kudryavtsev2 (947414), страница 42
Текст из файла (страница 42)
и. 36.3) от — л до л: « п са !!! = ) ~ьт „.-.*ьь„, ) « «=! са « « — ~ дх+ '~'а„~ созпхс[х-)-Ь„~ э!ппхйх = лаа. « «=-! — « « мз й 65. Кяиггикегкия ряды Фурье Отсюда следует первая из формул (55.6). Если ряд (55.5) почленно помножить на соз пх и з! п пх (и == 1, 2, ...), то полученные ряды будут снова равномерно схо- диться на отрезке [ †,л! (это легко проверить, например, с по- мощью кр1перия Коши равномерной сходимости рядов, см. п. 36.2, заметна, что (яп пх! < 1 и )соз пх! < 1). Интегрируя почлеппо по- лученные так ряды и используя свойство ортогональности (55.3) тригонометрической системы и равенства (53.4), будем иметь а 1(х)сох пхдх = ~ а„соз'пхс(х= лаи, а а 1(х)сйп пхг(х = ) Ь„з(пьпхг(х = лЬ„.
— г. гРг1рмулы (55.6), а следовательно, и теорема доказаны. Теперь заметим, что интегралы (55.6) имщот смысл не только для фушсций непрерывных на отрезке ! — л, л), а также, например, и для функций, абсолютно интегрируемых па этом отрезке. Напом- ним, что понятие абсолнхгно сходящегося интеграла (как и просто сходящегося интеграла) было введено только для таких функций, определенных на некотором интервале (а, Ь), — ао < и ( Ь < + ар, для которых существует конечное число точек хь 1 = О, 1, 2, ..., й: аь —— -ха(х,(...
(х;(... (хд =Ь, таких, что функ- циЯ 1 интегРиРУема по РиманУ на любом отРезке !6ь т1,), где х, о($;(тд(хь ПРи этих пРедположениЯх, если интегРал)!1(х)!.(х а сходится, то всегда имеет смысл и сходится интеграл )((х)г(х а (см. и. 33.4 и 34.4). Точки хо 1 = О, 1, ..., й, будем называть особыми. Если интеграл от функции 1 абсолютно сходится на отрезке ! — л, л), то для нее все интегралы (55.6) также сходятся. Действительно, пусть для определенности функция 1 имеет един- ственную особую точку х = л и, следовательно, интегрируема на любом отрезке ! — л, л — 6), б > О, тогда и функции 7'(х)соэ пх и 1(х)61п пх, как произведение интегрируемых функций (см. п.
28.1), также ннтегрнруемы на отрезке ! — л, л — 51. Далее, из очевидных неравенств !1(х)сох пх! '.-. !1(х)! и (1(х)ь(п пх ! < (1(х)! и сходныосги + интеграла ))!(х)!г(х следует абсолютная сходимость всех интегралов (55. 6). Определение 3. 77 усгпь грункт(ия 1" ибсолютна интегрируема на отрезке ! — л, л!. 7'ригононегиричеькиг1 ряд (55.1), коеффициенаы бе 2. стремление крэг)гфиггиенто» Фура» к нгг гго 247 которого задаются форлгулами (55.5), наэыепется рядом Фурье«!, и.ги клпссичеаким рядалг Фурье, и числа а„и ܄— коэффициентами Фурье функ<<игл !'. В этом случае пишут 7(х) ° — "+ у ансозпх+ Ь,з)ппх. н=г Частичные сумлгы порядка и этого ряда будем обозначать 8» (х, О.
У и р а ж не н не 1. Пусть функция ) абсолютно интсгрнруема на отрезке ( — к, я) и 7(х) - 2 + т а„соках+ь„з!и ах. тогда, если функция 7 чети=! нзз, то Ь»= О, гг = 1„2, ..., если же ! — нсчетн а функция, то а„=-о, л — — 1,2,.... В 2 58 мы обобщим понятие классического ряда Фурье, а именно определим н изучим ряды Фурье по произвольной ортогональной си<-теме функций. В настоящем же параграфе будем изучать лишь классические ряды Фурье абсолютно интегрируемых функций (см. также и.
58.5). Прежде всего будет рассматриваться вопрос об условиях, которые гарантиругот сходимость ряда Фурье. В случае же сходнмости ряда Фурье будет выясняться, чему равна его сумма, в частности, прн каких условиях она совпадает с функцией, ряд Фурье которой рассматривается. Будет изучаться «скоростьз сходимости рядов Фурье и условий, от которых она зависит. Будет показано, что и в том случае, когда ряд Фурье непрерывной функции расходится, в некоторых точках (прнмеры таких рядов существуют) по нему можно воссгановить саму функцию. Наконец, будет видно, что с определенной точки зрения понятие сходимости рядов Фурье естественно рассматривать не только в обычном смысле (в смысле сходи- мости последовательности частичных сумм в точке и равномерной сходимости), по и в соверщенно другом смысле, в смысле среднего квадратичного (см.
п. 55.7, 55.8 и 58.5). 55.2. Стремление коэффициентов Фурье к нулго Докажем замечательный факт стремления к нулю коэффициентов Фурье для абсолкпно интегрируемых функций; докажем даже песколы<о более общее утвергкденне, полезное нам для дальнейшего. Теорема 2. Если функ<!ия !' пбголгппгно ингггегрируелгп нп промежугпке (а, Ь), конечном или бескпнечнплг, то ь ь Ищ ) 7(х)сок ух<!х =!цп ) 7(х) ыптхггх = О. н- сон н сои *г )К. Фурье 1!768 — 1830) — фракцузски!! фгмик и иагсггагик. 448 4 дд Кяоссиясские ряды Фурье ~1, если х>, <хс" хи Г,. (х) = >=1,2,..., й, 10 для остальных х, > (х) = с>1> (х)+ сь>ь(х)+ ...
+ Сь>ь (х). Ступенчатая функция Г интегрируема па всей оси и СО ь ь к ) 1 (х) дх = ) 1(х) дх = ~я~ ~ Г'(х) с)х =-,'У, с> Лхи СО О >.=> С> > > Лх,=х> — х и >=1, 2... А. Лелглга для любой функции Г, абсолютно интегрируел>ой на интервале (а, б), конечном или бесконечном, суи(ествует последови>пельноси>ь >паник ступенча>п»>х функций ц>„, что ь Ищ ) (Г(х) — ср„(х)(дх = О. П СО О (55.7) До к а з а тел ь с т в о. Г!усть функции Г абсолютно интегрируема на промежутке с концами а и б н пусть для определенности она интегрнруема на любом отрезке (ь 111 — <а~з<т1<1><+ С л е д с т в и е.
Козффициенпгы Фурье (55.6) абсолюп>но интегрируемой функции спц>емюися к нукк. ири п — ОО. Сначала покажем, что утверждение теоремы выполняется для более простого класса функций, а именно для так называемых ступенчатых функций; потом предельным переходом докажем справедливость теоремы в общем случае. Определение 4. Функция Г, определенная на всей оси, навивав>пся с>пупенчатой, если сурцествдет отреюк (и, у) и его разбиение т = (х>),, п>акое, что функция Г постоянна на каждом из прил>еэкуп>ков (х> и х>), > = 1,2, ...,/г, и равна нулю вне промежуп>ка (а, (>): > (х) = си х» < ХО" хр > = 1, 2, ..., й, (с,— поспюяннпя), 1'(х) = 0 при х(а и х ~ Ь.
Если А = 1, т. е. разбиение т. состоит из одного отрезка, то ступе»чачая фуикшщ называется одноступенчатой. Каждая ступенчатая функция является линейной комбинацией одноступенчатых функций, принимающих значения только 0 и 1. Действительно, если положить ев.Я. Стреясяение коэ4фисСиентов Фарье к ндяю Тогда, согласно определешпо несобственного интеграла, для лсобого фиксированного числа е) 0 сушестауют такие числа З и и, что (55.8) Функция [ исстегрссруелса по Риману на отрезссе [$, т[), и, следовательно, если обозначить через з, нижнюю сумму Дарбу функции 1, соотвегствуюшую разбиегппо т отрезка Й, т[[, то Иш а.= ) р(х)с[х. л, о Поэтому существует разбиение т„= (хс)~.
с отрезка [з, э)1, такое, что О< ) р(х)с[х — зч( — ', где Ь ам= ~~тсЛхп т; = [п[)(х), Лх; = х,— х; ц (= 1, 2, ..., /г. — 1, счя<»; Положим т„если х; с < х ( х„[= 1, 2, ..., сс, О, если х($ или х,> сб ° ° ср (х) — ступенчатая функция и е ср (х) с[х=, ', т, Лх,. = а... с=! Следовательно, (55.9) при этом поскольку ср(х) < с (х), $ < х(тн то [ [ (х) †ср (х)[ = [ (х) — ср [х). Из неравенств (55.8) и (55.9) имеем: Ь е ) [[(х) — ср(х)[с[х= ') [с(х)[с[х+[ [)(х) — ср(х)[с(х+)[р (х)[с[х(е.
а Ю а ЗБ. [<яяссичсския ряды Фурье ! Полагая, например, в = — и обозначая соответству1ощие ступенчатые функции ср через <р„, н = 1, 2, ..., получим последовательность ступенчатых функций <р„, для которой выполняетсв условие (55.7). Лемма доказана. Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы. Для всякой одполупенчатой функции гр(х), равной 1 на полуинтервале [з, я1) и нулю зне его, очевидно, имеем ь !ин ) й (х) ч1п тхг!х=!ип 1 з!п ах с!х=- ч сяь 7 СС = п!п соя тс — соя тЧ = О.
М ОЭ Так как любая ступенчатая функция является линейной комбинацией одноступенчатых функций указанного вила, то утверждение теоремы верно и для любой ступенчатой функции. Если теперь функция Г является абсол)отно интегрируемой на промежутке с концами а и Ь, — со ( а с. Ь < +со, то для любого числа е О, согласно лемме, существует ступенчатая функция яр, такая, что ~ )~!х) — ср(х)(дх» —. а С другой стороны, сущесчяует такое т-;, что прн м> т, я ) ср(х) з!и тхпх~( —, я тогда при т„в-ъя имеем также ! ь Ь 1~я::-~ !<1т*~ —.ыяя.;-~!1юяя „я*/«., / ч Я 4 что и означает, что !ин ') )(х)з)цтхдх=О. оя и Аналогично доказывается, что !ип ) )(х)созтхс(х=О.
я сся Теорема доказана. 2а! эдр. Сг репеек>ге коэфгучггггекгов гперье к нуль> 3 а м е ч а н и е. Для лк6ой неггрерывной на отрезке [а, Ь) 4ункции ! суи[ествуегп последовательноспгь таких спгуггенчаггиях функцггй Ч„, что 1нп ) [[(х) — гр,(х)[эйх=.-О. л- сО. Зто легко доказывается методом, похожим на тот, которым была доказана лемма.
Лействительно, пусть т =- (х,-),.'', — некоторое разбиение сарезка 1а, Ь[, т,= гп11(х), кг г кк<л то если хг ! ейх(хо !==1, 2,..., /г, О, если х(а или х > Ь, н ы(Ь; 1) — модуль непрерывности функции 1. Очевидно, О < 1(х) — грг(х) < ы(б; 1), нозтому )р [1(х) — грг (х) [эйх.( о>э(бг; )) (Ь вЂ” а) л и, следовательно, 1пп ~ [1(х) — гр,(х) [' с[х =- О. Ьг-ел Это утверждение легко обобгцается на случай, когда функция 1 непрерывна на конечном или бесконечном интервале (а, Ь) и ннтегрируема на нем в квадрате в несобственном смысле. Определение Б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
