kudryavtsev2 (947414), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Сумнировочее рлаол Фурье бб,б. Суммирование рядов Фурье методом средних арифметических Пусть функция ( абсолютно интегрируема на отрезке 1 — и, п1, (( — и) =,"(и) и, следовательно, функция / периодически с периодом 2п продолжасма на всю вещественную ось. Пусть 5л(х)-- ее суммы Фурье, а 0„(х) — ядра Дирихле, и = О, 1, 2, ... (см. (55.11) и (55.!2)).
рассмотрим их средние арифметические: / ) Ба(х)+Ба(х)+...+Ъл(х) л+! Ф ( ) Ла(х)+Лг(х)+ ...+ Лл(х) О 1 2 (55 19 х и=...- ° . Сумма о„(х) называется сумл!ойФейерав> п-го порядкь функции), а Ф„(х) — ядрол! Фейери и-го порядки. Йз формулы (55.!3) получаем ! о„(х) = —,, ~ Ф„(и) ) (х + и) ди. Изучим прежде всего свойства ядра Фейера. Лемма.
Ядро Фейера !!„(х) удовлетворяет следующим условиям: 1! функция Фл(х) периодическая с периодом 2п, четная и непрерыннив; 2) Ф„(х) > О для всех х; 3) — 3! Ф„(х) йх= 1; ! с — л 4) при любом фиксированнол! б, О~5~и, выполняется равенсх: о 1!щ !пах Ф (х)=О. л оа Ь<!лМ До к аз а т е л ь с т в о. Существование периода, равного 2п, у ядра Фейера, его четность и непрерывность следу!от из существования такого периода, четности и непрерывности ядра Дирихле (см.
и. 55.14), согласно самслиу определению ядра Фойера (см. б5.!9). Найдем явное выражение для ядра Фейера. Из (55.19) и (55.12) получаем х 5!П(ел+ !) л (и+1) Р (х) — ,)' 0 (х)— ь=о ь=о а|н —, а *! Л. Фейер (!880 — !959) — венгерский математик. 55. Классаеесхае рпам Фурье 2 5!и У !и (2Й + 1) л М х ь=о 2 51пь— 2 а 2 ~~~ сое ех — соь (а -1- 1) х х а=о 2 5(пь— 2 и+ 1 1) х 5)пь — х 2 1 — сое(п+ (55.21) х 5(П5 2 х 2 5(П5— 2 Это справедливо прн х ФО. При х- 0 правая часть равенства (55.21) стрел1нтся к (и+ 1)', левая в точке х = 0 непрерывна, следовательно, Ф„(0) = и+1.
Значсиие Ф„(0) можно найти и сразу по формуле (55.!9), ибо 0„(0)=2я+1, Уг=О, 1, 2.... Из формулы (55.2!) видно, что ядро Фейера не отрицательно. Итак, свойства 1 и 2 доказаны. Далее, применяя формулы (55.19) н (55.16), имеем 1 à — ~ Ф„(х) с(х= „+ '~ — ~ Пх(х) с(х= 1, о е=о о откуда в силу четности ядра Фейера и следует свойство 3. Наконец, если Ос'55'и, то из формулы (55.21) получаем ))4 (5) = п1ах Ф„(х) = ьч!л(~п и -(-1 1 51 П' — Х 2 1 = — щах и+1,, х < Ь ип' — (и+ 1) 51П'— 2 2 и поскольку выражение в правой части неравенства стремится к нулю при п — по, то свойство 4 также доказано. Лемма доказана.
Теорема Б (Фейер). Если функ!(ия ((х) непрерывна на отрезке )в и, п) и ((и) !'( — и), то при и -~ оо суммы Фейера о„(х) равномерно на оп!резке 1 — и, и) сходятся к функ!(ии !(х). Д о к а з а т е л ь с т в о. Продолжим функци1о )(х) периодически с периодом 2п на всю вещественную ось и оценим разность /(х) — о„(х), используя представление сумм Фейера в виде (55.20) и свойства ядра Фейера, доказанные в лемме: ! ) (х) — о„(х) ! = — ~ Ф„(и) Ыи — — ~ Ф„(и) ) (х + и) с(и ее.е Симммрееанме рядом Фарье 26! < — ~ Ф„(и) 1! (х) — ) (х+ и) ~ с(и.
(55 22) Обозначим теперь через в(6; !) модуль непрерывности функции ) на всей числовой оси. Пусть фиксировано и ) О, в силу условия Дп) = Д вЂ” 'и) функция ! равномерно непрерывна на всей оси (почему?), поэтому существует такое 6 ~ О, что ы(6; )) <. —. Разобьем теперь интеграл, стоящий в правой части неравенства (55.22), на три интеграла: !!(х) — а„(х)~< 2 )+ 2 +2 !. (55.23) Лля среднего интеграла имеем 2я ) "()~~() !( + < ы (6; )) — ~ Ф„(и) йи = ы (6; )) с —,, (55.24) Оставшиеся два интеграла оцениваются одинаково. Функция ) в силу непрерывности ограничена: !!(х) ( < 64, — и < х < и.
По- этому, например, для последнего ннтегралаправой части неравенст- ва (55.23) имеем — ~ Ф„(и) ~ !(х) — !'(х+ и)! г(и < — !пах Ф„(и) (и — 6). 1 Г М м не< <„ Согласно лемме (см. свойство 4 ядра Фейера), правая часть не- равенства стремится к нулю при п -е со, поэтому существует такой номер ле~ что при и ~ не Л вЂ” з — — и — ~( —, ! Г е ! Г е 2х~ 3 2ч ~ 3 (55.25) е — Н Теперь из неравенств (55.23), (55.24) и (55.25) при и) а, получаем ~ ) (х) — о„(х) ~ ( в, Теорема доказана. Выше отмечалось, что для непрерывной функции ряд Фурье не обязан сходиться в каждой точке; тем не менее оказывается, что он В дг. Классические ряды Фурье позволяет полностью восстановить восо функцию: достаточно абразовать из его частичных сумм суммы Фейера — онн уже сходятся и притом равномерно к самой функции ).
Таким образом, даже изучение расходящегося ряда может оказаться полезным. Можно и в случае произвольного ряда (не обязательно ряда Фурье) образовывать средние арифметические из его частичных сумм и исследовать их сходимость. Этот метод изучения рядов называется суммированием ряда мепюдом средних арифлсесссссческссх. 55.6. Приближение непрерывных функций многочлепамн Определение 7.
функции вида — '+ ~'Льсоз!гх+Вдзспйх, Л +В„) 0 в=с навываютгя тригонолсетрическими лсногочленами (сюлиномами) по. рядка сс, и = О, ), 2, .... Теорема б (Вейеристрасс). Если Функс(ия 1' непрерывна на стпревке ( — и, и) и с( — и) = 1(п), то для каждого числа е ) 0 суисеспсвуесп гссакосс трисонолсетрический полинам Т(х), что с) (х) — Т(х))к,е, — и < х < и. Действительно, в силу теоремы 5 (см. п. 55.5) в качестве такого триго>сометрссческого полинома можно взять, например, соответствующую сумму Фейера о„(х), являющуюся, очевидно, тригонсь метрическим полиномом порядка не выше и.
Теорема 7 (Вейеристрасс). Если с)>ункчссл1 непрерывна на осс>резке (а, (>), то длл каждого числа е ) 0 суи(ествуепс алгебраический полинам Р(х), такой, чпю ~ ) (х) — Р (х) ) <" е, а ч х < б. До к а з а т ел ь с т в о. Отобразим отрезок (О, и) линейно на отрезок (а, (>): в — а х = а+ — 1, О «~ 1 < и, а ч. х «( Ь, и пусть )ь(1) = )(а+ — 1). Функция 1ь определена этой с)ормулой на отрезке (О, и). Продолжим ее четным образом на отрезок ( — и, 0), т. е. положим 1*(1) =1*( — 1), если 1 ~ ( — и, О).
55 6. Приближение непрерывных >Ь>р>нчий иноеоиленохи Полученная таким образом функция 7* непрерывна на отрезке ! — л, л1 (почемуу) и 1*( — л) =- !е(л). Поэтому, согласно теореме 6, рля любого числа е) О существует тригонометрический полипом Т(>), такой, что 2 Как мы знаем, соз И ияп И, А = О, 1, 2, ..., а значит птригонометрпческнй полинам ТЯ являкпся аналитическими функциями н разлагаются в степенные ряды, сходящиеся па всей вещественной прямой, и.
следовательно, равномерно сходящиеся на каждом конечном отрезке (см. 2' 37): Т(1) = э с„(". Если Р„Я суть частичные суммы этого ряда, то в силу его равномерной сходнмости на отрезке 1 — л, л1 существует такой номер п„ что прн и ~~ лч ! Т(1) — Рн(У) ! (— Беря для определенности п=пе и полагая Р(У) = Рп (1), имеем 11 (Г) — Р (1) ! «( 1)е (1) — Т (> ) 1+ ! Т (> ) — Р(>) ! ( — + — ( е.
х — и Возвращаясь к переменной х, т. е. полагая Г = л —, Ь вЂ” и получим ~((х) — Р(л )~(е, а«(х«(Ь, х — о> где Р(л ) — очевидно, многочлен. 'Ь „) Теорема доказана. 3 а м е ч а н и е, Пусть функция 7 непрерывна на отрезке (а, Ь). Возьмем какую-либо последовательность чисел е„) О, п = 1, 2, ..., П стремящуюся к нулю (например, е„= ц; тогда„согпасно теореме 7, для каждого п = 1, 2, ...
существует мпогочлен Р„(х) (здесь а порядковый номер, а не степень многочлена), такой, что (г(х) — Р„(х)1(е>о а <х Ь. (55.26) Очевидно, при г>-и Ро!х) 1(х) на отрезке 1а, Ь1. Е я. Классические ряды Фурлв или ~(х) = Р,(х)+ ~~ [Р,+! (х) — Ри(х)[ к=1 (55.28) (Р„(х) — многочлены), причем стремление к пределу в (55.27) и сходимость ряда (55.28) происходят равномерно на отрезке [а, о[.
Это оправдывает наивно интуитивное представление о функции как о чем-то таком, что представимо в аиде формул. Аналогичные замечания можно сделать и по поводу первой теорелсы Вейерплрасса (теорема 6). 55.7. Полнота тригонометрической системы и системы неотрицательных целых степеней х В атом пункте мы перефразируем доказанные в предыдущем пункте теоремы и выведем нз них некоторые простые следствия.
Определение 8. Пусть Л вЂ” некоторое ясноакестео функций, определенных на оп!резке [а, о[. Сиоп!ел!а функций цл, сйм ° °, Ча, -. (55.29) Итак, всякая непрерывная на отрезке функция является пределол! равномерно сходящейся на этом отрезке последовательности многочленов. Обратное, т. е.
что всякая функция, явля!ощаяся пределом равномерно сходящейся на некотором отрезке последовательности многочленов (и, более того, последовательности любых непрерывных функций) непрерывна на этом отрезке, уже доказано (см. теорему 1' в п. 36.3). Таким образом, теорема Вейерштрасса устанавливает характеристическое свойство непрерывных и только непрерывных функций. Весьма любопытно отметить, что первоначально понятие непрерывности функции было введено нами довольно абстрактно и достаточно обгцо, оно никак не было связано с конкретными классами элементарных функций, в частности с многочленамн, и тем самым ни в какил!и аналитическими предславленнями через многочлены.
Теорема Вейерштрасса показывает, что так введенный класс непрерывных функций в известном смысле не очень далек от класса многочленов[ Именно, какова бы ни была непрерывная функция па отрезке и какова бы ни была заданная степень точности, всегда существует многочлен, отличающийся на данном отрезке от данной функции не более чем на заданную степень точности! Иетрудно получить и аналитическое представление в виде ряда для непрерывной на отрезке функции. Из (55.26) имеем )(х) = 1ппра(х), а~„к~ Ь, (55.27) Вйп гголнлта систем Чгунняой аба (55 5()) 1, х, х', ..., х", ..., полна для множества всех непрерывных иа люболг заданном отрезке функций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
