kudryavtsev2 (947414), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Обычно и потоке Ц ачй5 опускают индекс ориентации и в+ пишут просто ~ ) ач д5, считая, чго в качестве ориентации взята нормаль ч, стоящая в подынтегральном выражении. Определение 9. Веко!приве поле, поток которого через любую кусочно-гладкую повгрхноспгь, лежащую в области 6 и являюи(уюся границей некоторой огриниченной области, равен нулю, называется соленоглдальнылг в 6. В дальнейших пунктах этого параграфа мы изучим некоторые свойства векторных полей, в частности, установим в трехмерном случае необходимые и достаточные условия потенциальности и соленоидальносги поля. Предварительно мы докажем теоремы об интегралах, тесно связанные с понятиями, введенными в этом пункте. У и р е ж н е н н е 1.
лгокееть следующие форыулыг го! Кгад и = О; Л!ч го! а = О; д и дги дти Л:-ч агади = Ли, где Ли= —, + —., + — ! оххэ оу' огг го! го! а = Кгад Л)ч а — Ла, тле Ла = (Ла„Ло, Ло ), а=(а„и, и,); Л(ч Ца) = ( Лгч и+ Кгед )и; гич их Ь = Ь го! а — и го! Ь. 622 Формула Остроградского — Гаусса 20! 52.2. Формула Остроградского — Гаусса. Инвариантное определение дивергенция Пусть Π— область в трехмерном пространстве Е элементарная относительно оси Ол (см. п.
45.2). Следовательно, существует квадрируемая обласгь !' на плоскости Е,, такая, что граница облнсги О состоит из двух поверхностей 5, и 5«, задаваемых соответственно представлениями г, =. <р,(х, у) и га = гра(х, у), где и гра — непрерывныс па замкнутом множестве Г функции, грт(х У) «» гра(х у), (х, у)( Г, и, быть может, поверхности 5, являющейся частью цвлиндрической поверхности с образующей, параллельной оси Ог н имеющей в качестве гг направляющей гранину области Г.
Будем предполагать, кроме того, что поверхности 5, и 5, непрерывно т дифференцируемы (т. е. что пепрерыв- Хр но дифференцируемы функции~рт и <р на Г) и что граница у области Г является кусочно-гладкой кривой, тогда и поверхность 5а также будет кусочно-гладкой. Это сразу следует из того, что если р = р(и), и < и < Ь, — представление контура у, то представление поверхности 5а можно задать в виде г =г(и, и) = Рис. !бу =р(п) + оус, а а, и ( Ь, а„ ~ о ( Ь„ (пределы изменения параметра о зависят от точки кривой у), где й — единичный орт оси Ог (рис. 167).
Мы будем предполагать, далее, что область О удовлетворяет аналогичным условиям и относительно других осей координат. Обозначим через 5 границу области О; очевидно, 5 является кусочно-гладкой поверхностью*>. Обозначим через и внешнюю нормаль к поверхности 5 (в точках, где она сугцествует) и пусть соз и, соз б и соз у — ее направляющие косинусы: т = (соз о, соз !), соз у). Ориентированную поверхность 5 (соответственно поверхности 5е, 5, и 5,) с ориентацией, порожденной выбором нормали ч, обозначим через 5+ (соответственно через 5~о, Я', 5« ). Таким образом, в данном случае для поверхности 5, положительной ориентацией является ее «нижняя сторона», а для поверхности 5, — ее «верхняя сторона» (см. п. М.2).
'! Здесь, как и иногда выше, употребляется термин «поверхность» в смысле носителя поверхности. Зто не л(ожет привести к недоразумениям. д Еу. Скалярные и векторные поля Теорема 1 (Остроградский-Гаусс" )). Пусть в замыкании 6 области 6 указанного выше вида задан(н функции Р =Р(х„у, г), Я=Я(х, у, г) и )(=К(х, у, г), непрерывные на 6, др дЦ д)7 „,„ вместе со своими частными производными —, —, — **), дх' ду' дл тогда Щ(дх+ д + оа) о О(Р соз гл+ 6 соз [3 -[- К соз 7) сЮ. з+ (52.5) ") Я. В. Остроградский (1801 — 1881) — русский математик; Г. Ф.
Гаусс (1777 — 1888) — немецкий математик. е") Непрерывность частных пронаиодных на гравице понимается как непрерывная продолмаемость их на границу области. Зту формулу, полагая а = (Р, Я, )(), л(ожно переписать в виде )1) д[чадхдудг = )) а(уо', (52.6) 0 а+ гп. е. интеграл по области от дивергенции векторного поля равен потоку этого поля через поверхность, огрантивакщцю данную облает*. До к аз а те л ь с т в о. Рассмотрим, например, интеграл Я фдх([уд, о Используя обозначения, введенные в начале этого пункта, получим -и, (л, х) Щ''аюга=Д ) фа]олго „ (к, и) = Д (1()[х, у, (ре(х, у)[ — К [х, у, (р (х, у)[)([х ([у = 1.' =П)с(х, у, г)дхду+ П)((х, у, г)([хду, (52.7) з~ + 2 ) Замечая, далее, что на поверхности Юе сову=О, получим (см.
(5[.7)) ~~ )с(х, у, г)([ха[у = О г((х, у, г)сову(75=0. з+ о з+ о Эг 2. Формула Остроградского — Гаусса Поэтому форыулу (52.7) можно переписать в виде Ясий 1) йг= с =Цйохау+Цйс(хну+ ) ) )7ахау = Цйахду. (52.8) э+ зо а ! Совершенно аналогично доказывсчотся формулы ٠—. ахйуаг =ЦРауаг, с ал Щ оу йхйуйг= ЦОахаг. Складывая (52.8) и (52.9), в силу определений (51.7) и (51.!2) мы и получим формулу (52,5), назь|ваемую формулой Осгарсградсксго — Гаусса, Теорема доказана.
Отметим, что существенный для этой формулы выбор ориентации поверхности 3 описывается в этом случае точным математическим языком: па поверхности о, нормали образуют с осью Ог тупые углы„ на поверхности Яг нормали образуют с осью Ог острые углы, а на поверхности Яа их выбор не имеет значения, так как в любом случае сазу = О.
Ограничения, наложенные на поверхности 3, и Яа, можно несколько ослабить, требуя вместо их непрерывной дифференцируемости лишь кусочную гладкость (см. п. 51.1). Формула Остроградского — Гаусса (52.5) может быть доказана и для областей 6 более общего вида, а именно таких, для которых сущесгвуег конечное разбиение их на области 6;, 1 = 1, 2, ..., 1„, выше рассмотренного вида. Для этого достаточно написать формулу Остроградского для каждой области 6, и полученные результаты сложить; в результате получается 'искомая формула для области 6.
действительно, в левой части равенства в силу аддитивности интеграла получится соответствующий интеграл по области 6, а в правой части в силу того, что внешние нормали в точках границ областей 6;, принадлежащих границам двух таких областей, направлены в разные стороны, поверхностные интегралы по соответствуюшим частям границ областей О„в сумме дадуг ноль, и останутся только интегралы по частям границ Оь составляющим в совокупности границу области 6 (ср. п. 47.8).
Указанные разбиения области 6 часто бывает удобно производить плоскостями, параллельными координатным плоскостям. » 52. Скалярные и векторные поля Заметим, что среди областей такого типа есть н области, граница которых состоит из нескольких «кусков», т. е. может быть пред ставлена как сумма конечного числа кусочно-гладких непересека. 1ощихся поверхпсстей (ср.
с соответствующими обобщениями форму. лы Грина в п. 47.3). Можно показать, что формула Остроградского — Гаусса спра. неллина для любой ограниченной области, граница которой состоит из конечного числа кусочно-гладких поверхностей. Однако это довольно громоздко, и мы не будем па этом останавливаться, а ограничимся лищь формулировкой теоремы. Теорема Г (Остроградсгсий — Гаусс).
Пусть граница дб ограниченной области 6 состоит из конечного числа кусочно- гладких поверхноопей, вектор а=(Р, 6, Я) и частные производ- дР дЯ д1« ные —, — и — непрерывны ни 6, тогда дх ' ду д» Ц~ г) б1 ч а «(х йу йг = ~~ а сЮ. В качестве нормали па границе д8 здесь выбрана внешняя нормаль. Например, если 6 = ((х, у, г) 1 0( а «" )т х' + у' + г' ( Ь)— шаровое кольцо и, следовательно, его граница состоит из двух сфер 5, = ((х, у, г) .
хл + у' + ге = и») и Ь» = ((х, у, г): х' + у' + г' = б»), то на внутренней сфере Я, надо взять нормаль, направленную к центру шара 6, а на внешней сфере 3, — от центра шара. Формула Остроградского — Гаусса позволяет найти выражение для объема области через соответствующий поверхностный интеграл. В самом деле, полагая в (52.5) Р(х, у, г) = х, 6(х, у, г) = у, П(х, у, г) = г и замечая, что ) О с(х г(у йг = глез 6, получим 1пез6=- —.О(хсоза+ усов()+гсозу) сВ, или п1ез 6 = —,— ~ ~ х с(у с(г+ у 4г йх+ г йх «1у.
1 3 Формула Остроградского — Гаусса дает тактке возможность получить инвариантное определение дивергепции, не зависящее от о22. Формула Остоградского-Гаусса 20Б Док аз ательство. По формуле (526) имеем Я ~ й ч а йх йу йг = Ц а Ю'. о (52.11) Но по интегральной теореме о среднем (п. 44.5) ') ') ') йч а «х Ну йг =- йч а (М) тез О, М ~ О. (52.12) о Подставляя (52.12) в (52.11), получим Ц асХЯ+ йча(М) = — ' спея <г (52.13) Переходя к пределу в формуле (52.13) при й(О) — ь О, в силу непрерывности в точке М„функции «1ч а(М), получим фюрмулу (52.10).
Отметим, что величины, входящие в правую часть равенства (52.10), не зависят от выбора системы координат, поэтому и дивергенция не зависит от выбора системы координат. Точки векторного поля а, в которых йч а+ О, называются «исгочникамн» векторного поля.
Интуитивно естественность этого термина объясняется тем обстоятельством, что если точка является «источником», то, как это видно из формулы (52.10), в этом случае для всех достаточно малых по диаметру областей О, содержащих точку М„будем иметь )) айо чь О, т.
е. поток через любую достаточно малу<о поверхность, окружающую источник, не равен нулю. *г Здесь на структуру области О не накладывается никаких ограниченвй. **г ТаКИЕ ОбЛаетггяг ПСЕГда Су<ПЕС»Ну<От, НанрНМЕр, К НИМ Отнаеятея ВСЕ шары достаточно малого радиуса с пентром в точке Ма. выбора системы координат, т. е. доказать, что дивергенция векторного поли однозначно в каждой точке определяется самим векторным полем и не зависит от выбора системы координат, как это могло бы показаться скача.па из формулы (52.4).
Теорема 2. Пусть в трехмерной области Ое' определено непрерывно диКтренг<сгруелгое век<<горное поле а = а(М). Пусть М, ~б и 0 — обггасгггь с кусочно-гладкой грониией 8 <лакая что Ма~0, 0~0 и для обласгпи О справедлива формула Остроградского— Га)<свае*с. Обозначим через Я+ поверхность Я, ориенпгированную с полсои<ью выбора анги<ней норма ги, а через й(0) — диаметр области Р.
Тогда Цааз+ «гч а(Ма) =1<<и (52.10) л <рг„о псе« О У 52, Скол»нные и векторные колк 52.3. Формула Стокса. Инвариантное определение вихря г„гс г„ 1г„ Х го~ — ориентация па поверхности Я (см. определение 23 в и. 50.5), т = (соз а, соз р, соз у) и пусть нормаль т непрерывно продолжаема на О. Обозначим через 54 поверхность5 с выбранной па ней нормалью т. Пусть, далее, у — контур с представлением г =- е(гг(1), о(1)), а ~ г ~~ Ь. Будем говорить, что контур 7 ограничивает поверхносгпь 5, а также что поверхность Я нггггигнуггга на контур у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
