kudryavtsev2 (947414), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Это сразу следует из леммы 1. Действительно, если (х, у) = ~ а, Ьд =(х', у'). л=! Теорема доказана. В качестве модели сепарабельного бесконечномерного гильбертова пространства можно взять пространство, элементами которого являются последовательности вещественных чисел к=-(х„хги ..., хее ...), со для которых ряд ~Р хд сходится. Операции в этом пространстве Д=1 вводятся естественным образом. Если Х=(Х1, Хя, ..., Хдл ...) И У=(У1, Уя - Уд~ -)» то полагаем х+у=(х,+у,, ка-ру„„., хлору „...), ~-"=( х!.
) Хм, )'хло ...) ()! — число), х= ~ адед, д=! х' = ~ч",адед, Д=1 то в силу указанной леммы У = ~чз Ьдед, Д=1 у'= ~, Ьдед, ВВЛ. Сугггвггнонание базиса (х, у)= '~", хь у„, и, следовательно, (!4=~/ ~ хл. Все эти определения имеют смысл, ибо из скоднмостн рядов г 2 ~хл и ~ ул вытекает и скодимость рядов л-! А-! (й гй сс ~~ (х„+у„, ~, Ххл, ч~~ х у„. л=! 'л- ! А=! Действительно, для второго ряда это очевидно, сходимость же третьего и первого ряда вытекает соответственно нз неравенств 2 2 хг + ул хьул< 2 (х„+ у„)'= ха~+ 2х„хь+ у„' < 2 (х~г+ ул). Полученное пространство обозначается 1г. Теорема 10. Пространспгво 1г является сепирабельным гильбертовым просгпранством. До к а з а т е л ь с т в о.
Пространство 1, сепарабельно, ибо последовательности е, 1г =- 1, 2, ..., у которых на всех местах стоят нули кроме я-го, где стоит единица, образуют ортонорыированный базис и, следовательно, их линейные комбинации плотны в 1,. Полнота пространства 1, доказывается несколько сложнее. Пусть последовательность хг~г=(х! ', хУ',...,хР,-) й=1,2, ..., (58.45) является фундаментальной последовательностью пространства 1г.
Тогда из неравенства 1 !!-! 1г =. 1, 2, ..., р=- О, 1, 2, ..., и = 1, 2, ... и фундаментальности последовательности (58.45) следует, что при любом фиксированномп числовая последовательностьх,' ',1г=1, 2,..., удовлетворяет критерию Коши (см. п. 3.2) н, следовательно, сходится. Пусть 1пп х = х„. В силу фундаменталыюсти последог*) 5 ба Ортанарлитрааанные базисы и раз,(азсенин на нни вательности (58.45) для любого е ) О существует такой номер /г,, что при любом номере 1()~ й, и любом натуральном р выполняется неравенство (!) х('+а! — х("(1~ е, т.
е. з( (х,',!+р' — х„'"!)л ( е. а а ! а=! Переходя здесь к пределу прп р — ~-аа. получим О1 ~(х„— х(') <е, а=! н так как это верно при любом т=1, 2, ...,то л~> (ха ха ) ~(е т 1( ~~ йа. а=! (58Л6) Таким образом, точка у =(х! — х(,...,х„— х„,...), й> й„ (А! т (а! (и! принадлежит пространству 1м но тогда и ~очка х =(х,, ..., хти ...) = — х(а(+ У(тп также пРинадлежиг пРостРанстаУ 1м а Условие (58.46) означает, и о !пп х(н! =х. а- са Итак, мы доказали, что последовательность (58.45) сходится.
Следовательно, 1з — полное пространство. Теорема доказана. В силу теоремы 9 пространство 1з изоморфно каждому сепарабельному гильбертову пространству. В дальнейшем мы увидим (см. п. 58.5), что пространство 1.,(а,(() также сепарабельно и, следовательно, изоморфпо пространству 1,. Можно т(оказать, что и пространство 1,з(6), где  — кубируемое множество и-мерного пространства, также сепарабсльно и, следовательно, изоморфно 1,. Таким образом, все гнльбертовы пространства интегрируемых в квадрате функций независимо от числа переменных, от которых зависят эти функции, изоморфны между собой, Отсюда для любого фиксированного натурального числа рл и подавно 351 55.5.
Следствия для класпгвеских рядов Фурье 58.5. Некоторые следствия для классических рядов Фурье и рядов Фурье по полиномам Лежандра В ч 55 мы изучали классические ряды Фурье для абсолготно интегрируемых функций. В этом пункте мы рассмотрим некоторые вопросы для классических рядов Фурье более узкого класса функций, а нмснпо для функций( ~ 1.,( — и, и) (ср. с п. 55.8).
Лемма 1. Г!есть Ф вЂ” некоторое множество непрерывных на огпреггке(и, Ь) функций и пусптФ плотно в просгпранстве С(а, Ь)е>, тогда оно плотно и в простринстве Ьв (а, Ь). Доказательство. Обозначим через )Щ норму функции 7 в пространстве С[а, Ь), а через 11(ь,— ее норму в пространстве 1.,(а, Ь), т. е. / ь 11"!' = 1пах )1(х)), ~Я, = ~гг ) гт(х)с(х. Тогда, очевидно, /ь / ь 111'ьг =- $/ 1 7'(х) дх < 1пах 11 (х)1 )г' ) их а !!1~с ')Г гз — а. (58.47) а ° Мял ь а Обозначим, как и выше, через Ет =!.а )а, Ь) надпространство пес с прерывных функций пространства (.в = Ет!а, Ь). В силу определе— с ния пространства Ее(а, Ь) (см. п. 57.4) имеем Хт = 1, Поэтому, каков бы ни был элемент д~ Ет и каково бы ни было число е > О, существует непрерывная функция 7" ( 7 в (а, Ь) такая, что с ь — п~,,< $.
Далее, из плотности множества Ф в пространстве С(а, Ь) следует, что для функции 1 существует функция ср С с)л, такая, что но тогда в силу неравенства (58.47) и потому 1~~1-,+"г сР".,< г ' г '=' ') Определение пространстве С(и, Ь) см. в и. 57.3 (формула (57.10)). у 5В. Оргонормированиые базисы и Гвзложенил ио ним Таким образом, Ф плотно в 1,г[а, Ь[. Лемма показана. Возьмем в качестве Ф множество многочленов; согласно теореме Вейерштрасса (см. теорему ? п. 55.6) оно плотно в пространстве С[а, Ь[; из леммы следует, что это множество плотно и в 1., [а, Ь[, следовательно, последовательность неотрицательных целых степеней х полна в!.г[а, Ь[.
Итак, доказана следующая теорема. Теорелса 11. Последовательность неотрицательных целых степеней х полна в пространствах С [а, Ь[ и [.е [а, Ь[, — оо <" а ( Ь ( + оо. Следствие. Пространсгпва С [а, Ь[ и 1., [а, Ь[ являются сепарабельными пространствами. Действительно, сутцествование последовательности элементов, образующих полную систему, и означает по определению (см. п. 57.3) сепарабельность пространства. Линейные оболочки системы неотрицательных целых степеней х (58.11) и системы полиномов Лежандра (58.3) в пространстве 1. [ — 1; ! [ совпадают (полиномы Лежандра могут быть получены процессом ортогонализации системы (58.11)), поэтому справедлива следующая теорема. Теорема 12.
Полиномы Лежандра (58.3) образучот полную орпюгональную систему (ортогональный базис) в пространспме (.х [ — 1; 11. Обозначим через С*[ — и, и[ подпространство пространства С[ — и, я[, состоящее из всех таких непрерывных функций 1, что 1(п) .-= 1( — и). Из полноты тригонометрической системы (58.2) в пространстве С'[ — и, и[ (см. теорему 6' нз п. 55.7) сразу следует в силу неравенства (58.47) ее полнота в подпространстве пространства 1,,[ — л, п[, состоящем из непрерывных функций на отрезке [ — и, п[, удовлетворяющих условию[( — и) =-1(п). Это, впрочем, было доказано и раньше: см. теорему 8 из п. 55.7. Докажем более сильное утверждение. Теорема 13. Тригонометрическая система (58.2) образует полную ортогональнучо систему (орпюгональный базис) в пространстве 1., [ — и, и[.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ос 1,, [ — и, и[ и пусть фиксировано чисно е > О, тогда существует йепрерывная на отрезке [ — и, и[ функция 1, такая, что (58.48) ~[[с~ ~ 2 ' Функция 1 в силу непрерывности ограничена: [1(х)[ <Я, --и =х -.я. Выберем число б)О так, чтобы ддХ Слвдстввя для классвкескв» рядов Фросе 6<(~~~ ) и положим (рнс. 175) 7 (х) для — и < х < и — 6, Ч'(х)= )(я — 6) +1( "~ .'( )(х — и+6) для и — 6< < Рис. 776 Функция «р также непрерывна на отрезке ( — и, я) и )1р(х)~ < М, — и в, х < и, кроме того, 1р( — я)=ер(п) и (58.49) Наконец, в силу полноты тригонометрической системы (58.2) в пространстве С*( — и, и! следует су1цествование тригонометрического полинома Т = Т(х), такого, что Тогда из неравенства (58.47) следует также, что (58.50) 4 бв.
Оргонорзпгровонные бпзпоы и рпзложения по ннл! Тсперь из неравенств (58.48), (58.49) и (58.50) получаем [у Т«[[8 1[[„+|[7 „[ +[[„+7)[,<е+-..+е=а, что и означает полноту тригонометрической системы (58.2) в пространстве 1.,[ — и, и[. Теорема доказана. Из доказанной теоремы о полноте тригонометрической системь! и общей теории разложений элементов по ормггональному базису в гнльбертовых пространствах можно получить ряд следствий дли классических рядов Фурье. 1-)впрнх|ер, справедливы следующие две теоремы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
