Труды семинара Бурбаки за 1992 г (947406), страница 92
Текст из файла (страница 92)
Поскольку предельная нормаль не вертикальна, функция соэ»(» отделена от нуля. Следовательно, если к -+ О при» -+ оо, то то же верно и для к и ка. Поскольку поверхность М минимальна, главные кривизны к»„ кз этой поверхности равны по модулю. Нормальные кривизны лежат между к» и кз, так что достаточно доказать, что К = к»кз -+ О прн 1-+ со. В конформной параметризации конца диском Р* индуцированная метрика имеет вид»(з = Лщ, где Л = )ь(з-')1(1+ (д(г) !'),,»' — голоморфная функция, не обращающаяся в нуль на Р', а д — отображение Гаусса. Кривизна К вычисляется по формуле К = Поскольку функция 1п !Л является гармонической в Р* и д голоморфно продолжается в нуль, мы получаем, что функция»з!и Л = »!» 1п(1+ !д(з) !з) ограничена в окрестности нуля. Метрика Иа является полной в нуле; поэтому Л -~ сю при ф — > О.
Отсюда мы получаем, что К -» О, а следовательно, ) ка»Ь -+ О при ! -» оо. о достмжйниях творим соиствйииых вложений 483 Теперь рассмотрим конец А поверхности М с вертикальным предельным нормальным вектором о. Согласно лемме 7.2, мы можем конформно параметризовать А диском Р' таким образом, чтобы выполнялось равенство хг = С!п 1г!. Отображение Гаусса имеет в нуле нуль или полюс порядка п, где и — это порядок ветвления конца А.
Мы можем считать, что д(г) представляет собой сумму г" и членов более высокого порядка малости в окрестности нуля. Если г один раз обходит окружность Ц = т против часовой стрелки, то, в предположении, что г достаточно мало, нормальный вектор к А вдоль Сг обходит вертикальный вектор о и раз, не принимая вертикального направления. Следовательно, нормальный вектор к кривой Сс в Т~ монотонно поворачивается вокруг начала координат против часовой стрелки и раз. Пусть к — плоская кривизна кривой С1 (в Тг).
Согласно результатам последнего абзаца, к > О и ~, к дв = 2хп. Итак, кг = к сов ф, где ф — угол между конормвлью к Сг в М и горизонталью. Мы видим, что ф -+ О при $ -~ оо; следовательно, (с кгдв -+ 2хп. Это завершает доказательство теоремы 7.4. Замечание. Из приведенного выше рассуждения можно заключить, что если конец А вложенный, то он не может обладать вертикальным предельным нормальным вектором о.
Действительно, если вектор о вертикальный, кривые С~ имеют положительную кривизну к и (, к ~Ь = 2хп. Это, очевидно, означает, что С~ — выпуклая кривая, гомотопная нулю в Ть Следовательно, А поднимается до вложенного конца конечной полной кривизны в хе~, который.
должен представлять собой катеноид (асимптотически). Очевидно, что он не может быть вложен в Т х К. Теорема 7.5. Пусть А — собственно вложенный минимальный кольцевой конец в Т х И. Тогда А асимпгпогпичен плоскому цилиндру. Кроме того, два различных кольцевых конца т-поверхности в Т х К сходлтсл к различным плоским цилиндрам.
Доказательство. Как говорилось выше, можно считать, что конец А параметризован диском Р' н Хз = с1п 1г(, с < О. В соответствии с рассуждениями из доказательства теоремы 7.4 мы можем допустить, что для любого малого е > О существует такое Т > О, что при с > Т каждая кривая Сс — — А П Тг содержится внутри ктрубчатой окрестности Вг геодезической, Вс с Ть Зафиксируем е > О и будем считать, сдвигая, если нужно, А вниз, что кривые Сс 484 Гарольд Розенберг обладают этим свойством для ~ > О.
Пусть стт и дт — кривые, ограничивающие Вт. Очевидно, что для малых б существует единственное плоское кольцо Гт С Т х К '1 А с гРаницей ао 0 ат. ПРовеРим, что такие кольца существуют для всех Ф и непрерывно изменяются с изменением ~. Поскольку множества Гт и А й (Т х [О; 1)) компактны, легко видеть, что множество всех 1, для которых Гт существует, открыто. А так как дГт Гт дА = йг, из принципа максимума следует, что предел таких колец Гт обладает тем же свойством.
Подобным образом мы определим плоские кольца Ет с границей )зе 0 дт, не пересекающиеся с А. Подпоследовательность колец Ет сходится к такому плоскому кольцу Е, что дЕ = сто, Е П А = о (по принципу максимума). Аналогично можно выделить подпоследовательность колец Гт, сходящуюся к плоскому кольцу Г, дГ = да, ГОА = О и ЕПГ = кг.
Следовательно, кольца Е и Г параллельны и находятся на расстоянии е друг от друга, а А лежит между ними. Далее проведем те же самые рассуждения на такой высоте, что кривая Ст попадает в е/2-окрестность геодезической на Тт. Перейдя к пределу при е -~ О, получим искомое предельное плоское кольцо. Из принципа максимума на бесконечности следует, что различные концы сходятся к различным плоским кольцам. 7.6.
Глобальные топологические и геометрические свойства. Напомним, что множество Т х В. = В.з/С обладает соизмеримой решеткой, если С содержит два линейно независимых вектора равной длины. Теорема 78. Нустаь М естпь т-поверхностпь пространсшва ТхК конечного топологического шипа (не плоская). Тогда 1. Если поверхность М ориентируема, то она разделлет Т х гь.
В этом случае как число верхних концов поверхности М, шак и число ее нижних концов четно. В частности, поверхность М имеетп не менее четпмрех концов. 2. Если поверхность М неориентируема, тпо как число ее верхних концов, так и число ее нижних концов нечетно. В частпностпи, независимо от того, являетпся ли поверхность М ориентпируемой, общее число концов всегда четпно. 3. Верхние концы поверхностпи М параллельны нижним концам тогда и только тогда, когда подгруппа группы Нт(Т х К), порожденная петплями на концах поверхностпи М, являетпся циклической.
Если концы параллельны, тпо число верхних концов равно числу нижних концов. В частностпи, в соответстпвии с первым О ДОСТИЖЕНИЯХ ТЕОРИИ СОБСТВЕННЫХ ВЛОЖЕНИЙ 485 пунктлом в случае, когда поверхность М ориентируема, число концов кратно четырем. 4. Вели концы поверхности М не параллельны, то они вертиквльнм и Т х К шиеет соизмеримую решетку. Доказательство. Пусть поверхность М ориентируема, М— связное поднятие М на Н.г, а С вЂ” группа сдвигов, определяющая М.
Если а Е 6, то по сильной теореме о полупростраистве пМ = М. Поверхность М разделяет Кг на две связные компоненты А и В, а о сохраняет ориентацию; следовательно, оА = А. Поэтому поверхность М ограничивает А/С в Т х К и разделяет Т х К. Мы знаем, что для больших 1 множество МГ~Тг состоит из конечного числа попарно непересекающихся простых замкнутых кривых Сы ..., С„и каждая кривая С; приближенно является геодезической. Здесь п — число верхних концов. Аналогично, если 1 < 0 и [Ь[ — большое число, то М О Т~ — — Р1 0 ° 0 Р, где каждая кривая Р, является почти геодезической, а т — число нижних концов.
Поскольку М разделяет Т х Н, на две компоненты, скажем А и В, каждая кривая С; имеет две стороны в Т~. .одну,в А, другую в В. Следовательно, п и т — четные числа. Это доказывает первый пункт. Доказательство второго пункта мы оставляем читателю; см. также [М.-К.-Ц. Пусть Р— плоское кольцо, параллельное предельным верхним концам, а ц — плоское кольцо, представляющее собой предел ниж— > них концов. Пусть а и Ь вЂ” предельные направления кривых С, и Р, соответственно, [а [ = [ Ь [ = 1. Обозначим через Х конормвльное векторное пс~ле к дМИ оно касается М,[Х[ = 1,Х .1 ВМг и Х направлено вверх. Пусть и — поле направленных вверх единичных векторов, касательных к Р и нормальных к а.
Аналогично опре— > делим и как единичное поле, касательное к сг, нормальное к Ь и направленное вверх. Поток поля е через кривую Су равен [ (о,Х)оз. При 1-+ со поле Х сходится к о, а С. сходится к геодезической А . Следовательно, поток поля о через дМг для больших 1 определяется по формуле ь / (о, о)сЬ = и[А|[.
1 l)АА 486 Гарольд Розенберг Аналогичным образом, поток поля о черезР равен Л, (о,ш)[В [, где [В ] — предельная геодезическая кривой Р, -Ф Поскольку и является градиентом координатной функции, гар- монической в М, поток поля и через д(М П Т х [ — г; г]) равен нулю. Следовательно, п[Ат[ = (и,ш)тп]Вт[.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
