kudryavtsev2 (947414), страница 41
Текст из файла (страница 41)
(з — в) Г(з — н), (54.35) н прн любом з)0 всегда можно выбрать число н так, чтобы Оч, з — гг~(1 (и О, 1, 2, ...), и тогда значение Г(з) с помощью формулы (54.35) будет выражаться через значение гамма-функции в некоторой точке промежутка (О, Ц. Иначе говоря, зная значение гамма-функции на промежутке (О, Ц, можно найти ее значение в любой точке. Заметим еще, что Г(1) = 1 и, следовательно, в силу формулы (54.35) Г(н + 1) = н(, тем самым гамма-функция Г(з+ Ц является продолжением функции з(, определенной только для целых з = О, 1, 2, ..., на всю полуось з ) — 1 вещественных чисеч.
Из свойств бета-функции В (р, гг) отметим следующие. ф 54 !1есобстеелные иитеграяы, зависящие ат лаРаыетра 1. Для л!с!бых р» 0 и д» 0 (54.36) в(р, д)=в(д, р). Чтоб!ы в этом убедиться, достаточно в интеграле (54.30) сделать замену переменного 1 = 1 — х. 2. Для любых р»0 и д» 1 В(р,д)= ' ' В(р,д — 1). Р+Π— ! (54.37) Действительно, интегрируя по частям (54,30) и замечая, что хя(1 — х) †-" =х -'(1 — х) -з †хе †'(1 — х) - ', получим яя яя(! — я)е ' !' ! с( В(р, с)) = ) (1 — х)во ! + о ') хи(1 — х)о-з с(х Р о ! — ) хи — ' (1 — х)е- !с(х = о — 1" о —,(1 ),,д о †! 1 Р о В(р с) 1) ~, В(!! с)) откуда следует (54.37), а в силу симметрии и (54.38).
3. Для любых р» 0 В(р, п)=В(л, р)= ' "'(л ), и= 1,2, Р (р+ !)...(р+ л — 1)' Эта формула получается последовательным применением формулы (54.37), если только заметить, что ! В(р, 1)= 1'хл-! ( = 1 Р Если тяе и р= !и †натуральн число, то (л — 1)! (юл — 1)! В(л1, и)= — ' — —. (я!+ л — Ц) Ат!алогн н!о, в силу симметрии (см. (54.36)), для л!обых д» О и р»1 В(р,4)=„+,', В( — 1,4) (54,38) соса эа р ми р 239 «р — ! Г(р+д) ~ „, ««= с> +сО +сО >р-! Й ~ ур+о — ! е — «>+и р!(у (54.40) В интеграле, стоящем в левой части этого равенства, сделаем х замену переменного « = — ; +СО ! «р — ! !Й= "хР-'(1 — х)о-' г«х=В(р, д). (54.41) «! + !)р+о о о Для вычисления правой части равенства заметим, что +ОО +СО ' гИ ~ ур+о-! е-!'+о»хе«у= о о +с:О +со = !пп ) !' !(«) ур+о-! е-!'+'! р !«у.
(54.42) !" +о о ! Действительно, обозначая +СО Ф(«, $) = ур+о — ' е «с+с> р!«у Между функциями В(р, д) и Г(з) существует связь, которая устанавливается формулой В(р, г«)= Р- ~, р)0, д >О. (54.39) г0» о)' Докажем эту формулу, следуя мегоду Эйлера. Сделаем вфор. нуле (54.31) замену переменного х=(1+1) у, Г) 0: +сю ус — ! Š— (>+>> > о(у Г«х) г «! -«- !)» и поло>ням з=- р+ д, р) О, с)) О, тогда Г О+с>) — ~ р+о-! е-!'+о р!(у «! + !)р+' о Помножнм обе части этого равенства на (Р ' и проинтегрируем по ! от О до + сю: 240 р а4. г1есоаетееннеге интегралы, еаеиенгние ат нараиегра нз оценки 0<Ф(1, 0) — Ф(с, ~) уе+с — 1 е — тг(у о ~ 1 -'Ф(1, В) г < ) т' — ' Ф((, О)а[1 о о заключаем, что при $-++О функция Ф(г, в) стремится к Ф(1,0) равномерно относительно( ~ (О, + оо) н что интеграл ')г 'Ф(с, $) г(г о равномерно сходнтся относительно Е, нбо сходится ннтеграл (54.40).
Следовательно, в левой части (54.42) можно перейти к пределу под знаком интеграла. Далее, 4 со +СО гр-г г(1 уе+е-1 е-О+г) те[у о +СО +со ') уи+с-'е-те(у ~ Р-' е-гиду, $)0, р>1, д>1. (54АЗ) о Перестановка порядка интегрирования здесь возможна в силу +СО того, что, во-первых, интеграл (е-' ~ уг+е-' е-и+пег(у равномерно сходится по г на любом отрезке [О, а[, что следует нз равномерной оценки подынтегральной функцип гр-' уе+е-' е-и+от <ае-' уг+с-' е-т, 0 <(<а, +СО н сходнмости интеграла ус+С-' е-т г[у; во-вторых, интеграл +СО уи+е ' е-т ') сс-' е-'т й о равномерно сходится по у иа любом отрезке [з, Ц, $) О, что сле- дует из равномерной оценкн подыптегральной функции )не+ с- м е-т (е-' е — 'т < Ье+с-' Р-' е-ы н сходимостн интеграла +СО гр-' е — н М; о Я.5.
Зттяеннння о яратнчя стнтегрняня 241 в-третьпх, интеграл, стоящий в правой части равенства (54.43), существует: делая замену переменного 1у = и, получим +со +сО л ус+«-~ е-х Ду ~ (е-' е-т «Ц= о +се = Г(р) ) ус-' е-т с(у. (54.44) Таким образом, перестановка порядка интегрирования в (54.43) следует из теоремы 5 п. 54.2 (отметим, что здесь' подынтегральная функции не отрицательна). Наконец, +сО Опт ') уе-' е-я«(у = Г(с7). г тО (54 А 5) Из форчул (54.40) — (54.45) получаем формулу (54.39) для р ~~ 1, Ч)~ 1.
Если теперь р > 0 и д > О, то по доказанному Г(р+1) Г(д+Ц г (я+«+2) Применяя с)х1рмулы (54.34), (54.37) и (54.33), мы получим формулу (54.39) в предположении р ~ О, д ) О. 54.5. Замечания о кратных интегралах, зависящих от параметра Е (у) = 1 1 (х, у) г(6. (54.46) Здесь функция )(х, у) определена на открытом множестве 6~Е и интегрируема по Риману на любом кубируемом множестве Г, таком, что Г~б, а параметр у пробегает некоторое множество т', которое может быть, например, подмножеством гп-мерного пространства Е'", а интеграл (54.46) понимается, вообще говоря, в несобственном смысле.
Мы рассмотрели выше «одномерныея интегралы, зависящие от параметра, т. е. случай, когда и переменная интегрирования и параметр являлись числовыми переменными. Эта теория без особого труда обобщается и на кратные интегралы, зависящие от «многомерного» параметра, т, е. на интегралы внаа й Я. Нессбственные интегралы, вависясние ат параметра Интеграл (54.46) называется аходлснссмсл, если при каждом фиксированном у,(- т' интеграл ) ((х, у,) с(б сходится. В случае и > 2, это, как известно (см.
и. 48.3), эквива- лентно условию, что сходится интеграл ) (((х, у,)1с(б. Сходящемуся интегралу (54.46) (и любой последовательности кубируемых множеств 6„, А = 1, 2, ..., монотонно исчерпывающей множество 6) естественным образом сопоставляется ряд, суммой которого он является: ) 1(х, у)с(б= = ) )(х, у)с(б,+ ~ ) ((х, у)с((бе+, 6„). (54,47) Подобно одномерному случаю определяется и равномерно сходящийся интеграл: сходящийся интеграл (54.46) называется равномерно сходлскилтся, если, какова бы ип была монотонно исчерпывающая открьпое множество 6 последовательность кубируемых множеств 6„, )г = !, 2, ..., н каково бы нп было числов ) О, существует номер Ав, зависящий от данной последовательности н числа е, такой, что для каждого номера тс ~~ Ке и всех у ( У справедливо перавенство ~ 1 / (х, у) с((6 б ) ~ ( Если интеграл (54.46) равномерно сходится на множестве б относительно параметра у'- У, то ряд (54.47) также равномерно сходится на 6.
Для кратных интегралов, зависящих от параметра, остаются в силе теоремы об их непрерывности, днфференцируемости и ннтегрируемости, аналогичные доказанным выше. В этом легко убедиться, н мы не будем на этом подробно останавливаться. Встречаются интегралы, зависящие от параметра и более сложного вида, у которых ие только подынтегральная функция (, но н множество 6, по которому происходит интегрирование, зависит от параметра 6 = 6(у): (54.48) бе.й Зпиечанпа о кратных интегрп»п», апаигяжих от ппранетрп 243 Примером такого интеграла в одномерном случае является интеграл ! Г(у)=- ) ",, а< у~Ь. а Здесь 6(у) состоит из двух (кроме случая у = а и у = Ь) интервалов (и, у) и (у, Ь), менявшихся с изменением параметра у.
Рассмотрим аналогичный пример в и-мерном пространстве. Пусть б — открытое множество в Е", функция р = р(х) непрерывна в б, р = р(х, у), х~б, у(-Е" и и — некоторое число. Интеграл (у) = ) ( ~,~~ (94.49) называется интегралам пшпо потенциала и является интегралом типа (54.43), так как в нем множеством, по которому производится интегрирование, является множество 6'~(у), зависящее оту(в формуле (Ь4.49) мы обозначали, как зто обычно пишется, множество, по которому производится интегрирование, просто черезб). Если и = ! и и = 3, то функция (54 49) называется ньютпоноиыл потепцпплолт.
Задача 24. Доказать, что если 6 — иубируемое множество и если фунидия р =- р(х) непрерывна еа 6, то интеграл (й4 49) нри а < и непрерывен на всем нростраистне. ГЛАВА СЕДЬМАЯ РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ ф 55, КЛАССИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 55.1. Определение ряда Фурье. Описание основных задач Определение 1.
Ряд вида — "'+ ~~)' а„соз пх+ Ь„з|п пх называется тригонометрическим рядом. Частичныс суммы тргюгонометрического ряда являются линейными комбинацггямюю функций из системы 1, созх, з|пх, соз2х, з|п2х,..., созтт, в|пах,... (55.2) созпхсозтх йх = О, юг+т, з|п пх яп юпх йх = О, и+ и, соз пх ып тх сюх = О, юя, п=-О, 1, 2, ..; (55.3) 'г Происхождение термина «ортогоиалыюостьт будет разъисгюегго и п. 58.3.
Определение 2. Система функций (55.2) называется тригонолюегпрической системой. .Ююелюлюа. Трююгонолюеюююрююческая система (55.2) имееяг следуюоюцие свойства: 1) инюпеграл по отрезку [ — т, и) опг произведения двух различных функций воюй системаю равен нулюо (юипо свойство нагьиюепюся аюю|стволг ортогональносяюи аг системы (55.2)), т. е.
Ж1. Определение ряда Фурье ь 2) ) созепхе[х = ~ э|пег!хдх=-л, и = 1, 2, .... (55А) Док а за тел ьство. Например, имеем « « 1 Г э[ и пх м! п тх йх = — ~ [соз (п — т) х — соэ (и+ т) х) дх = ) е|п (и — т) х|'! мп (н+ т) х~ =О. 2 (« — т) ! 2|я+ м) Аналогична доказываются и два других равенства (55.3), Докажем теперь (55.4); 1 соэепх )х= —, ~(1+соэ2пх)йх= л, — Л « « 1 з)пе пх дх = — ~ (1 — соз 2пх) с[х = л. 2 Лемма доказана.
Теорема 1. Лусгпь !" (х) = 2 + ~ь а, соэ!2х+ Ь«э|пах (55.5) «=! и ряд, стони[ай в правой ности этого равенства, сходится равномерно на отрезке [ — л, л[, тогда аь = ~ 1(х) йх 1 а„= — ~/(х)созпхе[х, Ь„= — ~ !(х)з!ппхе[х, п=1,2,....(556) 1 Г 1 « До к а з а тел ь ст во. Поскольку ряд, стоягднй в правой части равенства (55.5), сходится равномерно на отрезке [ — л, л[, а его члены являются непрерывными фупкцияын на этом отрезке, то и сумма ряда )(х) непрерывна на отрезке [ — л, л[, а сам ряд мож- но почленпо интегрировать (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
