kudryavtsev2 (947414), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Определение 9. Пусть функции !' и д определены иа отрезке [а, 5). Величина ь [ [1 (х) — й (х))' гХх называется среди м квадратичным огтгкгюнениелг на отрезке [а, 5[ функции й от функции )*>. Определение 10. Систелга функций (55.29) натьгвается полной в смысле среднего квадрапшчного для некоторого лгножестгга Р функций, определенных иа отратке [а, (г[, если, какова бы ни была функция [ ( Р, для киждого е ь 0 сущеапоует такая конечная линейная колгбинация фуикс!ий систелгы (55.29), чгло ее среднее квадратичное отклонение на отрезке [о, Й от функции ! меньше е. Теорелга 8.
Система пгригономеггтрических функций (55.2) полка и смысле среднего квадратичного в множестве непрерывных на опгрезке [ — и, н[ функций, принимпгощих в гпоисах и и — и одно и то жеаначвние. '~ Можно сказать тфункции ! от функвии дт, поскольку рассматриваемая величина не меняет своего значения, если функнии 1 и д поменять местами. называется полной для лгножествп )тт, если, какова бы ип была функция [ ~ Р, для каждого е ) 0 сугцествуегп такое конечное число функций три, ц'„, ..., ци из систелгы 155.291 и такие чисгц лат ' 'т ла Лм Л, ..., Л„, что * [)(х) — [Ллср„,(х) + Л,гр„ (х)+ ...
+ Лллр„а (х)'[с., е для всех х ~ [а, Ц. Иначе говоря, система функций (55.29) образует полную систему для множества Й, если любую функцию из Р можно сколь угодно точно приблизить конечными линейными комбинациями функциИ системы (55.29). Используя понятие полноты системы, теоремы б и 7 предыдущего параграфа можно перефразировать соответственно следующим образом. Теорема б'.
Система тригонолгетрических функций (55.2) полна для лгножесл|ва непрерьгвных на отрезке [ — и, и] функций, принимающих иа концпх этого отратка равные значения. Теорема 7'. Систелга неотрицательных целых степеней х, т. е. система й Зд Классические ряди Фурье Л с к а з а тел ьс та о. Пусть / — непрерывная на сирезке 1 — и, п) функция и пусть /(и) =- /( — и). Согласно теореме 6', для любого е ) О существует такой зригонометрический полипом Т(х1, что 1/(х) — Т(х))( ', и (х (и. )' вя Отсюда для среднего квадратичного отклонения этого полинома оз функции / писем Л / и ~1/(х) — Т(х)1'т(х ( —,, — ~/ ~ Нх= в.
Теорема доказана. В дальнейшем мы увидим (см. п. 58.5), что ограничение /(и) = = /( — и), использованное нами прн доказательстве теоремы 8 (только в этом случае можно было сослаться на теорему 6'), не является существенным. Именно, тригонометрическая система (55.2) полна в смысле среднего квадратичного во всем множестве непрерывных на отрезке( — и, и1 функций, н, более того, можно показать, что она полна в смысле среднего квадратичного и в множестве всех функций с интегрируемым на отрезке 1 — и, и1 квадратом.
Заметим, что тригонометрическая система (55.2) заведомо не полна в множестве всех непрерывных на отрезке 1 — и, и1 функций в смысле определения 8. Действительно, если функция / такова, что для любого е ~ О существует такой тригонометрический полипом Т„ что 1/ (х) — Т (х)) ( е, — и ( х < и, то нз условия Т, (и) = Т, ( — и) при е- О следует, что / (и) =/( — и). При приближении функций в смысле среднего квадратичного тригонометрическими полипомами особую роль играют частичные суммы ряда Фурье приближаемой функции.
В следующем пункте будет показано, что частичная сумма и-го порядка имеет наименьшее среднее квадратичное отклонение от данной функции по сравнению с любым тригонометрическим полиномом степени и. Все эти обстоятельства говорят в пользу изучения приближения функций в смысле среднего квадратичного отклонения. Наконец, можно показать, что если функция / имеет интегрируемый на отрезке 1 — и, и1 квадрат, то отклонение от нее в смысле среднего квадратичного ее частичных сумм Фурье 8„(х) стремится к нулю, когда и — ь сю, или, что то же самое, функция / с интегрируемым квадратом является пределом в смысле среднего квадратичного (см. определение 5 в п.
55.2) своих частичных сумм Фурье (см. об этом в и. 58.5). Я.В. Минимальное сенвпев нозфвнкнентае Фурье Аналогично теореме 8 доказывается следующая теорема. Теорема У. Сиса!ела неон!рхцапкяьных целых опспеней х, пь е. сисвпелю (55.30), полип в слвысле среднего квв!драп!ичного в лнажевптве непрерывных на любом заданном оп!рачке 4м~нкций.
Д о к а з а т е л ь о т в о. Пусть функция ) непрерывна на некотором отрезке 1а, 51. Тогда для каждого г ) О, согласно теореме У', существует такой полипом Р, что 11(х) — Р(х)1(, а сх(Ь, отсюда в ~/ ) 11 (х) — Р (х) 1' дх ( г. а Теорема доказана. 55.8. й(инималы!ое свойство коэффициентов Фурье. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля В этом пункте рассмотрим ряды Фурье для интегрируемых функций, квадраг которых также интегрируем (адесь интегрируемость понимается, вообще говоря, в несобственном смысле) на отрезке 1 — и.. и).
Это имеет смысл, так как есля функция 1 такова, по ее квадрат)е интегрируем на отрезке 1 — и, и), то из неравенства следует, что функция 111 интегрируема на этом отрезке. Обратное, вообще говоря, неверно. Существуют положительные функции (на! пример, функция ~ — ), интегрируемые на отрезке 1 — и, и), квадрат которых, однако, уже не интегрируем на этом отрезке, Таким образом, укааанное множество функций с янтегрируемым на отрезке 1 — и, и1 квадратом составляет строгую часть множества всех абсолютно интегрируемых на отрезке 1 — и, и) функций. Теорема 10. Пусть ! — функция с ингпегрируельив нп оп!резке 1 — и, и1 квадрппюл.
Тогда, если Бв(х) — ее сумма Фурье порядка и, гпо в в 1~(х) — 8н (х)1'дх = пнп ~ [)(х) — Тн(х)1" йх, (55.31) У (е! и — е 2ЕВ б Я. Кяассияеские ряды (пер(! где минил(е/л! епраеод иасап! раиенстеа берется по асам тригоно меп(рическим многочленам Ти спгепсни ке еьаие и. Если аа, аа, ба, и = 1, 2, ..., су(пь есоэффи!)иенпьы Фурье ф)/нкц иь )', то спраеедлиео нераьксп)ео 2 со — + ~~ аа+ Ь, < — ) )2 (Х) С(Х, ОО ~! 2 2 ! ( я=! — я (55,32) называемое кераеенстоом Бесселя '. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Ю Т„(х) = — + 'Ъ Аь сои/сх+Ваа(п Ах, ь-! тогда, открывая квадратные скобки в выражении ) 1) (х) — Т„(х)). е(х (55.33) /42 и ((((-е(((е = 1(((е*-~- ( —,' е ~' а(еа!)— — я а=! и я — (~ —,' ) (( (н*е та„) (( ( !*!*-~- а ! — я И я я еа„) ! ( (а ! ! = ) (( (и е — -ь т А,'е а!)— й — а (,=! я ~'" етая,е(а, = (я((*( 2 . ° ! й=! й и +и ' " + Ь (Л» — аа)'+(Ва — Ьа)' .ьи л= ! 2 я ) "о - 2 Л вЂ” и — +Ъ ал+Ьь .
а=! (55.34) и! Ч(. БЕССЕЛЬ (!784 — 1848) — ИЕМЕИКИй аетрОИОМ И МатЕМатИК. и испольауя лемму иа и. 55.1 (в частности, ортогональность триго- нометрической системы), получим в ЗВ. К.юссаьеские ряди Фупье 270 е 1 Ях) — Т (х) [' дх ( а. Согласно же теореме 1О [см. («с«5.31)], для суммы Фурье Б,(х) того же порядка А выполняется неравенство ) [!'(х) — Ба (х)!"- дх ~ р~ Ц(х) — Т (х)]' дх. Отсюда и из формул (55.35) и (55.36) получим г- а а е«««* — — "-~~ .'«- «.', с [«««е* — [ —" ,«те«ь.]= — е л=! л е=.
! - 1[!«,« — е,«,«1 с*< Цд*! — г«,«]<.. Поскольку зто неравенство справедливо при любом а ) О, то левая его часть равна пуп!о. Теорема доказана. Следствие. В предположениях гпеорел!ы л ! ип ( [~(х) — 5,«(х)]а дх = О. в « (55.35) 55.9. Характер сходимости рядов Фурье. Почленное дифференцирование и интегрирование рядов Фурье Изучим связь рядов Фурье функции и ее производной.
Теорема И. Пусгпь функция ( непрерывна на отрезке [ — л, л[, Д вЂ” л) = ](л) и пусть *! М. Парсеваль (ум, в !836 г.) — фравиузскьй ма«еиатвк, Теореми Т1. Пусть функция )' непрерывна на отрезке ] — л, л], [( — л)=! (л) и а„а„, Ь„, и=1, 2, ...,— ее коэффициенты Фуры. Тогда справедливо равенсгпво сю Г ав - в — ! !в(х) дх= — + '~ аа-[ Ьсе И 2 и=! называемое равенсгпвом Парсеваляа!. Д о н а з а т е л ь с т в о. Для каждого а ) О в силу полноты в смысле среднего квадратичного системы тригонометрических функций (55.2) в классе непрерывных функга«й, принимающих одинаковые значения на концах отрезка [ — л, л], для функции / существугп тригонометрический полипом Т(х) некоторого порядка й, такой, что 271 ЗЗУ, Хпроктар гходииогти ряд< и Фурье /(х) —,< + ч а,солих+ Ь„з(п пх.
и=< Если функцггя / имеет кусочно непрерывную (см, определение 1 в и. 30.2) на отрезке 1 — и, и) производную /', то /' (х) — ~~ — па„ат лх+ пЬ„соз пх, т. е. ряд Фурье производной получается из ряда Фурье самой Функции Форл<альным почленным диг/л/теренцированггел<*ц Доказательство. Пусть /' (х) —" + 'Ьт ал соз ах+ (), з( п пх. Тогда, замечая, что /(л)=/( — л), н интегрируя по частям, получим 1 / (г)дг=- — 1/( ) — /( — )1=0, 1 я я а„= — ~/'(Г)соз гас(< =-./(<) сок лг~ + —" ~/(г) з(п пгт/1 = пЬ„, я я — ) /'(<) з(п л<йг =/(Г) з(п ттг~ — ~/(г) сок тгг<(г = — па„, 1 г л л 1, 2, Теорема доказана. Перейдем к изучению скорости сходимости ряда Фурье в аависимости от гладкости функций Предварительно докажем лемму.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
