Труды семинара Бурбаки за 1992 г (947406), страница 91
Текст из файла (страница 91)
Поскольку полная кривизна равна площади сферического образа поверхности М при действии д, выполнения этого условия достаточно. Вообще, можно показать, что выколотая точка не является существенной особенностью, заключив конец А в область пространства, в котором можно проверять значения отображения д. Если вблизи выколотой точки д не принимает многих значений, то особенность устранимая. Теперь мы можем доказать следующую теорему.. Теорема 7..3. Пусть Х: А — г Т х К вЂ” собственное минимальное вложение диска Р', Тогда А имеет конечную полную кривизну. Доказательство.
По лемме 7.2 мы можем положить А = Р* и Хз(г) = с!и !г(; отождествим А с Х(А). Выберем такое с < О, что О ДОСТИЖЕНИЯХ ТЕОРИИ СОБСТВЕННЫХ ВЛОЖЕНИЙ 479 в(А) Рис. 16. Хз > 0 на А. Пусть Сл — — А П Тс, .тогда Сл — простая замкнутая кривая для каждого Е Доказательство проводится отдельно для двух случаев: Се порождает ял(ле) или не порождает. Ыы рассмотрим здесь первый случай; второй случай рассмотрен в работе [М.-В..-1]. Кривая Се порождает циклическую подгруппу С в ял(Т х К). Пусть р: Т х К вЂ” л Т х К вЂ” такое риманово накрывающее пространство, что р.хл(Т х К) = С.
Тогда Т х К изометрично (о' х К) х В, и порождающий элемент группы лл(Т х К)/С' естественным образом действует на множестве Н .= р '(хз '[О; со)) как сдвиг. Для удобства поднятие конца А р Н также будем обозначать через А. Поскольку граница дА компактна, а множество д' х В. = дН не является компактным, мы можем выбрать такую замкнутую геодезическую а в дН, что а П дА = и. Выберем такой сдвиг и в накрытии, что кривая а содержится внутри компактного кольца сл с границей, состоящей из дА и п(дА) (рис. 16) Пусть П с Т х В.
— компонента множества Н~(АслгА), граница которой содержит А 0 аА, и пусть П, — множество точек поверхности П на высоте, не превышающей Е Заметим, что поверхность Пл не допускает решения задачи Плато; ее'граница состоит из четырех минимальных поверхностей, которые пересекаются под углами не более чем я. Пусть ал — жорданова кривая, лежащая внутри гладкого кальца дйл на высоте г и гомотопная кривой а, и пусть Ел — такая вложенная поверхность наименьшей площади, что дЕр, — — а О ан Ес С П, (рис. 16).
Прежде всего заметим, что поверхность Е, ори- 480 Гарольд Розенберг ентируема. Чтобы убедиться в этом, покажем, что Ег разделяет Пь Если это не так, то должна существовать простая замкнутая кривая б в Пм пересекающая Ет трансверсально в одной точке. Но группа яг(йт) порождена яг(дА), а следовательно, кривая б гомотопна кратному границы дА и дА имеет нулевой индекс пересечения с Ет. Поскольку индексы Ж~-пересечения корректно определены в гомотопических классах, это невозможно, и, значит, поверхность Ег ориентируема. В соответствии с рассуждениями из рэзд.
5 подпоследовательность поверхностей Ет сходится к некоторой гладкой вложенной устойчивой поверхности Е, дЕ = а, Е С Ит. Согласно обычному принципу максимума, ш1 Е С шг, И'. Теперь докажем, что Е является частью плоскости. Поскольку а представляет собой фактор прямой линии в Рь~, мы можем продолжить Е с помощью отражения Шварца В до собственно вложенной минимальной поверхности Е с Т х К. Заметим, что, поскольку п(П) й П = тт(А) и Е й дй = а, должно выполняться условие оЕ й Е = кт. Пусть  — отражение Шварца относительно тта (т.е. поворот на угол я вокруг гта. Мы утверждаем, что Е и Е' = пЕ 'ст В, (гтЕ) — две непересекающиеся собственно вложенные минимальные поверхности.
Заметим, что В, о с = Вз и Вя . В ~ о = Ы, где а — геодезическая на дН, лежащая посредине между а и па.' Следовательно, если Е й Е' ф ят, то ВоЕ й В (гтЕ) ф хт. Применив к последнему соотношению симметрию Вя, получим ВоВ„,(Е) йЕ э~ йт. Но ВлВ = и; следовательно, ттЕ й Е ф о. Мы получили противоречие. Поскольку поверхности Е и Е' не пересекаются, по сильной теореме о полупространстве их поднятия на Кз являются плоскостями, а следовательно, Е и гтЕ представляют собой параллельные плоские, кольца в Н.
Пусть Р(В) — плоское кольцо, содержащее а и образующее угол В с горизонтальной плоскостью дН. Выберем угол В таким малым, чтобы Р(В) пересекало область, ограниченную поверхностями Е н пЕ, по компактному множеству, а также пересекало А трансверсально по'гладкой кривой. Это возможно, поскольку А пересекает дН тралсверсэльно по одной кривой. Рассмотрим слоение пространства Т х К на плоскости, парал-, лельные Р(В) (на самом деле плоские кольца).
Заметим, что каж-. дый лист пересекает Р(В) по компактному множеству. Это слоение определяется множествами уровня линейной функции, ограниче- О ДОСТИЖЕНИЯХ ТЕОРИИ СОБСТВЕННЫХ ВЛОЖЕНИЙ 4В1 ние которой на А есть собственная гармоническая функция. Следовательно, эта гармоническая функция не имеет критических точек на А над Р(б). В частности, нормаль к Р(б) нигде не совпадает с нормальными векторами к части поверхности А, лежащей над Р(В).
Поскольку б может принимать различные значения из некоторого интервала, отображение Гаусса не принимает значений, лежащих на некоторой кривой, а значит, выколотая точка не является существенной особенностью и А имеет конечную полную кривизну. Теперь мы можем изучить геометрию концов т-поверхности в пространстве Т х К конечного топологического типа.
Мы убедимся, что они геометрически сходятся к плоскому кольцу. Прежде чем приступить к доказательству этого утверждения, изучим погруженные поверхности конечной полной кривизны в Т х В.. Теорема 7.4. Лусть М вЂ” собсгавенно нагруженная минимальная поверхностаь конечной полной кривизны в Т х В., Аы . ', Аг — концы поверхности М с вертикальными предельными нормальными векторами и и; — порядок ветвления отображения Гаусса в конце Агь Тогда С(М) = 2к(1г(М) — ~ х пх).
В частности, если М не имеет горизонтальных концов, то С(М) = 2кХ(М). Доказагаельство. Если поверхность М неориентируема и мы переходим к ориентированному двулистному накрытию этой поверхности, то все члены приведенной выше формулы умножаются на 2. Это очевидно для С(М) и 1С(М); каждый конец поверхности М поднимается до двух концов в накрытии. Следовательно, мы можем допустить, что М вЂ” ориентируемая поверхность. Пусть Мг = М й (Т х [ — г; г]).
По теореме Гаусса — Бонне С(М) =!пп ( К= 1пп [2кх(М,) — ( кг г — >со гм г-~со 1, дом, Для больших значений г выполнено равенство г(Мг) = г(М), так что мы должны вычислить )в, и„. Прежде всего рассмотрим компоненту Сг множества дМН обладающую на одном конце Е невертикальным предельным нормальным вектором и. Докажем, что ) кг — ~ О при 1 -э оо. Пусть а— Ф горизонтальный единичный вектор, ортогональный вектору и.
Поскольку и не является вертикальным, существует в точности два таких вектора. Выберем ориентацию вектора а таким образом, чтобы 482 Гарольд Розенберг С,' сходились к а при» вЂ” » оо (ориентация С,' задается ориентаци- ей М», а штрихом обозначена производная по длине дуги).
Пусть»1а — замкнутая 1-форма, определяемая ортогональной проекцией на а (на прямую, параллельную а). Так как множество + — » — г С», '!С», ограничено на Е, то )с»(а =1с»1а. Мы имеем С,'-+ а с„— с, при ! -+ со; следовательно,)с »Ь сходится к / »»а. В частности, длины кривых С» равномерно ограничены. Пусть Х вЂ” конормальное векторное поле вдоль С», т.е. по- ле Х касается М, (Х, С,') = О, !Х( = 1 и Х направлено внутрь М». »х Пусть а — единичный нормальный вектор к а, касательный к Т», направление которого определяется производной С," при Сл „-~ О. Мы имеем кз(С») = (С»,Х) = »»С»~~ сов(1(С»~~,Х)) = к сов( г(а, Х) + е), где к — кривизна компоненты С», рассматриваемой как плоская горизонтальная кривая, и е — > О при» вЂ” > со.
Теперь вычислим к, рассматривая С» как плоское сечение, поверхности М. Пусть Р— плоскость в С»(з), порожденная нормалью п к М в С»(а) и С,'(з), и пусть к„(з) — нормальная кривизна, т. е. кривизна кривой Р Г» М в С»(з). Мы получаем к„(з) = к сов»(», где»)» — угол межву С,"(з) и и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
