kudryavtsev2 (947414), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Рассмотрим теперь вопрос об интегрировании интегралов (33.2), зависящих от параметра. Теорема 3. Пустпь облаем)ь 6 элементарна относшпельно обеих осей координат, т. е. 6=((х, у):и(у<[), р(у)<х<Ф(у))оо =((х, у):а<х<Ь, ц,(х)(у()[),(х)), еде функции ~р иф непрерывны на отрезке [а, [!), а функции тр, и ф, на отрезке [а, б[. Тогеда, если функция )(х, у) непрерывна на замыкании 6 области 6, то Р эГФел 1 ьГч )к) [о(т)гт=[ ! П т)г гт — [[ ! П.т)гт1г*- а о т(у) о о,ск) = И ((х, у) с!х с[у.
(33.б) Очевидно, теорема 3 является перефразировкой соответствуюшей теоремы о сведении кратного интеграла к повторному (см. п. 45.11. ") Здесь уо — число вли один ив сиивслов: оо, + оо, = или — оо, Е за Сойтетвеннл~е интеераялн зависящие от лараиетрав ?18 53.2. Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра При изучении дифференциальных своиств интеграле !, зависящих о! парамщ ра, рассмотрим сначала интегралы вида (53.3). Хеорелта 4 (правило,Пейбкттци). Если Функ!(ит! ) (х, у) и е. час?анан произ?год?а!л — ' — нет(рерывны е за икнулгтгм прямд)(х. У) д! реоллнике ?х=((х, у): а ~х.«(г, а ~ у «Н, пго тррнк?(ин л цтг () ) = ) ( (х, у) с(х биффи?грен!(ирт?егяа на ощрезке (а, ()) и дя (у) !"?г! (х, у) ду ( ду бх.
Таким образом, чтобы прн сделанных предпологкениях продифференцировать интеграл, зависящий от параметра, надо продифференцировать подынтегральное выражение. До к аз а тел ьство. Пусть у~(а,))] и у+ Ьу~(ц, Я, тогда ~'(у+ ду) — Ф(у) ! ( =д ) (/(х, у+Лу) — )(х, у))т(х= д? (х, у + ОЬ г) С(Х, дг Здесь применена теорема Лагранжа о среднем. Обозначая теперь через играй; — ) модуль непрерывности функ. д)т ду) дт' ции —, получим ду' ф(у+ау) — ~(у) ( д?(х, у) ( ()д?(х, ъ Ч йду) ду ,(х «) л — — ' — 1ах ««) иг(?гу; — )ах - иг~бу; — )((г — а).
(53.7) Яд Пти)»Фгиенчияовттние интегралов. вавиентиик от ноооиетяи г(з поэтому дат дти дт ди дт дь + . +, ду ду ди ду до ду ' Согласно правилу дифференцирования интеграла по пределам ин- тегрированна (см. и. 29.2), имеем дл дт" ди Г( ' ))' дл а из доказанной выше теоремы 4 следует, что (53.11) и Подставляя (53.10) и (53.11) в (53.9) н полагая и = ту(у), о = ф(у), получим формулу (53.8).
Теорема доказана. (53.9) В силу равномерной непрерывности функции — на прямод/ д угольнике Л имеем )ни от(Лу; — 1=0; поэтому из (53.7) получаегл ау ь( ду/ ь 4'(у+ ау1 — 'ь(у) Г д((хч у) 'ип т,) ' дх' тт и ду Таким образом, теорема доказана. Опа легко обобщается и на случаи интеграла, завнсише~о от параметра общего вида (53.2). Теорема 4'. Пусть 4нункиия 1(х, у) и ее настлан ттроизвоЭная.
— — непрерывны на прямоугольнике д) (н, у1 ду Л=((х, у): а к', х < Ь, а < у < р), пусть бе: Л (см. (53.4)) и пусть д)тункт(ии ту(у) и ф(у) имеют лтептерьтлиье ка оптрезке (х, Я производные, тогда и интегрил (53.2), завис»а(ий от пара.нетра, птакже имеет производную на оправке (а, цй причем епо т= ~3 д„', (х — 11 (у),у) — „, +(!Ф(у),у) „, . (53.8) Е Г д((х у) дте (у) д9 (у) ел Доказательство.
Рассмотртгм функцию о г(у,и,о)=Г)7(х,у)дх, а<и<Ь, а<о<Ь, ми=у» 5. й од дт" Фунсцня г имеет непрерывные частные производные '— ' дт ди — и связь между функциями Ф и Е устанавливается формулой (р()') = г ()' ту (у) '1 ()')) 4 ва Нвтавттвгнные интегралы, зависла(ав от параметра 220 5 54. несокстВенные интегРАлы, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 54.1. Основные определения. Равномерная скоднмость интегралов, зависящих от параметра 51ы будем рассматривать интегралы вида ь Ф(у) = ) 1(х, у) дх, а (54.1) бт (уа) = ) 1(х, у,) дх а сходится, то интеграл (54Л) наялвается сходящимся на множестве У. В дальнейшем, если не оговорено что-либо другое, будем рассматривать только случай, когда: 1) — со ( а ( Ь ~( + оо; 2) при любом у ~ У функция 1(х, у) по переменной х интегрируема по Римапу на кикдом отрезке (а, т11, где т1 таково, что а ( т1 ( Ь. В этом случае сходимость интеграла (54.1) на множестве У означает, что при любом у ~ У существует предел ь 1пп ~~(х, у)дх=) ~(х, у)дх а-ь — о„ а (если 5 =+ со, то Ь вЂ” О= + со).
Это эквивалентно условию, что при любом фиксированном у ~ 'т' 11пз ) 1(х, у) с(х = О. ч-ь-о„ 'Таким образом, интеграл (54.1) сходится на множестве 1л тогда и только тогда, когда при каждом твьиксированном у~)т для любого числа з)0 существует такое т1в=а)в(у)(Ь, что если тм < т1(Ь, то ь ~ ) 1 (х, у) дх ~ ( з. (54.2) где — со а., а ( Ь < + оо, переменная у принадлежит некоторому множеству 1' и интеграл (54.1) при некоторых (в частности, при всех) значениях у является несобственным.
Определение л. Если для каждого у, ~ У интеграл 54.!. Равнолерноя сходимость интегралов 221 Наряду с интегралом (54 1) рассмотрим ряд со и+! [(х у) "". л=~ чв (54.3) Пусть а — ! ЧГ,1Г ча оа(У) = ~х~,, 1 [(х, У)г(х= 1 [(х, у)ех ь=~ тл — частичная сумма рядо (54.3). тогда, если интеграл (54.1) сходится (соот- ветственно равномерно сходится) на множестве у, то сходится (соответст- венно равномерно сходится) на множестве У и ряд (54. 3), при этом э чл [ ! (х, у) г(х = 1!гв [ / (х, у) г(х = 1нн За (у). а со а и со Определение равномерной сходимости шггеграла можно перефразировать еше следуюшим образом. Определение 2'.
Сходящийся на лгножестве )' инпгеграгл (54.1) называется равнолгерно сходящимся на этол лтожестве, если !г [ип зир ~) [(х, у)дх ~ =О. г (54.4) Чтобы сформулировать условии, при которых для несобственных интегралов, зависящих от параметра, справедливы теоремы, аналогичные доказанным в предыдушем параграфе ддя собственных интегралов, зависящих от параметра, полезно понятие так называемой равномерной сходимости интеграла. Будем предполагать, как было отмечено, что интеграл (54.1) удовлетворяет вышеуказанным условиям 1 и 2.
Определение 2. Сходящийся на лигоэсестве )' интеграл Ь ! (х, у) дх наэываегпся равномерно сходящимся на втом а множестве, если для любого е)0 сущеспгврет такое т[а(Ь, что для всех у~У и всех ть гиакгсх, что т), <т[([г, выполняепюя Ь неравенспгво ~ ~ )'(х, у) дх ~ ( и. Приведенные определения напоминают соответствующие определения для рядов (см. и. 36.1 и 36.2).
Между ними действительно есть большая свяэь. Пусть (тм) — некоторая последовательность такая, что Чт = в, тм ~ [а, 51, и = 1, 2..., н Иш г„, = Ь. 4 И. Петааттаепнме интегралы, заапспщае ат параметра Ф(у, у!)=-~ )(х, у)г(х а при т! — Ь вЂ” О к функции (64.1). Действительно, последнее означает (см.
и. 39.3), что для любого е ~ О сунгествует такое у)л ~ Ь„что для каядого нн удзвлетворяюшего условию т1, «( Ч( Ь и всех у~ 1' выполняется неравенство ) Ф(у) — Ф (у, 1!) ((3. (54.5) Но л у л Ф(у) — Ф(у, т!)= ) К(х, у)т(х — $ /(х, у)г(х=) р(х, у)г(х, поэтому выполнение неравенства (54.5) эквивалентно равномерной сходимости интеграла (54Д). Пример. Рассмотрим интеграл Ф(у)= ) уе — "уг(х. а (54.6) За множество У возьмем полуось у«~ О (при любом ус." О интеграл (54.6) расходится).
Легко убедиться, что интеграл (54.6) сходится на У. Для любого о ..у О интеграл (54.6) на промежутке ! и, +оа) сходится равномерно. Действительно, в этом случае легко проверяется, например, выполнение условия (64.4); + лл 1!гп ьнр ~ ) )ге-.туг(х~ = Нрл зоре чу= йгп е «ч.=О т~ +ал уЛл +00 ула Э +аа Действительно, если интеграл (54.!) равномерно сходится на лиюжестве У в смысле определения 2, то для любого е ) О сушеству- ет такое И, С Ь.
что выполняется неравенство (54.2) прн у~ 1' н т!л ««у! С Ь и, следовательно, зцр~ ) !'(х, у)г(х~ < е, т),.ч„т)<" Ь, уз у откуда и следует (54.4). Обратно, если рассматриваемый интеграл равномерно сходится на множестве 1' в смысле определения 2', то из условия (54.4) для любого з > О следует существование такого числа т!л, что при у ~ У и т)л ( т! ( Ь выполняется неравенство (54.2). Наконец, заметим, что равномерная сходимость на множестве У интеграла (54.1) означает просто равномерное стремление на мно- жестве 1' функции Я.1. Рооноиернон схоонмоеть интегралов На всей же полуоси У интеграл (54.6) не сходится равномерно.
В салтан деле, +СО Итп знр ~ ') уе- хдх~ =- 1нп знр с — 'и = 1, +оь у >О +со у>0 т. е. на множестве т' условие (64.4) не выполняется. хеорелта 1 (признан Вейерштрасса). Если суи(естинует функция ту(х), определанная на ттролткутке!а, Ь) и интегрируемая по Риману ни каясдом отрюке 1а, т)1, где а( т1 н" Ь, такая, что: 1) 11(х, у)( <ту(х), где а <х(Ь, у~)г; 2) интеграл ) <у(х) их сходится, и то интеграл (54.1) равномерно сходится на множеапее У. До к а з а тел ь с т в о. Прежде всего, в силу признака срав- нения (см.
п. 33.3 и 34.3) интеграл 154.1) абсолютно, а значит, и просто сходится при любом у ~ У. Далее, в силу сходимости интеграь ла )ту(х)дх для гнобого числа е ) О существует такое т), ( Ь, что а если т)ь ~~ т) ( Ь> то )ту (х)дх( е. Тогда, в силу условии 1 теоремы н ь ь ь ~ ~ ) (х, у) дх ~ < ~ 1 ~ (х, у) ~ дх ( ~ ту (х) т(х ( е, т)е ~ т) ( Ь, у С 'т', ч 1 а это и означает равномерную сходимость интеграла ~ 1(х, у) е(х на О множестве У. Теорема доказана. С помощью признака Вейерщтрасса, например, сразу устанавливается, что интеграл их 1+ хе+ у' равномерно сходится на всей вещественной оси — оо (у (+ оо. .т оь йх Действительно, интеграл ) +, сходится, и при любых х и у выполняется неравенство 1 ! 1+хг+ух 1+ хь В я.
Несобственные интегралы, эависяи(иа от параметра 224 У и р аж наине !. Пусть функпии )(х) и а(х, у) непрсрылны по х пусть функпия а(х, у) монотонно и равномерно относительно у С)' стремитдя (х, у ся к нулю прн х-е оо, имеет непрерывную проиэиодную Е ' у), х > а, дх +со .~-со у~у, и пусть интеграл ) т(х) дхсходится,тогдаинтсграл ) )(х)2(х,у)дх а И рааномсрио сходится на множестве у. 54.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
