kudryavtsev2 (947414), страница 65
Текст из файла (страница 65)
54.2 и, следовательно, можно переставить порядок интегрирования. Равенства (59.24) доказано. Если функция Г удовлетворяет условию (59.18) и, следовательно, порождает некоторый функционал ! на $, то, умножив равенство ! (59.24) на — =, получим УЫ (ГИ, ч) =(г, Г!ч!), р б 5. (59.25) Эту формулу и примем за определение преобразования Фурье, обобщенных функцией из пространства Я'. Определение 22. Г)реобразоеониел~ Фурье обобщенной функции Г Г 3' ныывпетея функиионол ГЦ(, определяемый формулой (59.25). Итак, для любой обобщенной функции ) нз 3' определено ее преобразование Фурье ГЯ.
Отметим, что для функции ~рс Р ее преобразование Фурье Г!41, вообще говоря, не принадлежит пространству Р, поскольку Г!гр! пе всегда является финитпой функцией. Поэтому формула (59,25) имеет смысл не для всех ~р ~ Р. Из-за этого обстоятельства при рассмотрении преобразования Фурье обобщенных функций нам и пришлось сузить класс обобщенных функций, введенных раньше, ограничившись только обобщенными функциями медленного роста. Преобразование Фурье Г(г"! обобщенной функции г мы будем обозначать также символом 1 илн + ОЗ = !(х)е — цхдх. )/ 2я Таким образом, равенство + со Г[)1=-=, ~ )(х)е-"гдх = ~/ъ~ (59.26) в случае, когда ) является обобщенной функцией, является определением символа, стоящего н правой части равенства.
Определив преобразование Фурье для всех обобщенных функций из 5', мы, в частности, опрс;юлплп и преобразование Фурье для обычных функций Г, удовлетворяющих условшо (59.18), т. е. для функций существенно более п|нрокого класса, чем зто было сделано раньше (см. и. 56.2 и 58.6). Это является одним пз весьма существенных обстоятельств, оправдывающих целесообразность введения понятия обобщенных функций. йял Псепбрпвавпнпе гяуров ьбобгцппных фупвггпа Покажем, что преобразование Фурье обобгцепных функций обладает рядом свойств, аналогичных свойствам классического преобразования Фурье, т.
е. преобразования Фурье абсолютно интегрируемых функции. Лемма 6. 77реобразоеангге Фурье Р[г[, [~ 5', также является обобщенной функцией класса 5', т. е. Р[1[ — линейньгй и непрерывный функцггонал над просгпранством 5. ,1г о к а з а т е л ь с т в о. Проверим линейность преобразования Фурье. Пусть ~~ 5',й~~ 5', Х и р — числа, тогда для любого гу~5 имеем (РИ+-[гй[, г)=-И+[га, Р[ц[) = =) (7, РМ)+рМ,РМ)=) (Рй.
Ч:)+[г(РМ, ф)= =(ЛР[[)+ рр[й[, р). Таким образом, Р [Л~+ рй[= ЛР [)[+ рР [д[. Проверим непрерывность преобразования Фурье. Пусть ~~5' гь ~ 5, гГ„~ 5, гг=1,2,..., 1ип грп=-ц п»п» и, следовательно (см. теорему 1 и. 59.6), 1ип Р [ц и[ = — Р [~р[. и сп Тогда в силу непрерывности 7 на 5 получим 1гпг (Р [[1, гсп) = 1гпг ([, Р [цгп[) = (г", Р [гр[) = (Р [7[, гр). и Оп и со Итак, мы показали, что если [ ц 5', то и Р[[) ~ 5'.
Лемма доказана. Естественно определяется и обратное преобразование Фурье Р г[7[ элемента [~ 5' как функционал пространства 5', задаваемый формулой (Р 'й у)=У Р '[цг[) 'Гб5. Если 7 абсолютно интегрируемая непрерывная функция, это равенство выполняется для нее в обычном смысле. Это проверяется так же, как и в случае формулы (59.24). По определениго полагается также (ср.
(59.26)) + пп Р ' [7]= =;= ~ [ к)егвхйх :~/ й (59.27) Как и в случае прямого преобразования Фурье Р показывается, что если 1~5', то и 7 гЩ~5'. Е б9, Обабв1еввме 4ункции Теорема 2. Преобразование Фуры г' и обратное преобразование Фурье г ' отображают взаил1но однозначно и непрерывно 5' на 5', нри заюл~ длл любого алел~енто 1 ~ 5' имеет меслю равенство Р-' [Р 1~11 =Р [Р-' 1)11 =). (59.28) До к а з а тел ь с т в о. Докажем сначала формулы (59.28). Для любого элемента ~р~ 5 имеем (р '[Рй[. р)=(р[[1, р-'[р[)=К Р[Р '[р[1)=(1, р). Аналогично (р[Р ' й3, р) =-(р ' И, Р1ч!) =К р ' [р[р[[) =У, ч). Формулы (59.28) доказаны.
Покажем теперь, что преобразование Фурье г" отображает про- странство 5' на все пространство 5': г(5') = 5'. Пусть д(5', тогда если 1 =- г '[р[, то Л1[ = ЛР 181[ = д, т. е. в любой элемент из 5' прп преобразовании Фурье г отображается некоторый эле- мент 1гз 5'. Покажем, что р взаимно однозначно. Если А~ь5', (а~5' и ЛЦ=-Щ21, то и г [с[111[=с '[Л[з]1, откуда в силу (59.28) имеем 6,='-~, Наконец, Р является непрерывным отображением. Действи- тельно, пусть [ ~ 5',~„~ 5', л=1, 2, ..., 1!1п/„=р и, следова- Р! СО тельно, для любого ~р ~ 5, [нп (1„, ср)==(1', ~р). Тогда и со 1~и (~ У„1, ~р) = 8 гп У„, р Ы) = У, р [й) = (р [В ч). Аналогично доказывается, что и Р— ' непрерывно взаимно одно- значно отображает 5" на 5'.
Теорема доказана. П р н м е р ы. Найдем Р [61 = 6 . Имеем л л (б, р)=(8, р)=<р(()) = — 1 ~ гр(х)с[ =~ — 1, ~р), 1/2л ~ 1/ 2я 1 поэтому г [61 = и, следовательно, г — ' [11= [/2л б (заме- 1/2. тим, что обычное классическое преобразование Фурье Р [11, также как и прямое г" 111, не существуют). С помощью интегралов (59.26) и (59.2?) этн формулы можно переписать в ьиде +СО -1- сс 6(х)е-'"Удх=1, - [ е"Удх=а(х). звт бу У Првоброаьвоннв Фагрье ьблбщенньа фанкинй Подобным же образом находится и обратное преобразование Фурье 6 функции: Отсюда Р(1)=Р '111= 1/2иб.
Используя способ записи (59.25) и (59.27), эти формулы можно переписать в виде + ос +со — е — ' гг(х= 6(х), ) 6(х' е' лс(х=1. ( Вычислим, далее, преобразование Фурье от производной и производную от преобразования Фурье. Предварительно нам придется ввести поцятие произведения обобщенной функции ( ~с Я' на обычную бесконечную дифферепцнруемую функцню о(х), такую, что дпя ллоГюй ее производной ащ>(х) существуют постоянные (1„;> О и > О, и =- О, 1, ..., такие, что для всех х справедливо неравенство (аоч(х)(~~(1„(1+(х(), и=О, 1, 2, ...*л. (59.29) Заметим, что все мпогочлены удовлетворялот этому условию. Если функция а типа (59.29) и ф, 3, то и агр ~ 5.
Если функция 1 локально суммируема и удовлетворяет условшо (59.18) и а удовлетворяет условию (59.29), то функция а/ также удовлетворяет условию (59.18) н (1, агр) = ~ 1(х)а (х)гр(х)с(х = (а), гр). Определим теперь произведение о), где а удовлетворяет условию (59.29), а ) ~~ 3', фор мул о 1 (а(' ф) =-(з' 'р) р С З. Легко проверить, что а((-5'ее>, т.
е. что а( является линейным функционалом над пространством 3. У п р а ж н е и и е (4. Проверить, что а)Е 5'. Ч В силу этого условия (при п = О) функцию а(х) люжно рассматривать иаи обобщенную функпило пространства 5 1сль (бэла)1. ь*л Затруднения при определении проиаведения обобщенных функций связаны с тем, что произведение линейных функционалов в обычном смысле иаи произведение функций (т. е. произведение значений в налндой ление) не являезся линейным фуниционалом.
б 69. Обобщенные Фунннии Докажем в заключение формулы г" [11" з! =-([х,зз г Й, (59.30) ра [т1"' Й = Р [ '"! ), 1 Е 3'. (59.31) Имеем (см. п. 58.6) (р[[заз[, Ч)=(Ргн1, Е[Ч[1=( — 1)" (1, ~'"'М) = =-( — 1)" (Р, — р [х"зр!) =- "(г Й, ха зр) = =(([х)" г [1[, <р), тр ~ 5. Формула (59.30) доказана. Докажем:59.3!) (см. п. 58.4): (р'"' Й, гр) =( — ')" (рЙ, р"') =(-1)" У, р[Ф"'!) = =-( — 1)" (1, (!х)" Г [из!) = — (х" [, то [гр!) = ( — „г [х" [[, чз).
У и р а ж и е и и е 1В. Найти иреобразоиаиие Фурье ииогочаеиа. Прн вычислении преобразования Фурье обобщенттых функций иногда бывает удобно выбрать последовательность обычных функций, стремящихся в пространстве 5' к заданной функции, найти преобразование Фурье членов этой последовательности, а затем вычислить искомое преобразование Фурье заданной функции с помощью предельного перехода, используя непрерывность преобразованин Фурье. Так, например.
для того чтобы вычислить преобразование Фурье 8[О! функции Хевисайда 0(х), найдем сначала преобразование Фурье функции 0(х)е — '" (1 ) О): 1 - е *О+он г'[О(х)е — м[= ! а-ен+'-"1г[х = — = [з 2и З [зз 2й (Г+ 1у) о о (59.32) )з2е(1+зу) тl 2и(у — и) Покажем теперь, что в о' Опт О (х) е — '" = О (х). (59.33) з-+о Действительно, для каждой функции гр ~ 3 и любого числа А имеем !1зез, з«з1 — 1зз з.--; зез1!- $ ! зз.-*-«ззрз~.$ < о л ! !+ з е ! зз — -"ззз )з,!-~! ! зз —.-"ззз*зз*/, риза) о л 59.7.
Преобрпзоеоспсе Фурье обобщенкьск функнпб зар тогда Выберсц теперь Га >О так, чтобы прн Ок,.с к'(а было справедливо неравенство (1 — е-"') ~ ! ср (х) ! с(х ( — ' и, следовательно, ! А А ~ (1 — е-") ср (х) с(х ~ (1 — е-'") ) (ср (х) ! с(х с" и . (59.36) а о Тогда при 0 с ~ 'со из (59.34), (59.35) и (59.36) получим (59.37) причем из (59.37) следует, что предел, стоящий в правой сагтн, существуе. (в пространстве 3'), он обычно обозначается у — с'о (см. упражнение 6).
Таким образом, Г[0(х))==— с )/2н у — сО У н р аж на ни е 1?. Найти преобразование Фурье функций хай(х), а=1, 2,.... ! ) (1 — е- с")ср(х)с(х ( ) !ср(х)! с(х ( —Ђ . (59.35) А А Зафиксируем функцию ср~5 и какое-либо щюло и >О. В силу абсолютной инсегрируемссти функции ср существуез число А.
О., такое, что +аз 1 !р(.)!д < а. 1(0(х), ср(х)) — (0(х)е ", ср(х))!( — а+ — в=в. 2 2 Формула (59.33) доказана. В силу непрерывности преобразования Фурье 1пп г !0(х)е-с ]=г'(0(х)), с-+о отссода и из (59.33) имеем г (0(х)1= = 1пп "С/2н с-+ау — Н' 390 б бб Нехо1орые вопросы приближенных вычиелепио ДОБАВЛЕНИЕ й 00. некоторые Вопросы ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ 60.1. Вычисление значений функций х ыпх= ~ ( — 1)е ' + е„(х), (29 1)! и где лп -~.! (х) = ( — 1)» —,—,— знйеп+ ~~ Ох и 12п, ~Р (мы взяли остаточный член в форме Лагранжа). Поэтому 1х1еп+' (2 +1)! (60.1) Пусть требуется найти 5(и 20' с точностью до 10Гв.
В радпанной мере 20е соответствует --, поэтому выберем номер и так, чтобы (60 2) тогда значение многочлена Тейлора порядка и в точке х = — ' и дасэ 9 нам искомое приближение 51п 20". Б силу неравенства (60.1) ддэ выполнения условия (60.2) достаточно, чтобы выполнялось нера. венство (60.Т, При и= 1 эю неравенство не выполняется: Для вычисления значений функций очень удобно пользоваться формулой или рядом Тейлора. Поясним это на примерах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
