kudryavtsev2 (947414), страница 60

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 60)

Теорема 14. Если функция /!- 1 е [ — и, и[, гпо: 1) она является пределом в смысле среднего квадратичного (см. п. 55.7 и 57.5) своих часпгичных сумм Фурье Ъ„(х) при и — оо, т. е. йп! ') [7(х) — Ъп(х)1'дх=О; и оз 2) справедливо равенство Парсеваля и СЫ вЂ” „[!1~[с,=- — ~ )'(х) с(х = — + У~ а. '+ Ь„'. (58.51) Л п=! Следствие. Если функция[~ Ее[ — и, п) и всеее коэффициенты Фурье по тригонолгегпрической сиоп!еже (58.2) равнь! нушо, то они являетсн нулем пространства ьэ [ — и п[- Эга теорема, согласно теоремам 4 и 5 настоящего параграфа (см. п.

58.3), непосредственно следует из доказанной выше полноты тригонометрической системы в гильбертовом пространстве Е, [ — и, л[. Следствие же вытекает очевидным образом из равенства (58.51). Из равенства Парсеваля (58.51) еще раз (независимо и! теоремы 2 п. 55.2) следует, что коэффициенты Фурье функции 1 стремятся к нулю, однако лишь для функций из Е,[а, Ь). Теорема И.

Если все коэффггциенть! Фурье непрерывной на оп!резке [ — и, и[ функции равны нулю, пш сама эта функция тождесгпвенно равна нулю. Это непосредственно вытекает из следствия предыдущей теоремы и из того, что из равенства нулю нормы в Е, непрерывной функции следует ее тождественное равенство нулю (см.

п. 57.3). С л е д с т в и е. Если две непрерывные функции имегот одинаковые коэффициенпгы Фурье, то они гпозхдественно равны. Это непосредственно вытекает из теоремы. Ж Теорема Плрншеяеля В заключение, используя полученные результаты, докажем еще одну теорему.

Теорема 16. Пуслпь 4ункция! непрерывна но отрезке( — л, л). Если ее ряд Фурье сходится равномерно нп отрезке ( — л, л), то его суммп рпвнп 4инкции 1. Доказательство. Пусть 1(х) в +,"я п„сових+ п„з!пох и пусть 5(х)=ф+ ~ п„сових+Ь„з!ппх. л=1 Прежде всего, функция 5(х), как сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций, также непрерывна. Далее, в силу теоремы 1 и.

55.1 коэффициентами Фурье функции Ях) являются числапмпр,у„,п= ),2, .... Таким оябразом, две непрерывные на отрезке ! — л, л! функции ! и 8 имени одинаковые коэффициенты Фурье, и поэтому в силу сказанного выше онн совпадают во всех точках отрезка ( — л, л[: / (х) = 5 (х), — л ( х < л. Теорема доказана. 58.6. Преобразование Фурье интегрируемых в квадрате функций.

Теорема Планшереля Если квадрат функции )' интегрируем на всей вещественной осн, то сама функция 1, воогяце говоря, не абсолютно интегрируема на всей оси, как это видно на примере функции ! )(х)= —.. = —,. э~! -!- х Поэтому на основании теории преобразования Фурье, изложенной в 5 55, нельзя утверждать существование преобразования Фурье для функций из пространства1р( — оо, оо).

Покажем, что в этом случае можно определить преобразование Фурье в некспором обобщенном смысле. Предварительно остановимся на определении пространства 1,, ( — оь, +во) для комплекснозначных функций. 5 58. Ортонорнироаанные базисы а раэложеннн но ннн Пусть 7 и д — две непрерывные функции с интегрируемым квадратом модуля на всей оси и принимающие, вообще говоря, комплексные значения. Их скалярное произведение определяется в этом случае ио формуле Д, и) = ~ ~(х)й(х)г(х. Легко проверяется, что все свойства, которыми долэкпо обладать скалярное произведение в комплексном линейном пространстве (см.

п. 55.4), в этом случае выполняются. Пространство Еэ( — оо, оо), которое мы будем рассматривать в этом пункте, определяется как пополнение предгильбертова пространства непрерывных и с интегрируемым на всей оси квадратом модуля комплекснозначных функций с указанным скалярным произведением. Через (~! в настоящем параграфе обозначается норма элемента 7 Су.е( — оо, +оо), т. е. и~= й~ХЗ, а также и квазинорма для функций 7 с интегрируемым на всей оси квадратом модуля. Выше для случая вещественных функций отмечалось без доказательства (см.

п. 57.5), что каждый элемент пространства йа можно рассматривать как класс функций. Аналогичный факт справедлив и для пространства Еэ комплекснозначных функций, причем квазинорма йф, 'функций ) совпадает с нормой элемента пространства У.„которому принадлежит (в смысле, аналогичном указанному в и. 57.5) функция 7". й(ы не будем останавливаться на доказательстве этих фактов и не будем их использовать в дальнейшем. Комплекснозначную функцию )(х) = <р(х) + (ф(х), где <р(х) и ф(х) — вещественные функции, — оо (х(+со, назовем ступенчатой, если ступенчатыми являются функции ~р(х) иф(х) (см.

определение 4 в п. 55.2). Любые две ступенчатые функции гр(х) и ф(х) можно представить в виде конечной линейной комбинации одних и тех же одноступенчатых функций (см. п. 55.2)„принимающих значения ! и О. Для этого достаточно взять всевозможные непустые пересечения полуинтервалов постоянства функций ~р(х) и эр(х). Эти пересечения также являются полуинтервалами !хн ы х„), й = ), 2, ..., и, на которых постоянны одновременно функции ~р(х) и ф(х). Поэтому, если Ззт Заб. Теорема Плаишереля е 1, если ке ! <х(х„ Ъ(х) =- О, если х(хе ! или х > хе, !е=1, 2, ...,и, — соответствующие одноступенчатые функции, то ср(х)= ~~'., Хьсае(х), з[!(х)= ~ [с ю„(х).

е ! А ! а 1(х)=- ~ Ььса„(х), и=! (58.52) где ьь=-.Ц,+е[сюй=-1, 2, ...,и,— комплексные числа. Лемма 1, Пусть Т" — комплекснозначная ступенчаепая функ![ия и с [[) — ее преобразоеание Фурье, тогда [ри[=и Доказательство. Если функция Т" задана формулой (58 52), то [[)[[з= ) [(х)[(х) дх= ~, ~р, ~ ы (х) сае (х) с[к = ~ / ~ь [ е(х!,— х,,). (58,53) Ье=-! ' -со е-! Пусть теперь О( т[ ( + оо, тогда ц з +оо +со г" [Т[с"Щс[у= — ~ ду ~Т" (х)е — ' Удх ~ Я)ецио= — — оо — со +со +со — ) Т (х) Т" (З) дх д$ ) ееУ !' — >![у = ! +со +со — 1 (х) 1 (а) .' — — дх~К. (58.54) Все преобразования здесь законны, так как на самом деле все интегралы берутся в конечных пределах.

Поскольку вещественная и мнимая части функции )(х) удовлетворяют условиям теоремы о представлении функций с помощью Отсюда следует, что любая комплекснозначная ступенчатая функ- ция 1(х)=-!р(х)+!с[!(х) представима в виде 388 8 вв. Оргонормиовинные бе»ивы и равввженин нв ним интеграла Фурье (см. теорему 1 в и. бб.!), то для всех х, кроме х = к», (г = 1, 2, ..., и, имеем (см. доказательство указанной теоремы) +в« И вЂ” 1 ('(ь) ' ' ( %=('( ) Оказывается, что в силу этого при наших предположениях в последнем интеграле (б8.54) можно перейти к пределу под знаком интеграла при «) -+ +си.

Однако соответствующая теорема не была доказана в настоящем курсе, и потому нам придется сделать несколько дополнительных вычислений. Подставляя (58.52) в (58.б4), получим РВЮ'(у= н 1 нх' ь ь — ! 4 ~ в(п«(« — х) л ° ' ",),) "— Х р»=! к) ~ к» к Х(к» вЂ” к) — йх ~ — е(!.

(58.55) д»зн «;, Х(«» ~-к) Рассмотрим поведение каждого слагаемого получившейся суммы при т) -н +во, Рив. 178 Рив. (77 Если ! = (г, то, меняя порядок интегрирования (рис. )??) и производя интегрирование по переменной х, получим «» х(«» — к) ВВ«2 Теорелш Планшепел« ззз и(кд — д г) о [ (*-*--Лг — "'" [(*-"- -')' — ",'«~ о —,(» — «д 1) д(«д-кд г) 2 ( изе 2 = — (х, — хд 1) ) —, о[1+ — [1 — соз г) (хд — хд,)]. Поскольку +о« .

' мпг « — г(( = —, 2 о (см. п. 54.3), то з(х -»д г) 2 Г «!и г (хд — хд,) [ г г(г = хд — хд — и +«к о Далее, очевидно, 2 1пп — [1 — соз г) (хд — хд ~)[=О. +хо 'Ч Поэтому кд х(х — *) )пи 1 „(Х ~' хи( д, +хки .(и г /г=1, 2,...,п. *д — г 3(«д — ! и Покажем теперь, что при 1+ /г д (хг — «) «)и г Ищ ~ г(х ~ — -гИ==О. з + (г '(д г ) ., (кд г — х) з ь ,(кд —.х, 1) 5(п г Е) «)пг — гЫ= ) ~х — хг 1 — ) — Й+ и [»д — «д г( кд — «)) мпг + ~(хз--х( г) — г(г+ к) г 1(кд г — «) — ( — г) Пусть для определенности хг г «" х < хд-~ х.

хд. При других расположениях полуинтервалов постоянства [хг и х)) и [хд н хд) доказательство аналогично. Меняя снова порядок интегрирования и производя интегрирование по х (рис. 178), с помощью аналогичных рассуждений получим зво й Ба Ортонорнироаонные бизиги и ризлозеенин но нии м(.з,— г,) ~ ~з1нг + ~ ~хг — хе — ~ + — [ — дг -«О при г[ — «оо. т(к — к ) Теперь из (58.55) и (58.54) имеем +о» э [Р[[[[[= 1 РЦ[~адх=[Оп 1 РаРЙ~ду= — оа +ы = ~~ [~н[з(х„— хи ~)=[[~[~и. Лемма дсказана. Лемма 2.

Пуппь ) — комплекснсзнаиная функция, непрерывная на отрезке [а, о[ и равна нулю вне его, тогда сущесепвует последовательность таких ступенчатых функций ееи, и = 1, 2, ..., тпо [[ш[ес — ~р„[[ = О. До к а з а т ел ь с т в о. Для вещественных функций это было доказано раньше: см. замечание в и. 55.2.

Пусть теперь ц~ = и+ (о — комплекснозначная функция, непрерывная на отрезке [а, о[, тогда вещественные функции и и о также непрерывны на отрезке [а, о[. Поэтому существуют такие последовательности ступенчатых функций (и„) и (о„), что [[и — и„[[- Ои [[о — он[[- О при и — «оо. Если ее„= и„+ (о„, то [[ <р — ф„[[ < [[и — и„[[+ [[о — о„~[, отсюда [[~р — ~рн[[ -1-О при и-«оо . Лемма доказана. Лемма а. Пусть комплекснозначная функция ~р непрерывна на отрезке [а, д[ и равна нулю вне его, тогда [[р[ц'[1= Ю.

Характеристики

Список файлов книги