kudryavtsev2 (947414), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Лемма. Путсть функция / имеет на отрезке 1 — л, л) производные до порядка lг ьключиягельно (/г > Ц, /<11( — и) =/<п(п), /=О, 1, ..., /г — 1, /' '(х) — кусочно непрерывная функция и пусть /(х) — — "'+~~ аисозпх+Ь„з(п лх, и=! я< ПрИ ЭтОи бЕЗ КаКИМ-ЛИ6О Прсдисаии<ЕИИГ< О СМОдпиеетп рлдл ФурЬЕ функции или ее произиодиой1 З дд. Классические ряды Фурье тогда ~1 а„'1 < — ",, 1Ь„~ < — '",, п = 1, 2, ..., где г„ьО и ряд ~~~~ ес сходится. с= ! Доказательство. Применяя последовательно теорему 12 Й раз, получим (х) ~~~~!с совах+ ~„з)п пх, и ! где либо а„=- ~ пьат ~„= -!- и"Ь„, (55.
37) либо (55 38) и„-'с пьЬ„, ()„= -~пьа„. Положим е„= )l а,',+ р„'. В силу неравенства Бесселя (55.32) ач 2 для функции )ь'(х) ряд з е„сходится. и ! Если справедливо (55.37), то я нь пь Аналогично ~Ь„) < гь, А=1, 2, (55.32) где 1!и! т)„=ОЯц„) — числовая последог>ап!ельноспсь), а 5„(х; О— И СС и-я сумма Фурье срунк!(аи 1. Подобным >ке образом зта оценка получается и в случае (55.38).
Лемма доказана. Теорема 73. Пусть функ!(ия 1' имеет на отрезке 1 — и, п( производные до порядка Ь включшпельно (Ь ~~ 1), прьсчем ее 7с-я производнач кусочно непрерывная и т!и ( — и) =1!с! (и), 1=0, 1! ..., Ь вЂ” 1, тогда ряд Фурье функ!(ии 1' равномерно на всем периоде сход!стоя к самой с)!ункции 1' и У (х) — 5ы (х; !) ! < Ц', 2 дд.а Характер сходок!осто рядов Фурье )1(х) — 5„(х; ~)(=о Предварительно заметим, что если(ил) и (сп) — последовательности неотрицательных чисел, таких, что "л (+ оо и,~', о г~+ оо п=! и=! то (55.40) Действительно, это неравенство сразу получается предельным переходол! из неравенства Коши †Швар: т .„<у т.п')г т,~ г .. гп.гг.
п=! и=! п=1 Доказательство теоремы 13, Пусть )(х) — — '+ ~' а созтх+Ь з(птх, пг=! п аь 5„(х; 1) = — + '~" а„соз и!х+ Ь„мп тх. (55.41) По лемме где е,п таково, что ряд Егл (55.42) (55.43) сходится, Применяя неравенства (55.40) и (55.42), оценим остаток г„(х) ряда (55.41): /г„(х)~= ~~ а соз!пх+Ь ьбптх < ~~~~~ ~а ~+/Ь ~( ! гп=п+! гп л+! Таким образом, можно сказать, что на периоде равномерно выполняется оценка 5 55. Классические ряди Фурье 274 сч ~ — ',<21/ т а )с ~ ~.
с!!Асс т=.л+ ! т=л+! т=л+ ! Положим 2 х„= — ~~~ е г т=л+! В силу сходимости ряда (55.43) имеем !пп х„= О. (55.45) Далее, + са т=л-с-! л 2 Положим, наконец, 21„= )сх„; очевидно, 1пп 21„=0. ес2Сс — 1 л т Теперь в силу (55А5) и (55.46) из неравенства (55.44) получаем ь-— ь —— л ~ и — + э ал соз ах+ Ь сйп пх аь 'кл л ! — ее ряд Фурье, тогда (55.47) при этом бесконечно малая 7) не аависит от !очки х. Согласно теореме 4 и. 55.4, ряд (55А1) сходится к функции 1(х), поэтому г„(х) =-1(х) — Я„(х,1) и, таким образом, оценка (55.39) также доказана. Теорема доказана. Теорема 13 показывает, что чем глаже функция 1, т.
е. чем больше она имеет производных, тем быстрее сходится к ней ее ряд Фурье. При этом неравег1ство (55.39) дает возможность оценивать погрешность, получаюшуюся прн замене ряда Фурье его а-й частичной суммой. Из этой теоремы следует в частности, что ряд Фурье всякой непрерывной и кусочно непрерывно дифференцируемой функции (см. и. 30.2) равномерно на всем периоде сходится к самой функции. Теорема 14. ссссссссь à — нессрерыеная иа отрезке ( — и, и) фунссс(с!я а БД9, Хоролтер оходоиоото рядов Фурье С л: К )(х)ь[х= ~ — +~у ~(алсоэпх+6лэ[пых)ь[х= о о л-!о = — + азы — ' з[п пг+ — (1 — соэ и!) Ол~ ~л ол ол 2 л л л ! (55.48) ь В(Г) ~~[(.) ол] ( о (55.49) Она непрерывна на отрезке [ — и, и[, имеет на этом отрезке непрерывную производную Е'(ь)=)(!) — '" и 2 В(п) — Е( — и)= ~)(х)Их — па =О. — л Поэтому в силу теоремы 13 ее ряд Фурье сходится к ней н притом равномерно: Е(х)= — '+ лС А„совах+В„э[пах.
Ар (55.50) Найдем коэффиниенты Фурье этого ряда. Интегрируя по частям, получим Л„= — ~ Е (!) соз а!й = ! и В (!) ~~~ ~ ~ — — ( [ (!) гйп пгг[! =- — ". я л ! — л лл л Аналогично В = —" л и ряд, слюни(ий справа, сходится разномерно.
Отметим, что утверждение о сходимости (и даже равномерной) ряда (55.48) имеет место без каких-либо предположений о сходимости исходного ряда (55ЛУ). До к а з а т ел ь с т во. Рассмотрим функци!о й 55. Классические ряды Фурье откуда — = Ао ~ ьл 2 л л=! л ! ( Ьл ! д 2 !! ряд справа сходится, ибо — "( — ~6„+ — )) . л 2~ ло~ Итак, Г(1)= чт — "з!пп1+ — "(1 — созп1). ео л л Отсюда и из (55А9) и следует формула (55.48).
Теорема доказана. о!пах Задача 25. Докаватгч что сходящийся тригонометрический ряд ~~,' !нл л=я не является рядом Фурье. 55.10. Ряды Фурье в случае произвольного интервала. Комплексная запись рядов Фурье Теория классических рядов Фурье легко переносится и на случай периодических функций с любым периодом 21. Для этого достаточно отрезок 1 — 1, 1) отобразить на отрезок ( — и, и) с помощью линейного отображения: л у= — х, — 1~х(1, — п4у 4п, тогда вопрос сведется к уже рассмотрешюму случаю.
Ряд Фурье функции 1 с периодом 21 в исходной переменной х имеет вид — + ~а„соз — + 5„5!и —, ао ллх ллх 2 л=! где и, = — !Г ) (х) с(х, а„= — !Р ! (х) соз лл" с(хо Ь„= — ! 1(х)гйп — с(х, п=1, 2, .... ! !" . лах ! Чтобы найти А„положим г (0) = О, получим — '+ ч)' А„=О, 2 в (55.50) х = О, тогда, замечая, что ББ.10. Случай яроиэвольного интервала. Комплексная эонигь В заключение отметим егце так называемую комплексную запись рядов Фурье, часто используемую в математике и ее приложениях. Пусть Г (х) — — "+ ~~)~~ а,„соз пх+ Ь„з(п пх.
я ! Как известно (см. п. 37.5), созпх= — (еьк +е ""), 2 з(п пх (ечк е — пл ) (е Яы енлг) 21 2 (55.52) (55.53) ГГодставляя (55.52) и (55.53) в (55.51), получим Г(х) — — "+ чт' — (а„— Ь„г) е" + — (а„+ Ь„г) е ""'. я ! Полагая 1 1 с„= — (а — 6„1), с „= — (а„+ 6„1), 2 " 2 вь со — — —, 2 имеем Г (х) — ~~~~ с„е'""„ (55.54) с„= — (а„— Ьнг) =- — ~ Г (х) (соз пх — г яп пх) Нх = ! 1 2 2к — 1 Г(х)е '"г(х, 2к 3 (55.55) с, = — (а„+ Ь„г) = — ~Г(х) е'"*г(х. 1 1 Подставляя (55.55) в (55.54), получим ) (х) — — ~Ч~~ е'"" ~) (1) е илгг(1.
2в (55.55) где, очевидно, с„= — с „п =.1, 2...,; вспоминая, что сова ге(па=а+э" (см. и. 37.5), получаем й бб. Иктеграг Фурье а ареабразаеааие Фурье 778 Если функция ш(х) вещественного переменного х принимает комплексные значения в(х) = и(х) + го(х), то мы положим по определению ь ь а ') га(х) г(х ~ и(х) г(х+1~ о(х) ах. ~ 56. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 56.1. Представление функций в виде интеграла Фурье Пусть функция 7" абсолютно интегрируема на всей вещественной оси. Напишем для нее интеграл, соответствующий в определенном смысле ряду Фурье, в котором суммирование по индексу а заменено интегрированием по некоторому параметру:.
+ьс ) (а(у)созху+5(у)з(пху)ду, о где + сь а(у)= — ~ 7" (1)созугг(г, 1 +00 5(у)= — ) ~(г)з1пуЫ~. 1 (56.2) (56.З) Таким образом, получаем запись ряда Фурье в комплексной форме и соответствующие выражения для коэффициентов. Требуют разъяснения лишь понятие сходимости ряда аида (55.56) и смысл интеграла от комплекснозиачной функции. Частичной суммой порядка и ряда ;~. «ь з„ (55.57) и — ь» а называется сумма о„= ~ зге Ряд (55.57) называется сходя- а - — ь щнмся, если существует Я=!!ш5„, при этом Ю называется сума аь мой ряда и пишется ветл Представление функций в виде интеграла Фурье Подобно тому, как сумма ряда Фурье функции при определенных условиях дает значение самой функции, интеграл Фурье также дает представление исходной функции.
Теорелга 7. Пусть функция1 кусочно непрерывна на каждом конечном отрезке и абсолюгтию интегрирусма на всей вацеспиенной прямой, пусть в каждой точке х сугцествуют производнач справа )+(х) и производная слева ! (х), тогда справедлива формула + ! + ! ! =- — Г с(у ~ ! (Е) соя у (х — !) сй. 2 я о — ьо Доказательство. Рассмотрим интеграл Я(ь!)= — 1йу ~ )(!)сову(х — !)йг, ! !' (56,5) (56.6) где т! >О, а х †произвольн фиксированное число. Очевидно, что интеграл Фурье +о +со — йу ) ! (г)сову(х — !)йс ! о -со является пределом функции (56.6) прн т! - +Оо, т.
е. 3(ь!) являесся в этом смысле аналогом частичных сумм рядов Фурье. Для каждого числа я ~ О, согласно теореме об интегрировании интегралов, зависящих от параметра (см. и. 53.Ц, имеем йу ~~(!)сояу(! — х)й1= (~(!)де~сову(х — !)йу — Е о (56.7) Формулы (56.2) и (56.3) напоминают формулы для коэффициентов Фурье.
Определение 1. Интеграл (56.1) называется интегралом Фурье функции 7. Подставляя (56.2) и (56.3) в интеграл (56.1), преобразуем его следующим образом: + СС +еи -!- оь ') (а(у)сояху+Ь(у)я(пху) йу= — ') йу ) )(!)(соя!усояху+ о Π— аь +я1п!уя(пху)йг= — ~ Иу ~ )(!)сову(х — !)й!. (56.4) ! р Π— ьо б бб. Интеерал Фурье и преобразование Фурье в~п Л(х — 1) х — г (56,8) т.
е. функция Г(У, Ч)= ~1".(1)созУ(х — ()й равномерно на отрезке [О, »)) стремится к пределу (56.9) при й-»+ оо. Далее, функция г (у, $) непрерывна по у. Действительно, функция 1 ограничена на отрезке [ — $, Ц: [((1) [ < Л4, — й(1<$. Обозначим через ь»(б) модуль непрерывности функции созу(х — г), 0<у~4 ть — з<1 < г.
Тогда Ип1а»(б)=0, поэтому »-о [р(у+йу, з) — р(у, В) [< < ~ [) (г) [[ соз (у+ Лу) (х — Г) — соз у (х — () [ й < 2И$ео (Лу) -» 0 при Ьу — О. Поэтому в силу теоремы 2 и. 53.! в левом интеграле равенства (56.8) можно перейти к пределу под знаком интеграла при й -+ + оо. В результате получим +о» 8(О)= — ', ~'И) ""„""', О й. Действительно, в силу кусочной непрерывности функции ф) прямоугольник — й < г< $, 0 < у < т), можно разбить прямыми, параллельными оси Оу, на конечное число прямоугольников, на каждом из которых функция ф)соз у(х — е) будет уже непрерывна, как функция двух переменных, вплоть до границы (если па границе указанных прямоугольников в нужном случае брать предельные значения функции(, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
