kudryavtsev2 (947414), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Система элементов х, а~Я (Я вЂ” некоторое множество индексов), пространства К назьсваепссн орпюгональной, если любые ее два элемента ортогональны. Если, кроме того, норма ее любого элемента равна единице, т. е. ) х„) = 1, и ~ Я, то она называется ортонормированной. Очевидно, если система (х„,и ~ Я) ортогональная и х зьО для всех и ~ Я, то ее можно нормировать. Действительно, поделив каждый элемент на его норму, получим ортонормированную систему —, а~%~. Лемма 1.
Если система (х„и~Я) элементов пространства. 1т является орпсогональной и все х эьО,а~ Я, то эпса система являепкя линейно независимой системой. Доказательство. Пусть для некоторых элементов х„„, аь~ Я, й=1,2,...,п, В аз. Оргонор.иарааанние Оазисы и разложении ао нии имеем Л хи +Л х„+ ...-1-Л х„=О. Умножим скалярно обе части этого равенства на х, ь фикси 'А ровано (а=1,2, ...,а), получим 1 л (хи, хеи) =О ибо в силу ортогональности системы (х х„)=0,/Жй. Замечая т и далее, что по предположению х„~О и, следовательно(х„, х„)~0, и ь' "и получим Л„=О, 5=1, 2, ...,а. Линейная независимость системы х„, и(-Й доказана.
Докажем еще одну лемму, дающую критерий линейной независимости функций через скалярные произведения. Лемлги 2. Если для системы влеменпюв х„..., хи ароопранство )с оаределипмль (х, х,) (х, х„)... (х, х„) (х.„хт) (хга ха) ... (х„ха) (х„, х,) (х„, х,) ... (х„, х„) равен арлю, то система линейно зависимо. Опредеиитель 6(хо ..., х„) называется определителем Грамма данной системы.
До к а з а т ел ь от в о. Рассмотрим линейную систему а уравнений с а неизвестными Ль 1= 1, 2, ..., и: (Л,х,+ ...-1-Л„х„,х,)=0, 1=1, 2, ..., а, (58.1) или Л, (хт, х;)+ ... + Л„(х„, х,.) = О, 1= 1,2, ...,а. Определителем этой системы является транспонированный определитель Грамма, который по условию леммы равен нулю.
Следовательно, система (58.1) имеет нетривиальное решение Л„..., Л (т. е. такое, что не все Ль | = 1, 2, ..., а, равны нулю). Умножим равенство (58.1) на Л; и просуммируем по 1 от 1 до а: (Лтх, + ... + Л„х, Л, х + ... + Л„х„) = О. Отсюда Л,х,+...+Л„х„= — О, что означает линейную зависимость системы х„..., х„. Лемма доказана. ззз БВЛ.
Ортонорлнровонные составы Упра жн е н не 1. Доказать, нто если система элементов х,, ..., х„ линейно зависима, то ее определитель 1'рамиз равен нулю. П р и м е р ы. 1. Тригонометрическая система функций 1, созх, з|пх, соз2х, з|п2х, ..., сових, а|и их, ... (58.2) является ортоговалыюй системой в пространстве йе [ — и, п( (см. п. 55А). Это было доказано в лемме п. 55.1. Из формул (55.4) следует, что ||а|и их||= )/й, ||сових|(=)/и, п — 1,2, ..., поэтому ортонормированная система, соответствующая системе (58.2), имеет вид 1 1 1 1 = = сов х, = з|п х, ..., = сов пх, =э|и пх ....
(/~в ' ')/ ' )/.. ' "' ')/ 2. Многочлены Ре(х)=1, Р„(х)= тн 1 и н Л, и=- |, 2, ..., (58.3) называются и о л и н о м а м и Л е ж а н д р а. Изформулы(58.3) пиано, что Р„(х) является многочленом сте- ПЕНИ Пе (хн — 1)И л! Покажем, что система (58.3) является ортогональной системой в прис!ранстве (.з| — 1; Ц, именно, докажем, что полинам Лежандра Р„(х) ортогонален к л!обому многочлену Я,„(х) степени !и ( п. Заметив предварительно, что выражение на (хз ||а !(ха при й=О, 1, 2,,„, и — 1, обращается в ноль в точках х= — 1 и х=1, имеем, интегрируя ио частям: ! ! нн (хе 1)н с(н — ! (хе 1)н Я„(х) — а !(х =(! (х) — ! — ! ! ! !(хн — ' — ! -! нн — ! (хе 1)н =( ) Ят (~9 б ба Ортонораировонние базнгы и разложении ло низ Таким образом, 1 (~)„, (Х) Р„(Х) С1Х = О, Л1 с» П, — 1 в частности, ') Ри, (х) Р„(х) г)х = О, т+ и.
— 1 Подсчитаем теперь норму полиномов Лежандра. Замечая, чтс Р (х)= — ~"+Ю !( ) (2л — 1) И Гдс ()л 1(Х) — МНОГОЧЛЕН СТЕПЕНИ НЕ ВЫШЕ П вЂ” 1, И ИСПОЛЬЗуя ортогональность Р„(х) ко всем многочленам меньшей степени, получим +! +1 Р'(х)дх.=- ~ Р„(х)~ ", х" +Ял 1(х)~Их= — 1 — 1 ! 1 (2л — 1)и и (2л — 1)И Г !)л(хй — 1)" в Р„(х) х' с(х = ~, р', 1~ „х" с(х. — 1 1 Интегрируя последовательно по частям, будем иметь +1 ! Р„(х) дх=.... = — ( — 1)" ~ (х' — 1)" с(х= 12л-1)И (2л) И -1 — 1 — 1 — 1 Таким образом, У п р а ж н е н и е 2.
Доказать, что поснедозателы1ость функций зш (2л+ 1) —, и =1, 2, ..., образует ортогональную систену на отрезх 2 кс 10, з). Заметим, что из доказанной ортогональности тригонометрической системы (58.2) и системы полиномов Лежандра (58.3) следует, согласно лемме 1, линейная независимость зтнх систем. 88.г. Оргогонолозоциг светел 58.2. Ортогонализация систем Пусть снова Й вЂ” предгильбертово пространство.
Рассмотрим следующую задачу. Пусть дана линейно независимая счетная система элементов х„, п = 1, 2, ..., пространства 1г. Требуется с помощью конечных линейных комбинаций получить из данной системы ортогональную систему. Оказывается, эта задача всегда имеет решение. Теорема 1.
Пусть х„, и=1, 2, .„„ (58.4) — линейно независимая сиспгема элементов пространства К. Тогда суи(ествует ортогональная сиспгема элементов у„, у„+ О, и=1, 2, ..., этого просгпранства, такая, что казсдый элементу„, и = 1,2, ..., являегпся линейной комбинацией первых и элеменпшв системы (58.4): у„= а„, ~ х, + а„д хд+ ... -1- а,, о х„.
(58.5) Построение ортогональной системы (у„) вида (58.5) нз линейно независимой системы (х„1 называется обычно процессом ортогонализоции системы (х„). Д о к а з а т е л ь с т в о. Положнм уд = х,. Поскольку система (58.4) линейно независима, то у, + О (почему?). ПУсть сУшествУют попаРно оРтогональные элементы Уг~ьО, а=1, 2, ..., й, й > 1, удовлетворяющие условию (58,5). Найдем элемент уд+г, ортогональный к элементам у„..., уд в виде уд» г = рд ~ г у, + ... + рг ьц, у„— х,+,. (58.6) Из условий ортогональности (58.7) получаем (ум уд)()д»»,г =(ум хд»)), ..., (уд, уд)(3дч цд =(уд, х*» ~). (58.8) Отсюда однозначным образом находятся коэффициенты 1-..
1, 2, ..., 1г. Элемент у» ьм задаваемый представлением (58.6) с найденными коэффициентами рд»иг, г=1,2,..., я, удовлетворяет условиям (58.7), Подставим в(58.6) у„, п=1, 2, „й, записанные н виде(58.5); после приведения подобных членов получим уд+~ ==ил+~ ~ хд+ ...+ад+и дхд — хд+и (58.9) Отсюда следует, что уд» г+О, ибо в противном случае элементы х„..., хд ~ ~ оказались бы линейно зависимыми, Теорема доказана.
г Ж Оатоноаииоозаннме оазисы и разложения ао нии Замечание. Отметим, что если какая-либо ортогональная система элементов г„, г„+О, и= 1, 2, ..., пространства И такова, что каждый элемент г„ является линейной комбинацией первых п элементов системы (58.4) г„= у, 1 х,+ ... + у„, „хн, и = 1, 2, ..., (58.10) то элемент г„отличается от элемента у„лишь некоторым число- вым множителем Л„: га=Лауял в=1, 2, Докажем это. Обозначим через ! (и„..., и„) линейную оболочку системы элементов и,, ..., и„(см. п.
57.2); ( (х„..., х„) является и-мерным пространством, в котором элементы х,„..., х„ образуют базис (см. п. 57.2). Элементы у,, 1=2, ..., и (соответственно, элементы гн 1=1, 2, ..., и), линейно независимы и содержатся в 1 (х„..., х); следовательно, элементы у,, 1=1, 2,...,п и элементы г„(=1, 2, ..., и, также образуют базис в пространстве й(х,, ...,хн). Таким образом, Е. (х„..., х„) =1 (у„..., у„) = =У (г„..., г„), и=1, 2, .... Элемент у ~ ! (х„..., х„) ортогонален подпространству Ь(уп ..., у„~)=Ь(хм ..., х„,), т. е.
ортогонален каждому элементу этого подпространства. Элемент же г„~ 7. (хм ..., х„) ортогонален подпространству ) (г„...,га 1) =. Цх„..., х„~). Итак, элементы у„и г„а-мерного пространства Е (х„..., х„|) ортогональны одному и тому же (и†1)-мерному подпрсстраиству Е(х„ ..., х„ ~) н, следовательно, пропорциональны г„= Л„уал п=1, 2, ... (почему)). Отметим еще, что из й(х„..., х„)=й(у» ..., у„), и=1, 2, ..., вытекает, что линейные оболочки системы (58.4) и (58.5) совпадают. Рассмотрим теперь систему степеней х: 1,х,хз,...,ха,... (58.11) Эта система линейно независима на любом промежутке (конечном или бесконечном). Действительно, если Л„+Л,х+ ...+Л„х" = О, (58.12) то, дифференцируя это тождество п раз, получим и! Л„=О, т.
е. Л„=О„ 88.8 Ряды Фурье 887 Если уже доказано, что Ль+, = ... =Л„= О, то тождество (58.12) примет вид Л -1-Л,х-)-...+Ляхе=-О. Дифференцируя его й раз, получим Л„=-О. Итак, Л, = ... =Л„= О, что и означает линейную независимость функций 1, х, ..., х". Если систему (58.11) взять на отрезке 1 — 1; Ц в качестве исходной системы (58.4) и применить к ней процесс ортогонализации (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
