kudryavtsev2 (947414), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Доказательство. Пусть сначала 1 вещественная функция. Формально дифференцируя по параметру интеграл +со г [1] = — ] 1 (х) е "«йх у'Б . н замечая, что ]х((х) е — ы«]=[х1(х)], получим абсолютно и равномерно сходящийся интеграл +со — 1 ~ х1 (х) е '«0х, — оо <" у <" + оо. Следовательно (см. и. 54.2, теорема 6), в этом случае преобразование Фурье у[1] функции Г является дифференцируемой функцией и юГ [Л = Р [х]]. Если теперь | = и + ]о, где и н о — вещественные функции, то Г[1]=Г[и+Ы]=(с [и]+(у[о])'=Г[и]+]Г[о]=- = — (Г[хи]+ Е [хо[= — ]г [хи+ (хо] = — (г [х]].
Далее по индукции получаем, что преобразование Фурье Я[] функции 1 имеет производные до порядка п включительно и 1 г~ [Д=Р[х(], и=О, 1, ...,ьа. Теорема доказана. С л е д с т в и е. В предполоехениях теоремы все производные РтИЯ, й = О, 1, ..., и непрерывны и стремятся к нулю при стремлении их аргул ента к бесконечности. В силу леммы 4 следствие непосредственно вытекает из того, что производные РипЩ являются преобразованием Фурье абсолютно интегрируемых функций. Можно показать, что если абсолютно интегрируемыми оказываются произведения вида е'«о 1(х), при тех илн иных ограничениях на а ) О и п)О, то это приводит к еще большей гладкости преобразования Фурье, а именно оказывается, что оно принадлежит а тем или иным классам аналитических функций. Э БХ Фанкиооволькые ороетровггво ф 57.
ФУНКЦИОНАЛЬНЫС ПРОСТРАНСТВА 57.1. Метрические пространства Определение 7. Множеспюво элеменпюв (х, у, г, ...) называется мегприческим простронспэюм )7, если на множестве упорядоченных пар (х, у) элементов этого множества определена неотрицательная ехпцественная функция р(х, у), называемая расстоянием (или метрикой), токая, что: 1) р(х, у)=0 тогда и только тогда, когда х=у," 2) р(х, у)= р(у,х) х~Е, у~Я; 3) р(х, у) < р(х, г)+ р(г,у), х()7, у~Я, гр.17. Условия 1, 2 и 3 называются аксиомалш расапояния.
Элементы метрического пространства называются пючками, П р и м е р ы. 1. Совокупность вещественных чисел, а также совокупность комплексных чисел образуют метрическое пространство, если в них определить расстояние по формуле р(х, у) = ~ х — у ~. 2. Пусть Š— некоторое множество. Рассмотрим множество ограниченных на Е функций, принимающих действительные (или компленсные) значения. Для двух таких фуннций ~р и ~р положим Р(В Ф)=зов~!Р(Г) — Ф(Г)! ° (57.1) Легно проверяется, что фуннция р(<р,ф) является метрикой. Справедливость свойств расстояния 1 и 2 ясна непосредственно. Проверим справедливость свойства 3. Пусть !р, ф и Х вЂ” ограниченные функции, определенные на множестве Е.
Для любого элемента 1~ Е имеем ! гу (г) — Х (г)! =! Ь (г) — ф (Г)) + (ф (!) — Х (г)! ! < < М (!) — "Р (() 1+ ! М) — Х (!) 1* поэтому 1 гу (!) — Х (!) ! < цР 3 Ч (!) — ф (!) 1 + зпР ~ ") (!) — Х (!) 1, откуда зц 1~(!) — Х(!)~<зцр~Ч(!) — р((И+ цр!(1) — Х(ТИ, т. е.
Р (Р Х) = Р(Р. Ч) — Р(У* Х). Всякое подмножество метрического пространства )7 в свою оче. редь является метрическим пространством и называется подпространством просп!ранства Я. Определение 2. Два метрических пространства )г и Я' называются изометричнылш, если леежду их точками суи(е- 297 о7й.Метрические пространства ствует взаимно однозначное соответствие 1, сохраняющее рас- стояние между точками, т. е. такое что, если х'=1(х), у'=~(у), х~й, у~й, х'~ й', у'~й', то р(х, у)=р (х', у') (такие соответствия также называются изометрическими).
Определение 8. Пусть й — метрическое пространствм последовательность его точек (х„) называется сходящейся к точке х~ й, если 1пп р (х, х„)=0, т, е. если для любого числа л со а)0 существует такой номер п„тпо для всех пол~еров паапа вьиюлняется неравенство р(х, хп)(е. В етом случае пишется х=1ппх„и говорится, что пючка х является пределом данной и со последовательности. Например, в метрическом пространстве функций, определенных и ограниченных на некотором множестве„расстояние между кото- рыми определяется формулой (57.1), последовательность функций (~р„) сходится к функции тр, если 1пп зпр1тр(с) — ср, (т)1=0, л-+ тее' т.
е. если последовательность (тр„) равномерно на множестве Е сходится к функции ~р (см. т. 1 и. 36.2). Упражнение 1. Множество Е метрического пространства (с назы- вается оераниченныкь если Н = апр р (х, у) < -1- оо тев, тае (величина В называется диаметром множества Е). ссоказать, что всякая сходящаяся последовательность ограничена. Определение 4. Последоватпельноапь (х„) точек метричеса)го пространство й называется с)ундаментальнои, если для любого чи- сла е ) 0 существует такой номер п„что для всех номеров и ь и, и т )~ и, выполняется неравенство р(х„, х )с, в. Лемма 1. Если последовательность (х„) сходится„то она фундаментальная.
ххоказательство. Пусть !ппх„=х, тогда для любого и со числа в >О существует такой номер п„что для всех номеров и ) п, справедливо неравенство р(х, х„)( —. е В7, Фенкяаоналвнме пространства Следовательно, если и > и, и т > и„ то Р(хп х )йР(хт х)+Р(х~х~)< + ( Лемма доказана. Определение д. Мегприческов притронство 77 назьмается полным, если всякая вго Фундаментальная последовательность является сходящейся. П р и и е р ы.
1. Метрические пространства вещественных и комплексных чисел являются примерами полных метрических пространств. Полным является и и-мерное евклидова пространство Е" (см. п. 18.1). Рациональные числа дают пример неполного метрического пространства. 2. Рассмотрим метрическое пространство функций, определенных и ограниченных на множестве Е, расстояние между которыми определено формулой (57.1). В этом пространстве последовательность функций ~Р„п = 1, 2, ..., является фундаментальной, если для любого числа з ) О существует такой номер и„что для всех номеров п > и, и т .в.
т, выполняется неравенство Р(тРтп <Р )=знР ~Ч~„(х) — тг (х)~(з, Е т. е. если последовательность (тР„) удовлетворяет критерию Коши равномерной сходимостп последовательности на множестве Е (см. п. 36.2). В силу этого критерия последователыюсть (~Р ) равномерно на множестве Е сходится к некоторой функции тР, т.
е. Игп знр )тр(х) — <Р„(х) ~ =О. (57.2) и со Е Покажем, что эта функция тр также ограничена и, следовательно, принадлежит рассматриваемому пространству. Лействительно, в силу (57.2) для любого числа е ) О, в частности для е = 1, существует такой номер и„что 1тг(х) — <Р„(х)~(1, х~Е, для всех и> и„поэтому ~ тР (х) / < ! ~Р (х) — тР„, (х) ~+ ( сР (х) ! ( 1+ знр ~ тр,„(х) /. Так как функция тр„, ограничена, то ограничена и функция ~Р.
Мы доказали тем самым, что рассматриваемое пространство функций является полным. Для всякого метрического пространства 77 естественным образом вводится понятие з-окрестности 0(х, е) точки х~71, е) О: 0(х,е)=(у:у~)7, р(у, х)(е), Б7.1. Метрические прасгравггеа а затем дословно, так же как для и-мерного пространства Е" (см. т. 1, и. 18.2), вводятся понятия точки прикосновения множества, предельной и изолированной точки множества, граничной точки множества, замыкания А множества А, понятие замкнутого и открытого множества. Справедливы для произвольных метрических пространств и леммы 1, 2 н 3, доказанные в п. 18 2 для открытых и замкнутых множеств и-мерных евклидовых пространств, причем доказательства, приведенные в и. 18.2, сохраняют свого силу и в общем случае.
Определение б. 1ч(ножеатгво А лгетрического проспгранства Р называегггся плотным в лгножестве В в>ного пространства, если А ~В иА=В. Например, множество рациональных чисел плотно в множестве вещественных чисел. Определение Т. Полное метрическое просгпранство ггв наггывается пополнением метрического пространства Р, если в проспгранспгве Рв суи1ествует плотное в нем подлгножество Я', изометричное проспгранству Я.
Иногда бывает удобно отождествить элементы пространств В и й', соответствующие друг другу при изометрическом соответсгвии пространств В и Я', и тем самым рассматривать множество Р как подмножество его пополнения гггв. П р и м е р. Множество вещественных чисел является пополнением множества рашгоггальных чисел. Теорема 7. Для всякого метрического пространопгва существует его пополнение. Доказательство. 1.
Конструкцггя пополнения Я" заданного метрического пространства >г Две иоследовательности (х„) и (у„) элементов пространства )г назовем эквивалентным, если (57.3) 1пп р (хгр у„) = О. и-сю Множество всевозможных фундаментальных последовательностей пространства В распадается на непересекающиеся классы эквивалентных между собой последовательностей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
