kudryavtsev2 (947414), страница 52

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 52)

В силу условий леммы существует такая точка к, ~ [а, Ы, что 7(хз) ) О. Поскольку функция 1 непрерывна в точке х„то найдется такое 5 ) О, что при [х — х„[( б и х~ [а, Ы вьщолняется неравенство [1 (х) — 7 (хе) [ ( — ' и, следовательно, 1(х) > — '). Пусть [хе — б хз+б!''[а Ы=[ц, р[, тогда в силу неотрицательности функции 7 на отлезке [а, Ь[ получим а ) 1(х) Их)» ) 1(х) ах»» — 7(хе) (р — о.) > О. в У п р а ж н е н и е 12. Пусть й — линейное квазнвормированное пространство. Элементы х С тт и у ~ й называются эквивалентными, если йх — у~[=-О.

Обозначим через Я множество, элементами которото являются классы эквивалентных злемевтов пространства Й. Пусть х ~ Я, у ~ К, х ~ х, у й у, й — число. Определяя х+ у как элемент множества й, содер;кащнй х+у, а йх — как элемент нз й, содержащий йх. Положим Лемма доказана. Возвращаясь к квазипорме (57.11), видим, что если 1' непрерывная функция и [1([ = ~* [1(х) [ дх = О, то, согласно лемме 2, будем иметь о 7 — О на [а, Ь), т.

е. в этом случае (57.11) является нормой. Подобным же образом легко строятся аналогичные пространства и для функций многих переменных. й В7. Фунхггногголькые пространство згй Ц х Ц = Ц (х — у)+ у (г < Ц х — у Ц+ /г у Ц, Ц.Ц вЂ” ЦуЦ<Ц -уЦ ЦуЦ вЂ” ЦхЦ <Цх — уЦ. то и аналогично ЦхЦ=)х1, хгоггазатгв что данные определенна корректны, т. е. ке завнсят от выбора элементов х ~ х н у Ч у, н что гт является лннейным пространством, а Ц х Ц вЂ” нормой.

Определение 21, Если последоеагпельность (х„) элементов квазинормпрованного (в частноспги, нормированного) линейного ггространства 1т такова, что существует элемент х ~ Й, такой, что Вгп Ц х„— х Ц = О, то последовательное ть (х„) назьгвается в во сходяи(ейся по квазинорме (соответственно по норме) к элелгентух и ггиигегпся х= !цп х„. Вводя в каком-либо линейном пространстве функций различные квазинормы (в частности, нормы), будем получать различные понятия сходимостн последовательностей функций. Например, сходнмость в смысле нормы (57.!О) означает равномерную сходнмость, сходнмость в смысле квазннормы (57.11) является сходнмостью другого рода, она называется сходимостью в среднем (мы уже встречались с такого рода сходнмостью: см.

например, лемму 2 в п. 55.2). В линейною нормированною пространстве Я можно естественным образом ввести расстояние между элементами этого пространства. Именно справедливо следующее утверждение. Лемма 3. Линейное нормированное пространство )тг является метрическим пространством с метрикой р(х, у)=Цх — уЦ, (57.13) при эпюм сходимость последовагпельносптей е пространстве Й по этой мыприке соепадаепг со сходимоспгью по норме.

До к а з а т ел ь с т в о. Функция р(х, у), определенная формулой (57.13), действительно является расстоянием: свойства расстояния (см. п. 57.1) вытекают из свойств нормы 1 — 4 (проверьте зто). Второе утнержденне леммы очевидно. Будем говорить, что метрика (57.13) порождается заданной нормой проапринстеа Р.. Лемма в Для любых двух элементов х и у линегтного кеазинормироеанного ггространппва )т справедливо неравенсгпво !ЦхЦ вЂ” Цу)! <Цх — уЦ. (57.14) Доказательство. Так как ЮУ,Д Нормированные пространства 311 Из последних двух неравенств и следует неравенство (57.14).

Лемма доказана. Лемма б. Норма являепгся непрерывной функцией на линейном нормированноаг пространстве в смысле метрики (57.13). До к а з а т ел ь с т в о. Пусть заданы элемент ха~Я и число в ) О. Возьмеы 6 = и (см. в п. 57.1определение9 непрерывнои функции в метрическом пространстве).

Из условия ))х — ха1 ( и в силу неравенства (57.14) получаем !1х1 — (хьг~) ч„е. Лемма доказана. У п р а ж н е н и е 13. Доказать, что функции л + у и )гя явля!ется непрерывными функциями во всяком пормировапяом линейном пространстве, иначе говоря, что операцин сложения и умноягенпя на число непрерывны в указанном пространстве. Определение 22. Пусть Я вЂ” линейное квазинормированное (вчастноспги, нормированное) прострпнопво. Множеспгво Ес:)с назы- вается ограниченным, или, подробнее, ограниченным по квазинорме (аютвепгственно по норме), если сдщеспвует такая постоянная М ) О, что (х)) < М для всех х~Е. Лемма 6. Если последовательность (х„) сходится по квази- норме в г(, то она ограничена.

Доказательство. Пусть х=1нпх„; в силу сходимостн и зь последовательности существует такое п„что если п,г- п„то х„— х) < 1 и, следовательно, !!х„1 < Ц(х„— х)+ х1< Цх„— х!!+!!хЦ < Цх)+ 1. Положим М=пгах()хт(, !!ха(, ..., !!х„, 11, 1х1+1), тогда, очевидно, !!х„()< М для всех п=-1, 2, ....

Лемма доказана. У п р а ж н е н и е 14. Доказать, что множество Е линейного нормированного пространства ограничено по норме тогда и только тогда, когда оно ограничено как множестно метрического пространства в смысле метрики (57.13) (см. упражнение ! в п. 57,1). Определение 23. Линейное нормированное просгпранспгво называется полным, если оно является полным метрическим пространством в смысле мел!рики, порагкдаемой нормой данного проспгрансгпва. Полное линейное нормированное проспгранство назьшается банаховым пространством*г.

Линейное нормированное пространство С (а, Ь) непрерывных на отрезке (а, Ь) функций с нормой (57. РО) является банаховым пространством. Мы в этом убедились в п. 57.1, когда рассматривали метрическое пространство непрерывных на отрезке (а, Ь) функций с рас- в! С, банан (1892 — 1945) — польский математик. 4 57. сэункцаоналснив пространства стоянием (57.1), которое как раз тюрождается нормой (57.!О).

Л1ы видели, что тюлнота пространства С (и„й) следует нз того, что сходимость последовательности в этом пространстве оаначает ее равномерную сходимость на отрезке (а, Ы. Теорема 2. Всякое линейное нормированное пространсп1во содержится и плотно в некотором банаховом пространстве. Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно теореме 1 п. 57.1, достаточно показать, что на пополнение Р* линейного нормированного пространства )г можно продолжить с ?? алгебраические операции и норму. Это можно сделать с помощью предельного перехода. Как и при доказательстве теоремы 1, будем считать, что )гс:)г*, иначе говоря, отождествим пространство ?с с изометрическим ему подпространством пополнения ??с. Пусть, например, х(Яв и у~ Яв. В силу плотности Я в??с существуют последовательности х„(- Р и у„~ Я, и= 1, 2, ..., такие, что Итп х„ = х, 1пп у„ = у.

п-ссс Р сс Покажем, что последовательность (х„+ у„) сходится. Действительно, р(х„+уп, х +у )=((х„+у„) — (х +у„)(~ <(х„— х„)+(у„— у (=р(х„, х )+р(у„, у„). Из сходимости последовательностей (х„) и (у„) следует, что они фундаментальные, поэтому последовательность (х„+у„) также фундаментальная и, следовательно, в силу полноты .Кв сходящаяся. Положим по определению к+у=!пп (х„+у„).

и сс Аналогично с помощью предельного перехода определяется и Хх, х ~ )х*. Легко проверить, что определенные так алгебраические операции х+ у, Хх для элементов пополнения )ххс* не зависят от выбора последовательностей (хп) и (у„), таких, что х„ -х, уп у, хп~)7, у„~)?, п=1„2, .... Также легко убедиться, что в случае, когда элементы принадлежат исходному пространству Й, определенные нами алгебраические операции совпадают с заданными.

Определим теперь норму для х~ й". Пусть х„~)х, и=1, 2, ..., и )пп хп=х. Покажем, что последовательность () х„1) фундамени сс тальная. В самом деле, из неравенства (5?.14) для всех натуральных и и т имеем И х„3 — 'и х„) ~ < ) х„— х ( = р (х„, х„,). (57.15) 378. Норяоровоянне проотрпиетвп 313 Последовательность (хп), будучи сходящейся, является и фундаментальной, поэтому из неравенства (57.15) следует, что и числовая последовательность (11х„11) фундаментальная, а значит, сходится. Положим по определению 11 х 11 = 1пп )~ х„)!. )( х — (>,,х,+ ...

+ Х„хо ))((а. (57. 16) С частным случаем понятия полноты для системы функций мы уже встречались в п. 55.7. Определение 26. Если в линейном нормированном простринстве )7 суи(еспыует последовательность элементов х„, lг = 1, 2...,, оброзуюи(ия полную систему проапранапви Я, то 11ространство )7 называется сепирибельным. В заключение этого пункта введем понятие базиса; предварительно введем понятие ряда в пространство )7. Определение 26.

Рядом в линейном нормированном пространстве )с будем называть выражение види Х х„, где х„ЕТт„п=1, 2, о ! (57. 17) Так определенная норма 11 х 11, х ~ )7в, не зависит от выбора последовательностяхх„~ Я, и = 1, 2, ..., такой, чтох„- х. Легко проверить также, используя предельный переход, что для функции )(х11, х ~ Я*, выполняются свойства нормы ! — 4 и что в случае х ~ )т мы получаем прежнюю норму. Теорема доказана.

Характеристики

Список файлов книги