kudryavtsev2 (947414), страница 54
Текст из файла (страница 54)
3. Рассмотрим линейное пространство непрерывных на отрезке [а, 5[ функций. Для функций этого пространства интеграл (57.24) будет уже скалярным произведением, Действительно, если функция 1 непрерывна на отрезке [а, 5) и ь (1, 1) = ) 1з (х) йх =- О, а го, согласно лемме 2 из п. 57.3, имеем 1" = — О на [а, 5[. Для расстояния между двумя непрерывными функциями ! и а в этом пространстве получаем формулу [ь )! р(),д)=[Д вЂ” д[=~~[!'(х) — й(х)[зйх~ . (52.2Ц и Мы уже встречались со сходимостью функций в смысле этой метрики: см.
определение сходимости последовательности функций в смысле среднего квадратичного в и. 55.2. Все сказанное естественным образом распространяется н на функции, определенные на любом бесконечном промежутке, в частности, на всей оси. У и р а ж н е н не 16. Пусть й — линейное пространство с квазнскалярным пронзаеденнем. Элементы х ~ И н у ~ Г1 называются эквнвалентиымн, если [х — у!Р=(х — у, х — у)=0.
Обозначим через й множество, элементамн которого являются классы зкннналентиых элементов пространства й. Пусть х ~ Й, у Е 71, х ~ х, у С у, 1 н р — чнсла. Определим 1х+ру как элемент множества 11, содержащнй Ах+ау, н положим (х, у) =(х, у). гсоказать, что этн определения корректны, т, е, не завнсат от выбора элементов х ~ х н у Е у, н что В является линейным пространством, а (х, у)— скалярным произведением. Лемма 9. Скалярное произведение являегпсянепрерывнойфунк!(ней (см. и. 57.!) на пространппве )т', на ко!паром оно задано. '> В. Я.
Буняковский (1804 — 1889) — русский математнк. у В7. сзуккупопальпме пространства зйо Доказательство. В самом деле, для любых хо~)!', уо~ Й, х~ Й н у(-Й выполняется неравенство !(хги уо) — (х, у)! =- !(х.— х, уо)+(х, уо — у) ! < <3!х — х3!!!уо1+6х6Ну — у 6. (57.27) из которого сразу следует непрерывность скалярного произведения.
Действительно, если х~ О(хо, 6), у~О(уо, 6), то, замечая, что 9х|! < Дх — хо!о!+$3хоЦ(Ихо(+6, из (57 27) полУчим !(хо уо) — (х у) 1<.6!!Уо)+(анхо!1+6) 6. Отсюда следует, что при любом фиксированном числе е) О всегда можно выбрать 6=6(е))О так, по при х~О(х„б), у~О(у„6) выполняется неравенство !(хо. уо) — (х, у)(< е; для этого достаточно выбрать 6~О так, чтобы 6/!уо!!+(!х,!!+6)6<".е, что, очевидно, всегда вгвможно.
Лемма доказана. Из непрерывности скалярного произведения в пространстве Я следует, например, что ряды в этом пространстве можно умножать почленно не только иа числовые множители, но и на элементы пространства тт Лемма 10. Пусть в пространстве )7 задан сходящийся ряд Х хи=в~ хаий', П=(, и ! Тогда для всякого влелгента а~ !с числовой ряд, получающийся иа данного почленньсн улгножениги его на а, тпакзсе сходится и ~ (х„, а)= (е, а). Доказательство. Поскольку и в=- !нп ~~.', х„, и ээ А ! а =Игп,т,х,а = и (в, а)=- Игп ~, хго 1,и->ии О=! и = И'гп ~г (х„, а) = 2', (х„, а).
и=! и= о=! у п р а ж и е н и е 17. Показать, что всякое и-мерное линейное пространство со скалярным произведением полно. б7Х Гальбертовы а вредгальбертовы пространства аз! Определение ЗО. Линейное пространство со скалярнылт произведениели полное в слвлслг метрики, порожденной заданнылт скалярным произведениели называется гильберпюеым простпранстволь Просто же линейное пространство со скалярным произведением называют также предгилв)ерпюггям пространством.
Это название оправдывается следующей теоремой. Теорема Э. Всякое предгильбертово пространство К содержится и плотно в некотором гильбертовом пространстве 17*. Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно теореме 1 п. 57.1 и теореме 2 п. 57.2, достаточно показать, что иа пополнение Рь линейного нормированного пространства !т можно продолжить с тт' скалярное произведение с сохранением свойств 1 — 4.
Это можно сделать с помощью предельного перехода. Действительно, поскольку 17 = Иь, то для любой пары точек х~)7' и у~)7* существу~ст последовательности точек х„ ~ )7, у„ ~ 1«, и = 1, 2, ..., такие, что 1!ш у„=у. н ьь 11тп х„=х, и с~ Покажем, что существуег 1пп (х„, у„). В самом деле, из нее о равенства (57.27) следует, что для всех натуральных т и и ~(х, у ) — (хтв уь)~ <(хы — х„!! !!у !|+/!хД) /!у — у„~.
Так как в силу сходимости последовательности (х„) и (у„) ограничены по норме и являются фундаментальными, то из етого неравенства следует, что числовая последовательность ((х„, уа)) — также фундаментальная и, следовательно, сходится. Положим по определению (х, у) = 1пп (х„, у„). Легко проверить, ь +ьь используя предельный переход, что для таким образом определенной функции выполняются свойства 1 — 4 скалярного произведения. Теорема доказана.
Полученное полное гильбертово пространство называется пополнением исходного предгильберпюва пространства. Примером гильбертова пространства является и-мерное евклидово пространство (см. 55.23). Другие примеры будут рассмотрены далее. Определение 31. Два пргдгильбертова пространстпва Ят и )7« называются изоморфными, если они изолюрфны как линейные пространства и если опюбражение /, осди!ествляюи(ее их изолюрфизм, сохраняетп квазискалярное (в частности скалярное) произведение, т. е. что (/(х), !(у)) = (х„у) для любых двух злементпов х ~ Рт и у ~ Я«.
Два изоморфных линейных пространства могут отличаться лишь природой своих элементов, а не «пространствевными свойствамиь, р" 57. Функциональные пространства У и р а ж н е н и е 1З. Доказать, что все н-мерные линейные пространства со скалярным произведением изонорфны между собой. 57.5. Пространство 1„ Определение 32. Линейное проспгранапво непрерывных на отрезке (а, 5) функций со асалярным произведениелг, оггределенным по формуле (57.24), называепгся пространствол! Ьз(а, (г). Лемма 11. Пространство Ьсз (а,б] не является гильбертовым. До к а з а тел ь с т во.
Чтобы убедиться, что всякое пространство Ьз (а, 51 не является полным, достаточно рассмотреть пра,с странство Ьз (а, Ь) для некоторого фиксированного отрезка (почемур). с Возьмем для определенности отрезок ( — 1„1) и приведем пример фундаментальной в пространстве Ьз! — 1; Ц последовательности с функций, не сходягцейся в этом пространстве. Положим ! — 1 если — 1 (х( —— Э т 1 1 пх, если — (х< —, и и ' (57.28) 1, если — а <х <1, ! и =- 1,2,..., (Рис. 174). Очевилно, что фУикции 1п(х), п=1, 2, „., непреры ны на отРезке ( — 1„1).
ЗамечаЯ далее, что гу„(х)~ (1 имеем т)п ! ~~~ — 1„, ~!т= ) )~„(х) — 1 (х)(зс(х= — 1 ! ! и и З = ~ У„(х) — ~та(Х)!зс(х~4 ~ с(х = —, ! и а откуда, очевидно, следует, что последовательность (57.28) фунда- ментальная в пространстве А~я (а, (г). Пусть теперь — 1, если — 1(х(О, 1(х) =.
1, если О(х(1. поэтому в дальнейшем изоморфные линейные пространства со ска- лярным произведением часто не будут различаться. ааз оу.б. Пространство се Нетрудно убедиться, что последовательность (57.28) сходится на отрезке ! — 1; Ц в смысле квазинормы (57.25) к функции 1. Действительно, !!7 — 7„)!зз!= ') !)(х) ! — Т„(х)(тих= — ! ! ! а 8 = ~ !)(х) — ~„(х) !вс(х ~. 4 ~ !(х= — — «О прн п-ьоо. ! ! Покажем теперь, что последовательность (57.28) не сходится в пространстве Ьз (а, 6), т. е. не сходится в смысле квазинормы (55.25) ни к какой непрерывной функции.
Допустим противное. Пусть существует непрерывная на отрезке 1 — 1; Ц функция д(х), такая, что 1пп !! й — ~„!! = О. (57.30) и "ь со Тогда Рис !74 где оба слагаемых правой части в силу (57.29) и (57.30) стремятся к нулю при и — оо, а левая часть не зависит от и, следовательно, '! ! !'(х) — д(х) ! з с(х = !!1 — (т!! в=-0; — ! тем более, ! !1(х) — й(х)!'с(х=О, ) !1(х) — й(х)!!с(х=О.
(57.31) — ! о Но на промежутках! — 1; О) и 10; 1) функции 1 и д непрерывны, поэтому из (57.31) следует, с!то,!(х) = п(х) на 1 — 1; О) и )(х) = ьт(х) ь! Поенольку 1 — 1л уже не ивлнетеи непрерывной функцией, то здесь символ 1ср ((обозначает уже квазинориу функции <р. Это следует иметь в виду и в дальненшиз рассмотрениях. 324 Э 87. кьункнаональнме пространства 1) ) 1»(х) дх(оо и (57.32) (ингпеграл поникяаепюя, вообще говоря, в несобственном слгысле)' 2) существует ггоследовапгедьность неггрерывных на отрезсе [а, Ь[ Функций [а(х), п=1,2, ..., (57.33) таких, что [ш ([Г(х) — Г (х)[зд =(). и *) Эго следует нз леммы 2 п. 87,3.
и*) Д. Лебег (1878 — 194!) — французский математик. на [О; 1[а', но тогда 1[пг д(х) [= [пп д(х), т. е. д — разрывная к — О к-к+О функция. Полученное противоречие и доказывает утверждение. Лемма доказана. Итак, линейное пространство (.» [а, Ь[ не полно. Однако мы знаем, с что всякое предгильбертово пространство можно дополнить до полного, в частности, это можно сделать и с рассматриваемым пространством. Определение 8Х Пополнение предгпльбертова пространства Ез =! з 1о, Ь[ нспываегпся пространспгвом й =- 7» [а, Ь[.
Таким образом, пространство Ь,!а, Ь[ состоит из непрерывных па отрезке [а, Ь[ функций и некоторых новых еабстрактных элементов» (классов фундаментальных последовательностей, см. п. 57.1), которыми мы дополнили исходное пространство 1.а [а, Ь[. с Оказывается, однако, и это очень интересно и важно, что эти абстрактные элементы можно рассматривать не как классы фундаментальных последовательностей (см. доказательство теоремы 1 в п. 57.1), а так же, как некоторые функции, точнее, как классы эквивалентных (в определенном смысле) функций, причем скалярное произведение для них также определяется формулой (55.24), только интеграл в этой формуле понимается не в смысле собственного или несобственного интеграла, изученного нами, а в более общем смысле, в смысле так называемого инпгеграла Лебегааа). Полное изложение этого вопроса выходит за рамки рассматриваемых нами методов, поэтому ограничимся лишь некоторыми примерами.
Определение 34. Функция 1, определенная на отрезке [а, Ь[, назьвается функцией из пространппва [а[а, Ь)„если вьтолняются следующие условия: ь 57.5. Простравгтво 325 В впюм случае будем писать [" ~Е [а,б!. Прибегая к обозначению квазинормы (57.25), последнее условие можно записать в виде 
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
