Б — какая-либо допустимая поверхность, Яс:.6. Обозначим через О допустимую область, границей которой является поверхность 5. Тогда в силу объемной односвязности области 6 имеем Ос:6 н потому в замкнутой области 0 определено и непрерывно дифференцнруемо векторное поде а.
Применяя формулу Остроградского — Гаусса в области О, в силу условия д)ч а = О получим ~~ а й8 =Щд(ч адхдудг=О, о что вследствие произвольности допустимой поверхности Яс:6 и означает солсноидальность данного векторного поля. Теорема доказана. Как отмечалось выше, ~серена Остроградского — Гаусса люжет быть доказана для произвольной ограниченной областв, граннпа которой кусочпогладкая, поэтому н теорема б является справедлнвой, еслв соленондальность векторного поля поннмать в первоначальном смысле этого стона.
52.5. Потенциальные векторные поля В этом пункте поверхность о, для которой справедлива теорема Стсжса, будем называть допустимой. Определение Л. Трехмерная область 6 назьвается поверхностно односвязной, если, какова бы ни была кусочно двалсды непрерывно дифферент(ируетая залиснутая кривая у, лежтт(ая в области 6, су- Б2.д Потенциальные векторные полл и[ествует допустимая поверхность Я, также ледсаи[ая в аблаопи 6 и натянутая на контур у (см. п. 52.3). Если рассматриваемая область 6 выпуклая, то существует очень простой способ натягивания поверхностей на контур.
Искомую поверхность всегда)можно взять в этом случае в виде конуса с вершиной в некоторой произвольно фиксированной точке Ма ~ 6, направляющей которого служит заданная кривая; если р = р (и), О< и < 2п,— представление кривой н га — радиус-вектор точки М„, то искомый конус, натянутый на данный контур, задается представлением г=г +а[р(и) — г,), 0 <и <2п, 0<а <1. Рассматривая и и а как полярные координаты, получим, что представление конуса задано на единичном круге*>, причем единичная окружность у, переходит в заданный контур. При зчом, если исходная кривая дважды куоочно непрерывно ) ) ) дифференцируема, то и полученный конус является дважды кусочно непрерывно дифференцируемым, быть может, с одной конической точкой и для него справедлива теорема Стокса. Таким образом, мы доказали, что всякая выпуклая область (в част- Рис.
170 ности, все пространство) поверхностно односвязна. Примером не поверхностно односвязной области является тор, т. е. область, образуемая вращением круга вокруг не пересекающей его оси (рис. 170). Оказывается, что в поверхностно односвязной области векторное поле потенциально вв) тогда итолько тогда, когда оно безвихре- Теорема 6. Пусть в поверхносп)но односвнзной области 6 задано непрерывна дифференцируелюе векпюрное поле и = (Р, Я, )с). Твида эквивалентны следующие три свойспаа: 1.
Векторное поле а=а(М) является в 6 па)пен)[иальным. 2. В 6 суи[ествует потенциальная функция и=и(М), т. е. такая функция и (М), чпю а =- пгад и, или, что то ясе, с[и = Р с[к+6 с[у+ к де. *) Мы рассматривали только такие представления поверхности =г(п, с), в которых параметры и и о являлись декартовыми координатами точки па плоскоств. Очевидно, не представляет труда получать в нашем случае подобное представление рассматриваемого конуса.
**) Определение потенциальности поля см. в п. 51.1. э а2. Слаларлые а векторные лола В этом случае дла лкбых двух иимск А ~ 6 и В ~ 6 и любой кусочно гладкой кривой АВ, соедтггтвгои1ей в С эпш точки, ~ асЬ"=и(В) — и1А). 3. Векторное поле и = а (И) лвлчегхсч беэвихре м: го1 и = О в 6, или дР дО ду дг" д9 дл дл дР дг дт ' дг де ' Д о к а з а т е л ь с 1 в о. Применим схему: ( ) а аг = ') ') го1 и г78= О. Это верно, в частности, для любой коиечнозвенной ломаной.
Поэтому, если 7 — любая кусочно-гладкая замкнутая кривая, лежащая в 6, то, выбирая последовательность ломаных 1„, вписанных в у со звеньями, стремящимися к аулки мы, согласно лемме п. 47 8, получим ) и йг = Пп ~ ~ и йт. = О. т и П е р в ы й ш а г: 1- 2. Это утверждение, т. е. существование потенциальной функции, доказывается совсршенно аналогично рассмотренному раньше случаю плоской области (см. теорему 3 в п. 47.8), и поэтому мы не буд~м приводить его доказательства. В т о р о й ш а г: 2 — 3.
Утверждение 2 — 3 также доказывается аналогично плоскому случаю: оно означает просто-напросто равенство соответствующих смешанных производных потенциальной функции. Утверждения 1 — т. 2 и 2 -т 3 справедливы и без предположения поверхностной одпосвязностн области 6. Т р е т и й ш а г: 3 - 1. Пусть го1 и = О в 6 и пусть сначала у — кусочно дважды непрерывно дифференцируемая замкнутая кривая, лежащая в 6. В силу поверхностной односвязности области 6 существует допустимая поверхность 5, содержащаяся в6 и ограниченная контуром у Из теоремы Стокса сразу получаем Балл Определение иптегралов, завися:Чил от параметра Теорема доказана.
У и р а ж и е н н е 2. л)оказать, что ~~ (а х Нгай гр) г)З = )гП(ягаа Р х го1 п) ал г)у Ф. 'о Здесь предполагается, что для ойластн 6, ограниченной поаерхностыо 5, спранедлнаа теорема Остроградского — Гаусса. 3 53. СОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 53.1. Определение интегралов, зависящих от параметра; их непрерывность и ннтегрнруемость по параметру Пусть У вЂ” некоторое многкество вещественных чисел, гр(у) и чу(у) — две функции, определенные на множестве у, гр(у) ~(Ф(у) и функция 1(х, у) определена на множестве ((х, у): у ~ У, х ~ [ч'(у), ф(у))).
Интегралы вида Ф Гт1 Ф(у)= ) Г(х, у)г(х т 1у) (53.2) Ф(у)= (1(х, у)г1х. и Если множество У является множеством натуральных чисел 1' = (1, 2, ..., и, ... ), то, полагая 1'(х, и) = )„(х), п = 1, 2, „интеграл (53.3) можно переписать в виде ~) (х)г(х, п=1,2, ..., т. е. получаются интегралы от функций некоторой заданной последовательности. Мы рассмотрим случай, когда множество 1' представляет собой отрезок (ц, ()!, функции гр(у) и ф(у) нспрерывпы на этом отрюке и ~р(у) ~< ф(у), у~ (а, р). Пусть графики функций гр(у) и ф(у) и, быть называются иитегралплпб зависяггргмп от парил1еглра, а переменная у обычно называется паралгетром. Часто встречается частный случай такого типа интегралов, когда функции гр и чр постоянны, т.
е. интегралы вида 2!з Э од Соостоеиип«е интеероен, еовистияие от параметров может, отрезки прямых у = а и у = () образуют границу ограниченной областп 6 (рис. 171). Очевидно, 6 — квадрируемая область (см. п. 44.2), элементарная отяосительно оси Ох (см. и. 45.1). В этом случае множество (53.1), на котором определена функция 1(х, у), является замыканием 6 указанной области 6: 6=((х, у):сс < у <)), «р(у) (х< ф(у)). (53.4) У В дальнейшем мы изучим свойства функции Ф (у) (ее непрерывность, правила ее дифференциро- С 4«(У1 ванна и интегрврования) в зависимости от свойств функции 1(х, у) и функций «р(у), «)((у).
Некоторые «е из этих свойств были получены раньше при изучении соответствующих свойств кратного интеграла. Так, например, лемма, доРис. 171 казанная в п. 45.1, дает условии, при которых интеграл, зависящий от параметра, является непрерывной функцией этого пар а- метра. Перефразируем здесь эту лемму в обозначениях настоящего параграфа в виде теоремы.
Теорема е. Если 4унк((ия 1'(х, у) непрерывна на зал(ыкании 6 обласп(и 6 (см. (53.4)), то функция Ф (у) непрерывна на отрезке (а, Р). Утверждению этой теоремы можно придать следующий вид: Пн 4 (у! 4 (уг У- Уо 1пп ) 1 (х, у)«(х= ) Вш 1(х, у)((х. (53.5) У' т(уг Поп Е(угу У У Действительно, из теоремы 1 следует, что предел, стоящий в левой части равенства (53.5), равен Ф(у,), а в силу непрерывности функций «р, ф и 1, правая часть равенства такгке равна в(у.> !" (х, уо) «( =Ф(у ). т (Уог В частности, для и(пеграла (53,3) имеем о о 1пп ~ ) (х, у) «(х =. ~ И(п ((х, у) «(х, У Уо а и У Уо т.
е. в этом случае возможен предельный переход под знаком интеграла. ЭЭХ. Определение лнтегрс,тса, есвосееянк от лсрометра 2!7 В теореме о предельном переходе под знаком интеграла можно ослабить требования, накладьшаемые на функцию )(х, у), потребовав вместо ее непрерывности по совокупности переменных, лишь не- прерывность по одной переменной и равномерное стремление к пре- делу по другой. Теорема 2. Пусть функция !(х, у) определена для х~[а, Ь] и у~ У', непрерывна по х на [а, б[ при любол) фиксированном у~ 1'.
Твида если при у -~- уво' функция [(х, у) равномерно на отрезке [а, Й стремшпся к функции ц)(х) (см. п. 39.4), то ь .о !пп ~ 1(х, у) с[х = ~ ц) (х) с[х. У У„ о Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем какую-либо последователь- ность у„~ )', и = 1, 2, ..., такую, что 1!ш у„= у„тогда (см. упражи оо нение 5 в п. 39.4) последовательность ср„(х) =['(х, у„) будет равномер- но на отрезке [а, б[ стремиться к функции ц(х), отсюда следует (см. п. 36.3), во-первых, что ц)(х) непрерывна и, следовательно, ин- тегрируема на отрезке [а, Ы, а во-вторых, что ь ь н Гйп ) [' (х, у„) дх = [пп ) ц) (х) с[х = ~ ц) (х) с[х, о сс и со о о о и так как зто верно для любой указанной последовательности (у„), то теорема доказана.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
