kudryavtsev2 (947414), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Найти (О/)' в В'. 1 1О. Доказать, что в П' сп — =-(1п)х 1)' (см. унражнеане 4). Лелглга 4. Дусте /. С /У, /~Р' и 1нп /и =/, (59.12) тогда и (59.13) 11гп/„=./, т. е. для обобщенных фунта(ий всегда производная от предела равна пределу проггзводнах. Доказательство. Для любой функции гр ~ Рг (/', гр) — К, гр)= — Ц, гр') — (/к, гр')1-ьО при и- оо. ,Цеагма доказана. й(ажно рассматривать н ряды обобщенных функций. Выражение ~~ и„, (59. 14) где и„~ Р', п=.1, 2, ..., называется рядолг обсбщеннегх функг(ий, а и в,,= 'у" иа ь=! — его часгпикпой суммой и-го порядки (и=1, 2, ...). Ряд (59.14) называется сходящимся, если в Р' существует предел 11гп за==в. и - ° со 378 У бй Обобщенные функции Элемент з называе|ся суммой ряда (59.14), при этом пишется з=~ и.
к=! Лежма .%. Сходящийся ряд обоби(енных функций ложно почленно дифференцироасипь любое число раз: к 3 Это следует из леммы 4. 59.5. Пространство основных функций 5 и пространство обобщенных функций 5' Обозначим через 5 множество всех бесконечно дифференцируемых комплекснозначных функций, которые вместе со всеми своими производными стремятся к нулю при х-+. аа быстрее 1 любой степени —. Иначе говоря, множество 5 состоит из тех н (кр только тех бесконечно дифференцируемых функций ц, для которых при любых целых неотрицательных н и еа выполняется условие 1цп х'ср' ~(х)=0. (59.15) «-сь Очевидно, что если функция ц~~-5, то и любая ее производная принадлежит множеству 5.
Условие принадлежности функции ф к множеству 5 можно сформулировать и несколько иначе: бесконечно дифференцируемая функция ц~ принадлежит 5 тогда и только тогда, когда для любых целых неотрицательных п и щ имеем (59.16) аю(х)~ = 1х1 откуда и следует (59.15). Обратно, из (59.15) и из ограниченности х"цою(х) на любом отрезке следует (59.16). Ясно, что множество 5 образует линейное пространство. Определение 20.
Последоаательность функций ць(х) ~ 5, й=-1„2, ..., назыаается сходящейся а 5к функции ц(х)ц5, если знр ~ х"ц~ ~(х)~=-с, <., ао. — ск<к< -~-00 Действительно, если это так, то, заменяя в (59.16) п на п + 1, получим брб Т/Пот>ранг>во основных функций 5 и обобгченных 5' для всех на»г//ральных и и пч каледин >госледовоспельносгпь х"грег '(х), й= 1, 2, ..., равно>верно на всей оси сходсапся к функции х" Ч>ь" > (х). Очевидно, что 1)п> грь.=- гр в 5 тогда н только тогда, когда при любых натуральных и и сп ИП1 ЗЦР ~ХЯ ~ РЬ! '(Х) — ~Р' '(Х) ~) = О. Ь со — го<а<+со (59. 17) Отметим, что если ч>ч-«ч> в 5, то и для производных любого порядка >ргм — «гр'ь' в 5, /г= 1, 2,,...
Линейное пространство 5 с введенной операцией предельного перехода является линейным пространстном со сходимостью. Очевидно, что О с:. Я, в частное~и, последовательность функций грь ~ Р, /г=1, 2, ..., сходящаяся в 0 к функции >р, сходится к функции гр и в 5. Вместе с тем 0+5, ибо е ' ~ ~5, но е 'ф0. Задача 31. Доказать, что/> плотно в 5, т, е. по любая функция Ч>Е 5 является пределом в 5 некоторой последовательности Ч>аЕВ. й = 1,2, ....
Определение 2/. Линейный непрерывный функционал над просппрансгпнолг 5 ноль>вас>пся обобщенной функцией гцедленного росспа. Просспранстпви всех пткггх функционалов называеспся >тространопвол обобщеннык функцггйлгвдленного росгтга и обозначоеппся 5'. Каждый функционал /(- 3', рассматриваемый только на множестве О, является обобшенной функцией, следовательно, элемент множества 5' можно интерпретировать как продолжение некоторого линейного непрерывного гг>ункционала с множества О на 5 (см. и. 59,2). Можно показать, что не всякая обобщенная функция из 0' продолжасма на 5, в этом смысле можно сказать, что 5' составляет строгую часть 0'. Всякая локалыю интегрируемая функция /(х), для которой в некоторой окрестности оо справедлива оценка ) / (х) ( == А ! х )ь (59.
18) (А и й — неотрицательные г>остоянные)е>, в частности, любой много- член порождает функционал пространства О, продолжаемый в ли') Такие функции называются функщ>яин медленного роста, откуда и термин чобобщенные функции медленного ростам У п р а ж н е н и е 11. Доказать, что обобщенная функция, порожденная локально интегрируемой функцией е', не продел>наема н злеиепт пространства 5'. 8 бр ОГ>об«>«еннь>е фанкции 3 аз нейный непрерывный функционал яад Б. Зтотфун««ционал определяется формулой + оз (59.19) Таким образом, для любой обобщенной функции ! ~ 3' производная!' всегда существует и ~' ~ 5'.
При этом на элементе «р ~ В производные оообщенной функции 1, рассматриваемые соответственно как производные в пространствах О' и 5', совпадают. Как и в случае пространства 0', для пространства 5' производная от предела равна пределу производных. 59.6. 11реобразование Фурье в пространстве Ю Функции «р ~ 5 абсолютно инте, рируемы. Из (59.16) СО О+Ст О следует, например, что~«р(х)~<;з а ' —, поэтому для них существует классическое преобразование Фурье: «р =Г"!Ч>) =- — — 1 «р(х)е — »я«(х, «р~Я, (59.20) 'г> з.
а также обратное преобразование Фурье: + оз !ф Р- «) = ),-,„-„~ «1 (у) е«а (у, р ~ 5. (59.21) действительно, из условий (59.15) и (59.18) следует, что )(х)«р(х) — О при х -ь оо быстрее любой степени —, и, следователы<о, ~а!' интеграл (59.19) существует. У п р а ж н е н н я !2. Доказать, что функционал (И.19) линеен н не- прерывен на 8, 13. Доказать, ято обобщенная функция ~В' (см. у««раж««ен««е 8) 1 х+ «о прололжаема в алене>п 5'. Множество 5' образует линейное пространство со сходимостью, сопря>кенное с 5 (см. и. 59.2). 1!оскольку у любой функции «р —,' 5 и «р' Г-З, то для обобщенных функций из 5', как и для обобщен««ых функций из О>', можно опре- делить проиаводную !' по формуле бр б Прссбравоввние Фурье в срсстранстве $ зв| При этом на 5 имеют место формулы взаимности для прямого и обратного преобразования Фурье (см. п.
56.2): г" 1Р— ' (ф)1 =ср, Р-' 1рщ] =се, ср~ 5. (59.22) Например, вторая из этих формул в интегральной с)юрме принимает вид + сс 1 Р-11ср1= = ~ гу(у)е'"уг(у=с~(х). Теорема 1. Преобразование Фурье и обратное пресбразоеанае Фурье отюбразхает взаимно однозначно и непрерывно 5 на 5'. Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем, что если <р ( 5, то и ~р (- 5. Из определения множсства 5 и результатов п. 56.6 следует, что фупкция ср имеет производные всех порядков. Применяя результаты п. Ь6.4 и 56.6, при любых неотрицательных целых и и т получим 1у'"' р гво (у)1=11" рою ру)1=1ус р 1х ч11= + сс 1/ 2в -кю' ю'"в=~=,„1 < "сь0" -'*'с*1< + сс ( —, 1 1(х" ср(х))ы'1дх.
Деля и умножая подынтегральное выражение на 1+ х', получим 'Пс) 1 1у" ср (у)1(,—, зпр (1+х')~(х ср(х))оо ~ 1 ~+, —— — зпр(1+ х')1(х"'ср(х))роли. (59.23) Х Конечность выражения, стоягцего в правой части, следует из выполнения условий (59.16) для функция ф. Поэтому 11у" у' '(у)1(+ у т е.срЕ5 Итак, преобразование Фурье отображает 5 в 5, при этом это отображение взаимно однозначно (см. п. 56.2). Аналожгчно доказывается и то, что обратное отображение Фурье Е- ' отображает 5 в 5 и притом взаимно однозначно.
Легко убедиться, что на самом деле эти отображения происходяг на пространст- б бу Обобеменнме 4днкиии 362 во 5. Это сразу следует из формул взаимности (59.22) для прямого и обратного преобразований Фурьеий Действительно, покажем, что Е(5) совпадает со всем пространством 5. Пусть ф с 5, положим гр = г г!ф). Тогда ЕМ=Г[Е-'Рф11=- Р. Т!одобным же образолг доказывается и то, что Р- ' (5) = 5. Докажем, теперь непрерывность отображения Р.
Сначала докажем его непрерывность в нуле. Пусть 1пп гр =О в 5, тогда из (59.23) следует, что [ у" гр )и'(у) [ =-., )/ — зир (1+ хв) ! (хм грл (х))'"' ), А = 1, 2,- . Но из (59.17 (при гр(х)=О) имеем Иш чвР(1-)-х') [(хм гул (х))' '(=О. и со к Позтому Ипг вар[у" гр~„'"~(гр))=О, и оо у т. е. Ипт гр„=О в 5. и-оо Если теперь Ип«ри =- гр в 5, то !пп (гри — гр) ==- О, следователь- и го со л но, в сиду доказанного Ипт(гри — гр)=Игп(гр„— гр! = О, откуда и оо А оо л л Ип1 гр„==- гр.
и со Таким образом, преобразование Фурье Е непрерывно отображает 5 на 5. Согернгешго аналогично доказывается непрерывность обратного преобразования Фурье Е '. Теорема доказана. '> Заметим, по нз того, что Р(8) = Р т(Я) = 3, следует, что в формулак (59.22) все интегралы существуют в обычном смысле, а не только в смысле главного значения (ср. с и. 56.2,'. бу.7. Преобразонанссе Фурье обобскеннык функяна ззз 59.7.
Преобразование Фурье обобщенных функций Предварительно докажем следующее интегральное ра- вен ство. Пусть функция 1 непрерывна и абсолютно интегрируема на всей оси и пусть су~3, тогда +ОО + ОО +СО +СО ) ср(х)г(х ) 1(у)е с"тау = ) ~(у)с(у ~ ср(х)е — отс(у. (59.24) Это следует из теоремы б п. 64.2. Действительно, повторный интеграл, стоящий слева, существует, ибо существует интеграл + СО +ОС ~ су(х) ~ )(у)е — сзхс(у~ с(х( < ~ !Ч(хйс(х ) У(у)!с(у Если [а, Ь) — произвольный отрезок, то функция 1 в силу непрерывности ограничена на (а, Ь): ~Ях)) ". М, поэтому ~)(х)ср(х)е — ску) <М!ср(х)~, а <х(Ь.
+ОС Отсюда в силу сходнмостп интеграла ( ~ср(х)1с(х следует равномерная сходиьюсть интеграла Г(У) ) СР(Х)Š— сна С(Х на отрезке (а, Ь). Далее, )су(х)~.~с „, — оо(х(+оо (см. (59.16)), поэтому ~ср(х)г(у) е '*т! < с,~)(у)1, и так как интеграл ) /Г(у)/с(у сходи гся, то интеграл Су (Х) ~ ) (у) Š— Ску С(у равномерно сходится на всей оси. Наконец, интеграл +СО +СО й(х) Пу) '"'~4" = у О Обощценнме функниз = ~ ! ()!д ~' !)(у))ду конечен, поэтому в рассматриваемом случае выполнены все условия теоремы 5 п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
