kudryavtsev2 (947414), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Пусть, наконец, 6 — область н пространстве Е,",„, и Зс: 6. При выполнении этих предположений имеет место следующая теорема. Теорема 3 (Стоне н>,). Пусть функции Р, Я и )с непрерыв- дР дР дО дЯ дА' дя ны вместе со своими ггроизводными —, —, —, —, —,— ду ' д» ' д» ' д» ' д» ' дт в области 6 и пусть и =-(Р, г~, гс), тогда ') а г(е = О го1 а ггпу, з (52.14) т.
е. циркуляция векторного поля по контуру 7 равна потоку вихря зпюго поля через поверхность Я, ограниченную контуром у. В координ тной форме зта формула имеет вид 1Рдх+аду+ йдг= сова сокр д д д» ду Р соз т д д» "г Д. Стокс (!819 — 1903) — английский математик н ыс»аннк. Пусть  — дважды непрерывно диг)гференцируемяя поверхность без особых точек в пространстве Е,",„ и е = е(и, о), (и, и) г гл, — ее представление, г) — плоская ограниченная область, для которой справедлива г)срмула Грина.
Пусть у, — гголожительно ориентированный контур, ограничивающий область )), и и = гг(1), о = и(1), а (1 < Ь, — его представление. Пусть 628. Формула Стокса 202 ) Р Их + Д т(у + Й с(г = — О~~~ — д )созсс+~1 — д ) созр +~ — — — ) созу1Ю. (52,15) Доказательство. Рассмотрим, например, интеграл ) Рс(х. Замечая, что вдоль кривых уе и у переменные и и е являются функциями от с, н употребляя обозначения, введенные в начале этого пункта, получим ~ Р (х, у, г) с(х = ь = ) Р[х(и((), е(()) у(и((), и(()), г(и((), о(()))хт(иЯ, п(1))с((= Р (х (и, и), у (и, о), г(и, и)1~ "("' ") т(и+ х("' е) сЬ~. то Применим формулу Грина к получившемуся интегралу Р— т(и+ Р— т(е: ди де ~~М = ٠—,', ~Р У) — —,— ', ~~ ф)~ ди (о = т о о -~ — — — — — ) 1 дР дх др ду дР дгт дх дтх 1 д + + 'х де ду де дх де) ди деди ~ ('(дР д,(г,х) дР д(х, у)) ) ~ дг д(и,е) ду д(и, е)) =И вЂ” ': —: 1""""= и = ) 1 — с(гс(х — Π— т(хс(у=- ~~( — созр — — соз у)тЖ.
(52.16) а'/ Иы воспользовались здесь формулами (51.10) и (51.13). Анало- гично доказывается, что б бй Скалярные и векторные коля ~Ое(у =Д ( — сову — -~ — созсе) по. т а(х О ( д соз се соз ()) еБ. (52.17) (52.18) х=х(г), у=у(1), г=г[х(У), у(Е)!, и ~! <Ь. (52.19) В рассматриваемом случае контур у, является проекцией контура у Нормаль же т, как это было показано, при явном представлении поверхности образует острый угол с осьюОг(см. п. 51.1), поэтому если смотреть на поверхность Я с положительного направления оси Ог, то контур убудеториентирован против часовой стрелки, т.
е, ориентация контура у согласована с нормалью т «по правилу штопора» (рис. 168). г д Это равносильно тому, что наблюдатель, обходящий поверхность 5 по ориентированному контуру у и смотрящий на поверхность Я из конца норма! '-"" ! ! ли т, видит поверхность 5 слева.
О 3 Такая наглядная интерпретация У согласованности ориентации нормали т и контура у имеет то ! преимущество, что она не связана с выбором системы координат и остается справедливой для Рис. 1бб любой поверхности 8, рассматриваемой в теореме Стокса, а не только для явно заданной поверхности. Конечно, все подобные рассуждения не являются математическими доказательствами, а служат лишь для наглядного пояснения формулы Стокса.
Складывая формулы (52.16), (52.!7) и (52.!8), мы и получим формулу (52.!5), которая называется формулой Стокса. Теорема доказана. Чтобы наглядней представить себе связь выбора нормали ч на поверхности Я с ориентацией ограничивающего ее контура у, рассмотрим поверхность 8, имеющую янное представление з = ((х, у), (х, у) ~- 1 . Пусть уа — положительно ориентированный на плоскости хОу контур, являющийся границей Г, и х = х(1), у = у((), а < 1 ~( Ь,— его представление.
Как и выше ориентацию контура у зададим пред- ставлением 528. Формула Стокса Следует заметить, что формула Стокса остается справедливой, если в ней взять противоположную ориентацию контура у и противоположные нормали — кч в этом случае обе части равенства (52.15) изменят знак на противоположный (при этом ориентации контура и поверхности остаются согласованными по «правилу штопора»). Формула Стокса может быть доказана и для ориентируемых кусочно-гладких поверхностей 5 = (о!)! 1', а именно таких, для которых поверхности Б>, 1 = 1, 2, ..., 1», удовлетворяют условиям доказанной теоремы 3.
Заметим, что в этом случае край д5 поверхности 5 (см. п. 50.5) может состоять из конечного числа контуров у! 1 = 1, 2, " ~!о. Сформулируем теорему для этого случая (несколько завысив для простоты формулировки условия на векторное поле). Теорема 3' (Стоке,). Пусть веко!ор-функ>1ия а дважды непрерывно дифференйируела в области 6 и пусть 5=(ЯД,'=>1 ориееипировиннал кусочно-гладкая поверхность и д3 — ее край, согласованно ориентированный с поверхностью 5, тогда ) а Иг = ) ) го1 а Ю.
(52.20) Наглядно согласование ориентаций контуров у>, из которых состоит край дБ поверхности Я, с ориентацией втой поверхности и, следовательно, с ориентациями т поверхностей 5« означает, что наблюдатель, двнгаюшийся по контуру у! (1 = 1, 2, ..., 1») и смотрящий на поверхность Б из конца нормали ч, видит поверхность о слева. Чтобы доказать теорему 3', достаточно написать формулу Стокса для каждой поверхности Зь 1 = 1, 2, ..., („и сложить их (ср. с обобщениями формулы Грина в п. 47.3 и теоремы Остроградского — Гаусса в п. 52.2). 5 Можно показать также, что формула Стокса остается справедливой и для кусочно-гладкой поверхности указанного ви- Рис.
>69 да, если опа, кроме того„имеет конечное число конических точек. Теорема Стокса дает возмо>кность получить инвариантное «с точностью до знака» определение вихря векторного поля, не зависящее от выбора системы координат. Теорема 4. Пусть в трехмерной области 6 определено непрерь«ено дифференцируемое век!парное поле а = а(М).
Пуппь М, ~ 6> м — произвольный фиксированный единичный вектор, Н вЂ” пло- Э В2. Скалярные и векторные полю 2!б скость, перпендикуляра я веюпнру ъ и проходяи(ан через точку Л(сн 5 — ог ран ичен ноя область в ил оскосппи И с кусочноглиг)кой границей у, д(5) диаметр области 5; пуспгь контур согласованно ориенти- рован с нормалью ч *'. Мо ~ 5 и 5~6«а~ (рис. !69). тогда *а*> (а«)з го1,а(Ма).= 1(пт к<з) о шезз (52.21) Доказательство. Пз ~)юрмуле Стокса ~ аде =- Ц го1, а д5, т 3 но ио интегральной теореме о среднем ~ г)го1,ад5=го1„а(Л4)гпез5, М ~ 5.
Следовательно, Ц то(ча аь" го(,а(М)= ' (52.22) Заметим, что при д(5) — и О и М -э-Мв. В силу непрерывности в точке М, функции го(, а (М), переходя к пределу в формуле (52.22) при с((5) -+- О, получим формулу (52.21). Теорема доказана. Отзиетим, что величины, входящие в правую часть равенства (52.21), не зависят от выбора системы координат (напомним, что мы всегда рассматриваем только правую систему координат), поэтому проекция вихря векторного поля на вектор ч не зависит от выбора системы координат.
Поскольку вектор м был произвольный, то и сам вихрь не зависит от выбора системы координат. Действительно, достаточно, например, взять три произвольных ортогональных единичных вектора мт,ча, мз, проекциями на которые,как это хорошо известно, однозначно определяется всякий вектор. «) Т, е. тан, кан в теореме 3 (по «правилу штопорат). **) Указанные областиЯ, очевидно, всегда существуют (почему?). ***) Через то(та обозначена проекция ~ ситара то( а на вектор ч, т. е.
то(, а.=- прч то( и. Буль Солеяопдольчые лекгориые гголя 211 Заыстггм, однако, что если взять левую систему координат, то знак вихря векторного паля изменится па прагивопаложныи; формально это можно усмотреть из формулы для определения вихря (52.4): если в ней переставить местами два каких-либо столбца, то определитель изменит знак. Это обстоятельства связано н с тем, что если на некоторой гладкой ориентированной поверхности нормаль т согласована с ориентацией контура у, ограничивагащсго эту поверхность в левой системе координат, зо в правой системе координат с указанной ориентацией контура у будет согласована уже нормаль — ч .
Это естественно, так как векторное п(гаизведеггие двух векторов в левой и правой системе координат имеет противоположный знак, а ч вырнжаегся формулой гяХг. !г„хго) 52.4. Саленаидальные векторные поля В этом пункте ограниченную область, для которой справедлива теорема Остроградского — Гаусса (см. п. 52.2) и граница ко~арой состоит из оспой кусочно-гладкой поверхности, будем называть допустимой. Поверхность 5 будем называть допустимой, если она является границей допустимой области.
Соленоидальность векторного полн будем понима~ь здесь (чтобы не успожнять изложение) формально в несколько более узком смысле, чем это было определено в п. 52.1. Именно, непрерывно дифгреренггируелгов в области 6 векторное лоле а = а(М) будем называть саленоидальным, если ево попгок через любую допуспвмую поверхность равен нулю. Это соглешенпе введено лишь для того, чтобы при дильнейшен изложении пе использоввть рииес не доказанных фактов.
На самон же деле, как зто отнечялось в и. 52.2. теорелга Острогрздског о — Гаусса справедлива для любой о~ рвниченной области, границе ког ирой состоит из конечного числа кусочногладкнк поверхностей. Поэтому лгобвя ограниченная область, границе которой состоит из одноя кусочно-гладкой поверхности, допустиыа. Следовитсльно, определения солеиоидальносги векторного поля, данные здесь н в п.
Б2.1, совпадвштт Определение 10. Трехмерная обласгпь 6 называется объемно односвязнай, если, какова бы ни была доггустимая аблисть О, граниг(а которой лежит в 6, сама обласпгь О пгакжв содврясипгся в 6. Все пространство, гпа, параллелепипед являются примерами объемно односвязных областей. Область же, заключенная между двумя концентрическими сфсрамп, не является объемно одвосвязной. т гй В Я, Скалярные п векторные полл Оказывается, что в объемно односвязной области необходимым и достаточным условием солепоидальности поля является отсутствие в нем источников.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
