kudryavtsev2 (947414), страница 40
Текст из файла (страница 40)
35.3) сумма ряда (54.23) является производной суммы ряда (54.22). Теорема доказана. Как уже отмечалось, все предыдущие формулировки идокззательства относятса к несобственным интегралам, ззвистицим .т параметра, косорые удовлетворяют условиям 1) и 2) сс)юрмулированным в начале п. Г4.1. Совершешсо аналогично рассматриваются и Гюлсе общие случаи, например, когда; 1') — оо <а< 6 <+ оо; 2') при любом у ~ )г функция ((х, у) по переменной х ннгегрируема по Рплсассу на каждом отрезке !К и), где о ( $ < ( < Ь. Построенная теория интегралов, зависящих от параметра, естественным образом переносится и на случай, когда шггеграл зависит от двух или вообще от некоторого конечного числа параметров ум ..., ути При этом многие формулировки определений и теорем, а также доказательства формально остаются прежними, если только вкладывать новый смысл в применяемые обозначения.
Это относится, например, к определению равномерной сходнмости и теореме о предельном переходе под знаком интеграла, следует только считать, что у = (у,„..., ул) и у„= (у1 ', „у'„') — точки ии (Ос о-мерного евклидова пространства, а у- уо понимать в смысле предела в этом пространстве. 54.3. Применение георин интегралов, зависякаих о1 параметра, к вычислению определенных интегралов Среди различных применений теории интегралов, таяна сящнх от параметра, рассхютрим на примерах ее применение к вычислению определенных интегралов. ЗКК Лрггмеиение геории ингеграхои, эааисхгяих ог сири«легри (54.24) )г))(х, )~ ау ~ ) (!+ха уа) 1У! — ха ! 1«! — ха и сходкмости интеграла 1 о следует, что интеграл (54.26) о равномерно сходится на всей вещественной оси и, согласно теореме 6 п.
54.2, равен .)'(у). Делая последовательно замену переменного х=созгр и = !игр, получим с 2 ат г)х ) ( 1 + х л у« ) ) 1 о 1+ ух соха го о П р и м е р 1. Пусть требуется вычислить интеграл агс)а х о Можно вычислить сначала неопределенный интеграл, а звтелг по формуле Ньютона — Лейбница и интеграл (54.24). Однако это ~ребует довольно длинных выкладок. Мы приведем другие способы вычисления етого интеграла, основанные на замене данного интеграла некоторым интегралом, зависящим от параметра, для которого интеграл (54.24) является частным значением. Рассмотрим функцию ((х, у) = . и интеграл агота «у х )гг) — ха ! г Г агс(К ху )(у) — ~)(, у) )— (54.25) о о Очевидно, что интеграл (54.24) получается отсюда при у=1.
Та!с как =0(1) при х — эО и =0( ) агс1к ху агыя ллу г' ! « 'ул! — х' х )лг! — хл ~ (лг ! — л' при х-е 1 и любом фиксированном у, то интеграл (54.25) скодится при любом у, Из неравенства 232 Э 54. Несобственные интеграхы, еависни1ие от аараллетра +во Ф 1 11 ' = — агс1ц = + е+'. У +~" У+~" ~ 2У +~" о Теперь, по определению неопределенного интеграла, ((у)=~)'(у) (у= — ", "="' = — '(п(у+)г1+у')+ .
2 1)лТ+ Гх Ио из (54.25) следует, что 2(0)=0, поэтому с=0 и л (у) = 1п (у+ 1/1+у'). Отсюда получаем значение искомого ингеграла (54.24): г=и(1)= 2 1п(1+)/2). Интеграл (54.24) можно вычислить и используя интегрирование по параметру. Замечая, что 1 получим для интеграла / выражение ! 1 (54.27) Интеграл >ке л!х 11+ х' Г21 )лл1 — х' а сходится равномерно по у, ибо 1 1 бх И ИНтЕГраЛ ) 1, Хх СХОдвтСя, ПОЭтОМу В ИНтЕГраЛЕ (54.27) МОЖНО переменить порядок интегрирования (см. теорему 4 п.
54.2). Тогда (используя найденное выше значение получающегося интеграла) находим 643. Применение теории интеералав, зависящих ог параметра 1 1 1 дт г дт' и аг,а) )с г а а ')сс(+ а с )и() + 112)' о о Пр имер 2. Вычислим значение интеграла +па 1(а)= ~, х с(х. о (54.28) + аа — с(4=1(1), если а >О. о +Ос Г ти1п 1 — — Ж= — 1(1), если аа" О. о 1(а) = Интеграл гке 1(1) сходится (см. п. 34.4), поэтому и интеграл Ца) сходится. Для того чтобы вычислить интеграл (54.28), рассьютрим интеграл более общего вида + аа 1(а, р) = ) е-"Я вЂ” с1х, о Диффереинируя формально этот интеграл по а под знаком интеграла, получим интеграл +со е-а' соз ах е)х, о который при любом фиксированном р ) О равномерно сходится относительно параметра а, — ао ( а а" +по.
Следовательно, при .. О (см. т. 1, и. 26.4) + са — е — а" соз ах 11х= —, д1(а, Щ 1 Р да ая+ ра о Можно показать, что соответствующий неопределенный интеграл при а р О не выражается через элементарные функции, и тем самым данный интеграл нельзя вычислить обычным приемом с помощью формулы Ньютона — Лейбница. Интеграл (54.28) сходится при всех значенвях а. Действительно, если а = О, то, очевидно, 1(О) = О. Если же а ф О, то, производя замену переменного 1 = ах, получим Р БЕ. !«егобстеенннсе интегрихм, еиниснщие от нирометри о!сюда О 1(а, р) = ),~ ., +с(~)=агс(д — +с(Р).
а Но 1(0, Р)=0, следовательно, с(Р)=0. Итак, 1(а, (3) = агс((! —, !) ~ О. Р Выберем т), так, чтобы при т) > т), выполнялись неравенства та а сох ач + Р Б! и ат~ ! — е — ' ае+ Р' +СО асохах+Рс!Ох бх з-з. ах+ Рс х" а+Ь ! е ( — — (— с т 2 а+Ь Г с!х е < — ! — < —. ат .) хе 2 т~ Тогда при т!'.От!, получим -! СО е-зх — с)х ~( в, 1 что и доказывает равномерную сходимость интеграла 1(а, р) по параметру О на любом отрезке (О, 1е!. Теперь в силу теоремы 2 п. 642 1 (а) = 1 (а, О) = Игп 1(а, !)) =- )! п! агс(д — = —" з! яп а. а- «-о р-+о Р 2 Нзс, однако, интересует значение интеграла 1(п, !3) при )3 = О.
!1рсяпе всего попьпаться обосновать возможность предельного пере- хола под знаком интеграла в интеграле 1(а, Р) прн )3-э +О. Зафиксируем число 1! )~ 0 и покажем, сйо интеграл 1(а, 6) при любом фиксированном и+ 0 равномерно сходится по параметру Р на отрезке! О, Ь!.
Лействительно, интегрируя по частям (см. там же, п. 26.4), получим + СС: — — '"+ а„х!и ах, 1 „З асох ссх+Г е!па х ~+ е- "— ах= — е —" л ст! Рс +СО Г ! асанах+Ринах с!х +) е ас+ Рс хх »4,4 Зал»ррег» риг»гре»г» Итак, —, если а~О, 2 г(а) ~ — йх = о О, если а=О, — —, если а(0 и 2 Знание этого интеграла позволяет легко находить и значение мноп1х подобных интегргпюв, Например, легко мои но показать (н это мы используем в дальнейшем), что * йх=(а(н.
1' е'*— х» (54.29) Действительно, интегрируя по частям, найдем + сс +»» + (У. 1 -: -'=1" 1 — срз ах, 1' гин ах, Г»1и иг ах = а ах.= 2а ах=(а(л 54.4, Эйлеровы интегралы Рассмотрим интегралы В (р, 4) = ) хр-' (1 — х)»-' йх, о Г (з) = ~ х'- ' е-' йх, (54.31) В (р, д) = ~ хр- ' (1 — х)» — ' йх+ ~ хр- ' (1 — х)»-' йх, » называемые эйлеровыма интегралами соответственно первого и еглорсео рода. Интеграл (54.30) называется также бета-функцией, а интеграл (54,31) — гамла-функцией.
Выясним прежде всего, для каких значений параметров р, д и з имеют смысл формулы (54.30) н (54.31). Рассмотрим сначала интеграл (54.30). Г(олынтегральпая функш1я в этом игпеграле имеет, вообнге говоря, две особенности: пр х = 0 и при к = 1, поэтому представим его в виде е ! З Е4. Несобственные интегралы, нависни!ие от нараиетра ! 2 Сравнивая первый интеграл правой части с интегралом ~ хе — !с1х, о о а второй — с интегралом )(1 — х)»-!с(х, которые сходятся соответст! е венно при р ) 0 и с) ) 0 и расходятся при р (О и д ( 0 (см. п.
33.3), получаем, что областью определения бетафункции (54.30) в плоскости р, !) является координатный прямой угол р) О, д) О. Далее, интеграл В(р, с)) равномерно сходится на каждом прямом угле р )~ ро, д > с)о, каковы бы ни были р, ) 0 н д ) О. Действительно, зто следует, согласно признаку Вейерштрасса (см. п. 54.1), из неравенства хс-'(1 — х)» ' (хе '(1 — х) -', О <х <1, и доказанной выше сходимости интеграла ! В(ро, до)= ~ хе -'(1 — х)» -' с(х, ро) О, до)0. о Поскольку всякая точка (р, с)), р) О, д ) О, принадлежит некоторому углу: р ) р„с)) !)о, при соответствующем выборе чисел р, ) 0 и с!о ) О, то отсюда в силу теоремы 3 п. 54.2 следует, что функция В(р, д) непрерывна во всей области своего определения.
Для отыскания области определения гамма-функции (54.31) представим ее в виде ! +со ! (з)=) хт-! е- с(х+ ) х'-!е-'с(х. (5432) о ! ! Сравнивая первый интеграл правой части с интегралом )хе — !дх, о который сходится при з) 0 и расходится при з ( О, получаем, что он также сходится и расходится при тех же значениях параметра з. Что же касается второго интеграла правой части равенства (54.32), то он сходится при всех значениях з. Это, например, следует из того, к что прилюбомв хт-!в-"= о(е е)при х — н+оо, и из сходимости ни+со е теграла ) е ' с(х. Таким образом, интеграл (54.31) сходится для всех ! з ) 0 и расходится при в < О.
Покажем теперь, что интеграл (54.31) равномерно сходится иа всяком отрезке Ь„ве!, где О( з, ( в, ( +со. Действительно, пусть з, ( з ( вг, тогда, если 0 < х ( 1, то х' — ' е —" (х" — ' е —" бел. Эцсероаы интееролы а если х > 1, то Х вЂ” 1Š— «~~Х«-1 ив н так как интегралы 1 +СО гр -1Е-«С(Х И ) Хкс-1Е-кг(Х сходятся, то из формулы (54.32) по признаку Вейерштрасса равномерной сходимости интегралов (см. и. 54.1) получаем равномерную сходимость интеграла Г(з) на отрезке (з„зз). Отсюда в силу теоремы 3 п. 54.2 следует, что функция Г(з) непрерывна во всей области своего определения.
У н р а нс н е н и е к. Доказать, что функции В(р, о) и Г(з) бесконечно диффере нц ир усы ы. Задача ЗЗ. Доказать, что функции В(р, Е) и Г (з) аналитические. Отметилг некоторые свойства интегралов Г(з) и В (р, г)). Прежде всего, из формулы (54.31) непосредственно получаем Г (з))0 (з)0), (54.33) в частности, гамма-функция не имеет нулей. Далее, интегрируя по частям, получим СО +СО (к+1)=~ хке кг(х= — х'е к ~ -~- 3 ) хс 1е кс(х= — зГ(з). ю (54.34) Таким образом, если з)п(я=1, 2...,), то Г(з)=(з — 1)(з — 2) ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
