kudryavtsev2 (947414), страница 57
Текст из файла (страница 57)
58.5), то мы получим последовательность многочленов соответственно степеней О, 1, 2, ... Из сделанного выше замечания следует, что эти многочлены могут отличаться от многочленов Лежандра (58.3) лишь постоянным множителем. 58.3. Ряды Фурье Пусть, как и раньше, К вЂ” предгильбертово пространство. Рассмотрим следующую задачу. Пусть задана система и линейно независимых векторов е„ем ..., е„пространства )г и фиксирован некоторый вектор у Г Я. Требуется найти линейную комбинацию вида а, е, + ... -1- а„е„, (58.13) которая дает наилучшее приближение в пространстве )т элемента у, т.
е. осуществляет минимум выражения (58. 14) ) у — (а, е, + ... + а„е„) (, или, что то же, минимум функции у — ~ а„е„= у — ~ ая ем у — ~Р а„е„(58.15) от переменных а„..., а„. Если пространство Я и-мерное и, следовательно, векторы е„..., е„образуют базис, то всегда можно подобрать такие коэффициенты а„, й = 1„2, ..., и, что будет выполняться равенство у = а, е, + ...
+ а„е„ (58.16) и, следовательно, выражение (58.14) обратится в ноль. Если же К не конечномерно, или конечномерно, но имеет размерность, большую, чем и, то равенство (58.16), вообще говоря, осуществить невозможно и задача состоит в отыскании линейной комбинации (58.13), дающей минимальное значение выражению (58.14). Применяя, если надо, процесс ортогонализации (см. п. 58.2), систему е„ ..., еь всегда можно заменить ортогональной системой не равных нулю векторов. Поэтому будем предполагать, что е„ =р О, б 53.
Ортолор.лироеинные базисы и разложение ло ним ззв (ев, е;) = О, й ф у, 1, а = 1, 2, ..., а. Пользуясь условием ортогональности, преобразуем функци!о (58.15): л л л л У вЂ” 'Ю а„е„1 -(У, У) + ~; ~~, а„а,(е„, е,) — 2 ~' а„(У, ее) = е=- ! а-.! с=! е=! л л =6У!!' + ч~~~ ае !!е,!!в — 2 ~чР„аи(У, е„) = е=! е=! е=! е-! Отсюда следует *1, что минимум выражения (58.14) достигается, когда а„!)еи!,' — — '' =О, )!=1, 2, ..., а, (у, ее) 1 ее( т. е. когда (у, ее) (ее 1е (58.18) Определение а. Числа ал, определенные по фор,нуле (58.18), наэыва!отея коэффиииентами Фуры элемента у по системе е„..., е„. Если система е„..., е„ортонормированная, то формулы (58.!8) приобретают более простой внд: ае (1 еи) В случае а-мерного пространства, когда в качестве векторов е„..., е„выбран базис пространсгаа, коэффициенты Фурье вектора у являются его коэффипиентами разложения по указанному базису (являются координатами элемента у относительно этого базиса).
В этом легко убедиться, умножив скалярпо равенство (58.16) нас„,й=1,2,...,а. Вернемся теперь к выраженшо (58.17). Если в нем в качестве а„..., ав взять коэффипиенты Фурье (58.18), то получим л 1!у!!в — чь ай(ее!)в=~~у — ~~у, аие„~1 ) О, (58.20) Ф-. ! е-! откуда Х а~1е.)~ <ЬР (58.21) Итак, доказана следующая теорема. *! Очевидно, что зто рассуждение нвлнетсн непосредственным обобп!ением доказательстве теоремы !О из и. бб.з. ев.з.
Ряди Фурье Теорема 2. Пусть е„, е +О, й= 1,2, ..., п, — орпюгональная сисгпема векторов предгйль3ертова проспгрансгггва гг. Паилучигее приближение в прострпнстве )г вектора у ~ Р линейными комбинаи циялш вида ~"„,а„еь осуигествляется, когда а, й = 1, 2, ..., и, суть коэффициенты Фурье: ил ам При этом а ЙР а гг л 1п1 у — ~ ал е„~ =)~у — ',~~ алел~ =~~~уР— ~ч'„оь)е„~Р~~О.
а" -" ааг .=г ~ и, л=г Пусть теперь задана последовательность (а не конечная система, как выше) элементов е„(ел+О), у=1, 2, ..., (58.22) образующих ортогональную систему в пространстве Р. Числа а, й = 1, 2„..., определяемые по формуле (58.18)„и в этом случае будем называть коэффициентами Фурье элемента у по систем~ (56.22). Определенае 4. Ряд (58,28) '~ а„е„, л-г где ол, гг = 1, 2, ..., — коэффициенты Фурье элелгентп у по системе (58.22), называется рядолг Фурье элелгетип у по системе (58.22). В энгом случае будем писать у — ч~г, а„е„. а= 1 Определение б. Пусть задана ортогональная систелш (58.22) и элемент у ~ И.
Наиву аиилг приближением элемента у с помои(ыо и линейных комбинаций вида ~иа е (гг — фггксироаано) наливается ь число Е,(у), определяемое рав;иством Еа(у)= 1п1 у — ~'„а е„, а=1, 2, ..., а~ °" ал ь-г где нижняя грань берется по всевозможным коэффициентам и„„,, аа, или, что то же, по всевозможным линейным комбиа нациям вида ',Р" ал ел. А-г Э БВ. Ортонорл!ироеанные базисы и разложения ио нил! 340 Поскольку всякая линейная комбинация элементов е„ ..., е„ может также рассматриваться и как линейная комбинация элементов е„ ..., ета е„+г, то, очевидно, Еоь (у)-=Е.(у). (58.24) Из теоремы 2 следует, что рассматриваемая нижняя грань достигается, если в качестве коэффициентов а„взять коэффициенты Фурье, и что Е„(у)= !п( 1у — '~" азе„~~=)(у — ~ а си!~= и,...., а„ и-! и-! ==-1~~~у)з — ~ч~ар)еи~~, аз=- Р' ~', гг=1, 2,...
(58.25) я=! Полученный результат сформулируем в виде следствия из теоремы 2. Следствие 1. Частичные суммы л э„= ~ пиеи А=! ряда Фурье элемента у ~ )г' осуществляют наилучшее в пространстве Я приближение элемента у~ Я с помощью линейных комбинаций вида а,е, + ...+ ане„.
Отметим еще несколько следствий теоремы 2. С лед от в не 2. 1у — эа+г1<1у — зн1, а=1, 2, (58.26) Это сразу вытекает из формул (58.24) и (58.25). Следствие 3. Для коэффициентов Фурье а„, и = 1,2, ..., каждого элемента у ~ Я справедливо неравенство ~эР а 1е„Р <1у1з, (58.27) я=! называемое неравенсгпвом Бесселя.
Неравенство (58.27) непосредственно следует из неравенства (58.21) при п-и оо (ср. с неравенством (55.32) в и. 55.8). С лед ст вне 4. Если существует тгостоянная с >О, такая, что йе4! )~ с при всех гг = 1, 2, ..., в чаапности„если система (58.22) ортонормированная (в этом случае можно взять с = 1), то коэффициенты Фурье стпремятпся к нулю при гг — оо: И а„=О. (58 28) ввл Рядн Фдрье 34! Это следует нз сходнмости ряда ибо общий член сходящегося ряда стремится к нулю.
Естественно возникает вопрос: прн каких условиях ряд Фурье элемента у сходится? Теарелга 3. Если проапранопа~ Я гильб>ертоео (и. е. полно), то ряд Фурье элемента у ~ Я >и любой ортогональной системе (58. 22) сходится в арсе!принс!псе )!>, и если (58.29) у,= ',Р аье„, ь=! то элемент у — у, ортогонален ко всем элементам системы (58.22). Доказательство.
Пусть э„=- ~~~~ аьеь, п=1, 2,...,— чар-! стнчные суммы ряда Фурье (58.23) элемента у по системе (58.22), тогда л+р 12 / л-!-р Л+р 1э„+р — э„)'=~ ~; аь еь~) =- ~ ~з„' о„е„, з.,' аьед и=п !.! ) ь-л+! ь= !+! а11еД, п=1, 2, ..., р= 1,2, .... (58.30) ь=р+! В силу неравенства Бесселя (58.27) ряд СО ~з ', аь)еь!(> сходится, н, следовательно, в силу критерия Коши для сходи- мости числового ряда, для каждого числа е)0 существует такой номер п„что прн п)~п, и р)0 выполняется неравенссво йиьр аь~!еа)~з, е', ь=л+! поэтому, согласно неравенству (58.30) при и )~ и, и р ) О, имеем ~э„.!.р — э„~,с.
а, т. е. последовательность (э„) является фундаментальной в пространстве >т н вследствие полноты последнего сходится. В условиях теоремы последовательность э„сходится, вообще говоря, не к элементу у. Пусть ее пределом является элемент 342 4 ВВ Оптов»рнер»ванные базисы и разложения но нин у»„тогда, используя непрерывность скалярного произведения (см. п. 57.4), а также формулы (58.29) н (58.18), получим оо (у — у», ен) = у, ен) (у„е„) =(у, е„) — л, а„(е„, ен) = я ! =(у, е„) — а„! е 12 = О, й = 1, 2, ....
Теорема доказана. Напомним теперь понятие полной системы (см. п. 55.3) применительно только к случаю счетных систем. Система элементов ерн 'С )т', и =- 1, 2„..., называется полной, если множество конечных линейных комбинаций элементов этой системы плотно в пространстве Я. Это означает (почему?), что для каждого элемента х ~ Я и каждого числа з ) О существует такие номер п = п(е, х) и числа Хч, ..., к„, что выполняется неравенств 1х — (Х, е,+ ... +е.„ен)1(з.
(58.31) Теорема 4. Ортогональная система (58.22) предгильбертова проапрансепва ес является полной тогда и только пюгда, когда для леобого элеменепа у (- Я его ряд Фурье сходится в )с к салюлеу элелеенп|у у, т. е. когда у=. э'а„е„, где ан — О'е"), й=!,2, ..., (58.32) 1ее(Р е=-~ иначе говоря, когда и Оь ен) лы 41 ' " !1»»1» Ф-~ (58.33) Действительно, если выполнено (58.33), то для каждого числа и г ) О существует такая частичная сумма з„= ~'а е„ряда Фурье и=! (58.32), что (58.34) '1 у — в„'1 ч" е, т. е. выполняется условие (58.31).
Обратно, если условие (58.31) выполняется при каких-то коэффициентах )ч, ..., ).„то оно заведомо выполняется согласно теореме 2 и в случае, если взять )ч = а„..., ).„= а„, т. е. в этом спучае для заданного в) О выполняется условие (58.34) при некотором и, а значит, и при всех т ) и (см. (58.26)), а это равносильно выполнению условия (58.33). Отметим еще следующий критерий полноты системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
