kudryavtsev2 (947414), страница 67
Текст из файла (страница 67)
е. случаи 1" (х) ~ О, 1'" ( к) < О, 396 8 60. Некоторые вонросы ориближенньсл вычислений /'(х)(0, /" (х))0, /'(х)е. О, /е(х)(0, рассматриваются аналогично разобранному (рис. 180). Ь а Рис. 180 Метод к асательн ых Будем предполагать, что функция / удовлетворяет тем же условиям, что и при рассмагрепии метода хорд. Проведем касательную к графику функции / в одной из его концевых точек, например, в точке (Ь, /(Ь)). Абсцисса х, точки ее пересечения с осью Ох и считается первым приближением корня уравнения (60.9).
Далее, если х, ~ (а, Ь) (а это всегда имеет место для одной из касательных в концевых точках графика см. ниже), то из двух отрезков (а, х,) и (х„Ь) выбирается тот, на концах которого функция /принимает значения разного знака (далее будет показано, что /(х,) + 0). Затем проводится касательная к графику функции / в точке (х„ /(х,)); точка ее пересечения с осью Ох обозначается х, и т.
д. (рис. 181). Легко получаются рекуррентные формулы для указанных чисел х„, и = 1, 2, .... Уравнение касательной, проходящей через точку (Ь, /(Ь)), имеет вид у = /'(Ь)(х — Ь) + /(Ь). Обозначим его правую часть через Цх), т. е. запишем это уравнение в виде ! у = /.(х). ! ! Найдем абсциссу х, точки пересечения х й е Ь ЗтОй КаСатЕЛЬНОЙ С ОСЬЮ ОХ т. Е. РЕШИМ х. х У уравнение Цх) = О. Получим Рис.
181 х,=Ь вЂ”, /(ь) / (ь) Точка х, может лежать, вообще говоря, вне отрезка (а, Ь), т. е. вне области определения функции /. Однако если /(Ь) одного знака с /", то х, ~ (а, Ь). Рассмотрим подробно, как и для метода хорд, случай, когда /' О, /ч '> 0 на (а, Ь). В этом случае функция / строго мо- йй,2, Решение ууааненяа нотонно возрастает, следовательно, ЯЬ) > 0; кроме того, функция 1 выпукла вниз на (а, Ь), следовательно, 6(х)()(к) (см.
п. 14.3, а также п. 37.4). Если Г(х )=О, а(х (Ь, то 6 (хс) с О, но 5(Ь)=)(Ь))0, следовательно, х„<. х,<" Ь, При этом 1(к,) >5(к,)=0. Применяя те же рассуждения к отрезку (а, х ), получим точку хь такую, по ха= хх —,, ха ч ха ( хм 1 (хб 1 Оц) и, далее, х +1=х„—, („, х,ч. х,+1(хсе 1(хи) (60.15) 1 (х„)' Следовательно, последовательность(х„) монотонна и ограничена, а потому сходится.
Пусть 1пп х„= с. Переходя к пределу в (60.15), и ии получим ("(с) = О, т. е. последовательность (60.15) сходится к корню уравнения (60.9). Когда ~)' (х) ~>т)0, а< к<. Ь, то тем же способом, что и в случае метода хорд, получаем оценку а 'с 1 г'>у,у'<у 1 Рис. !82 Подобным же образом разбираются н оставшиеся случаи различима комбинаций знаков первой и второй производных (рис.
162). й бц Некоторые воеросы приближеввыл вычислений 60.3, Интерполяция функций Пусть па отрезке (а, Ь) задана функция 1 и пусть фиксированы гс + 1 значение аргумента хы 1 = 1, 2, ..., и + 1: а<х "х « ... х+1(Ь. (60.16) Одна из простейших интерполяпионных задач состоит в отыскании многочлени Р(х) пе выше некоторой данной степени т, который при значениях аргумента х = хь 1 = 1, 2, ..., и + 1, называемых узлами интерполяции, принимает те же значения, что и данная функция, т. е.
имеют место равенства )(хч)=Р(х,), 1=1, 2, ..., п-)-1. (60.17) Такой многочлен Р(х) называется интерполяционнылч иногочленолц иитерполнрующим функцию) в данных узлах интерполяции, Для того чтобы исследовать вопрос о существовании интерполяционного многочлена Р(х), удовлетворяющего условиям (60.17), запишем его с неопределенными коэффициентами ан / = О, 1, ..., гп: Р(х)=а,+а,х+авх'+...+а хы и подставим его в систему (60.17). Получим систему из (и+ 1)-го линейного уравнения с т + 1 неизвестными а„, а„..., а ив+а,х,+...+а х|'=1(х,) (60.18) а, + а, х„+~ + ...
+ а хе+1 = )'(х„.ь1). Определитель, составленный из коэффициентов этой систч. мы, стоящих в первых й строчках и первых й столбцах, й (ппп (т + 1, и + Ц (число строчек равно и + 1, число столбцов т+ 1), является так называемым о п р ед ел и тел ем В а н де р м о н д а, известным из курса алгебры: 1 х,...х| е 1 х,...хй П (хг — х,). 1«и«с<в 1 хв...хе~ В данном случае этот определитель не равен пулю, ибо все узлы интерполяции различны. Поэтому ранг матрицы коэффициентов системы (60.18) равен наименьшему из двух чисел т + 1 н и+ 1. Если п ) т, то система (60.18), вообще говоря, не имеет решения.
399 б0,2. Интерполяция функций Если и ( т, то решение системы (60.18) всегда существует, причем в случае и = т решение единственно, а при и ( ое решений бесконечно много. Таким образом, какие бы ни задать значения в (и + 1)-м узле (60.16), всегда суп(ествует и притом единственный многочлен степени не выше чем и, приниманяе(ий в этих узлах заданные значения. Для отыскания интерполяционного многочлена Р(х) можно решить систему (60.18). Однако можно найти его и другим, более коротким путем. Рассмотрим многочлен (х — хд ... (х — х,.
~)(х — х~+~) ... (х — х„+1) (х~ — «д ... (х. — х~ ~) (х, — х,.+ ~) ... («~ — х„+1) ' 1=1, 2,..., и+1. Очевндно, что Р;(х) — многочлен степени и и что Р,(х,)= 1, Р,(хт)=0, (=1, 2,..., п-1-1, )=1, 2,..., 1 — 1, (+1,..., и. (60.19) Поэтому искомый интерполяционный мвогочлен может быть за- писан в виде «+! Р (х) = ~ 1 (хд Р, (х). (60.20) 1=- ! Действительно, написанное выражение является многочленом степени не вьцпе и и в силу (60.19) удовлетворяет условиям (60.17). Интерполяционный многочлен, записанный в виде (60.20), называетсз интерполянионным многочленом Лагранжа.
! 1сследуем теперь разность между функцией и интерполяционным многочленом: )7 (х) =)(х) — Р(х), называемую оспиипочным членом интерноляиии. Предположим, что функция 1" и + 1 раз дифференцируема на отрезке (а, д). Тогда этим же свойством обладает и остаток К(х), причем Йо'+ » (х) = )то+0 (х), а < х ~ Ь, (60.21) ибо Рт+0(х)«в я О. Положим ы (х) = (х — хт) (х — хя) ... (х — хя» 1), зафиксируем х ~ (а, 61 и рассмотрим вспомогательную функцшо гр(1)=)г(1) — — "~ы((), а~(( ~; Ь.
ы (х) 400 б бО. Некоторме воароеь1 приближенных вьмиеленир Функция ер(1), очевидно, также и + 1 раз дифференцируема па отрезке !а, (>), причем из (60.2Ц и того, что ыгк ь>)(г)=(п+1)1, имеем Ч>га+г)(() ~го+1>(() (п+!)! ( ) (6022) х(злее, функция ер(8) обращается в ноль в п + 2 точках х, х„ х>ь ..., ха,,; поэтому в силу теоремы Ролля ее производная обращается в ноль по крайней мере в п + 1 точке отрезка !а, ()1, и вторая производная — в и точках и т. д. По индукции получим, что и + 1 производная функция ер обращается по крайней мере один раз в ноль внутри отрезка !а, Ь!. ПУСТЬ 1Р>а+г)(~)=0, а<" ~(б, тОГДа ИЗ (6022) ПОЛУЧИМ е)г (х) =, 1("+' > (Э), (и+ 1)1 или, подробнее, (х — хг) (х — хь) ...
(х — х 1 г) )т (х) = " 1(а+)) (еь) (о+ 1)1 а<х < (>, а(~ ((). Отсюда следует оценка остаточного члена !)г(х)! < „,, игах !(х — хг)(х — х)... (х — х )! зцр !)т"+г)(х)!. + )1 а<к<в а<х<ь Заметим, что, вообще говоря, даже для аналитических на отрезке !а, ()! функций остаточный член интерполяции не стремится к нулю на отрезке !а, 1>! при и — оо, т.
е. интерполяционные поли- номы не сходятся к самой функции. Построение соответствующих примеров достаточно громоздко, поэтому мы не будем на этом останавливаться. 60.4. Квадратурные формулы Рассмотрим теперь некоторые способы приелпиженного интегрирования функций. Формулы для приближенных значений интегралов называются каадраигурнылггг формулалаг. Пусть на отрезке !а, ()! задана функция ).
Разобьем отрезок (а, ()! на п равных частей точками хл, й = 1, 2, ..., и — 1: Ь вЂ” и а=х ' х,(...<'х„г х„=б; хх — хь и й=1, 2,..., и. Квадратурныеформулы, которые мы рассмотрим, будут получаться посредством замены при интегрировании функции ~ на каж- бои К»адратурн»м формулы дом отрезке (х „х 1 интерполяционным»и>огочленом степени и. Мы изучим случаи и = О, 1, 2. Соответствующие приближенные значения интеграла от функции ) будем обозначать символом В„(Д, и = О, 1, 2. В первом случае (при и = О) соответствующая квадратурная формула называется формулой прямоугольников, во втором (при и = Ц вЂ” формулой трапеций, в третьем (при п = 2) — параболической формулой или, чаще, формулой Сампо>на.
Формула прямоугольников Лля интерполяции функции 1 на отрезке [х „х»1 й= 1, 2, ..., и, многочленом нулевой степени достаточно задать лишь один узел. Возьмем в качестве узла середину отрезка [х „х~: х~ ! +х» 2 Интерполяционным многочленом является постоянная Р,(х)=ВАЯЙ, А=1, 2..., п- При такой интерполяции мы заменяем данную функцию 1 «ступенчатой функцией», точнее набором функций, постоянных на каждом отрезке [и „х»1 и равных значению функции в цент- а 4! х! ьгг хг эгг Рис. 188 ре этого отрезка (рис. 183). Вместо интеграла ) 1(х) дх возьмем к А — ! к интеграл [ Р»(х) йх, т. е заменим площадь криволинейной тра- "» — 1 пеции площадью соответствующего прямоугольника. Напишем теперь квадратурную формулу прямоугольников: 60.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
