Труды семинара Бурбаки за 1992 г (947406), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Теперь рассмотрим представление конца Ег в виде графика: иг(х) = а1пх+6+ — + — + 0()х( г). )х!г )х)г Нам нужно сдвинуть поверхность М таким образом, чтобы ось катеноида проходила через начало координат. Положим хг —— уг + аы хг = уг + аг. После такой замены иг можно переписать в виде иг(у) =а1п)ф+Ь+ ~ + — +0((х) г), цг (ур где с; = с, + аоа г = 1,2. Таким образом, положив си = — с;/а, г = 1, 2, и вернувшись от переменных у к переменным х, мы получим пг(х) = а1п)х(+ 6+ 0(1х( г). Считая,что горизонтальная плоскость хз = О является плоскостью симметрии поверхности М (мы можем принять это предположение, осуществив вертикальный сдвиг поверхности М), мы получим иг(х) = — иг(х), и, следовательно, разложение функции иг(х) имеет вид ид (х) = — а 1п (х( — Ь + 0()х( г).
Теперь докажем, что М является поверхностью вращения вокруг оси хг и, следовательно, катеноидом. Поскольку выражение для иг инвариантно относительно поворотов вокруг начала координат в плоскости (хг, хг), достаточно доказать, что плоскость хг — — О является плоскостью симметрии поверхности М. О ДОСТИЖЕНИЯХ ТЕОРИИ СОБСТВЕННЫХ ВЛОЖЕНИЙ 457 Рис. 12. Обозначим через Р(г) плоскость хз = г (теперь мы рассматриваем ось хз как вертикальную) и для (достаточно большой) константы К положим М П ((хз~ = К) = Вз С1 Вз = В, где Вз = М О (хз = К), Вг = М П (хз = — К).
Приведем идею дальнейших рассуждений. Зафиксируем з > О. Для больших К множества В1 и Вз близки (С'-близки) к окружностям в плоскости 1хз! = К с центрами на оси хз. Итак, Вз+ является графиком с ограниченным тангенсом угла наклона над Р(0) и В,* > В, (рис. 12). Пусть Е = Е(К) — компактная часть поверхности М, имеющая границу В. Применив принцип отражения Александрова к горизонтальным плоскостям Р(з) и опустившись с верхней части поверхности Е(К) на Р(г), можно доказать, что Е~ — график с ограниченным тангенсом угла наклона над Р(0) и Е,* > Е, .
По построению это свойство будет выполняться и для ббльших значений К. Таким образом, М,* > М, . Поскольку это верно для любого 1, мы получаем Ме > Мо Далее, проделав те же рассуждения снизу, т.е. начиная со значения — г и поднимаясь вверх по горизонтальным плоскостям, получим, что Мо < Ме+. Следовательно, поверхность М инвариантна при отражении относительно Р(0). Теперь проделаем описанные выше действия более точно. Прежде всего докажем, что Вз+ является графикозз, с ограниченным тангенсом угла наклона и В; > В, . Очевидно, что достаточно провести доказательство для Вз (для Вз все рассуждения аналогичны). Поскольку из(х) = а1п)х(+Ь+ О()х! ), 458 Гарольд Розенберг мы имеем '— "' = — '*', +0([*Г ) дх [х[' Отсюда следует, что при х1 > 1 и достаточно больших [х[ (в зависимости от г) должно выполняться неравенство ~чз > О.
Нормальный в*1 вектор ц к Вз в плоскости хз = К имеет вид г1 = — + 0([х[ '), — + 0([х[ '), О ~, [х[э [х[э Первая координата этого вектора отлична от нуля для больших [х[ и х1 > с; следовательно, В+ — график с ограниченным тангенсом угла наклона. На Вз выполняется равенство из — — К; следовательно, 1и [х[+ 0([х[ ~) = -(К вЂ” Ь) 1 а и потому [х[е~О*~ 1 = В, где  — большое число. Поскольку езйь~ 1 = 1+ 0([х[ з), отсюда следует, что [х[ = В+ 0([х[ '), и, таким образом, для больших [х[ множество Вз близко к окружности.
Обозначим через С окружность радиуса В в плоскости хз — — К с центром в начале координат. Очевидно, что г11зс(С;, С,~з) > е(Ф), где е(г) > О, причем е(г) зависит только от й Следовательно, если К достаточно велико, то Взх > Вз,~ . Поскольку Вз,~ является графиком нвд Р(О), отсюда следует, что Взх > Вз,. Чтобы завершить доказательство теоремы Р. Шеен, осталось убедиться в том, что Е,* > Е,, где Е = Е(К) — компактное подмногообразие поверхности М, ограниченное В. Пусть Т вЂ” максимальное значение х1 на Е; оно достигается на В, поскольку функция х~ гармоническая.
Пусть Х = (з б [Ф, Т[ [ Е+ — график с локально ограниченным тангенсом угла наклона нвд Р(з) и Е; > Е, ). Мы докажем теорему, показав, что 1 является непустым открытым и замкнутым подмножеством отрезка [Ф, Т], откуда следует, что 1 б,У. Пусть р б  — точка, в которой хз — — Т. Тогда Т б в'; и, следовательно, множество 1 непусто. Поскольку компактная минимальная поверхность лежит в выпуклой оболочке своей границы (это О ДОСТИЖЕНИЯХ ТЕОРИИ СОБСТВЕННЫХ ВЛОЖЕНИЙ 459 следует из принципа максимума, если применить его к координатным функциям), Е представляет собой «плиту» между плоскостями хв = К и хз — — — К. В соответствии с принципом максимума на границе поверхность Е не может касаться плоскостей ~хз~ = К; следовательно, она трансверсальна этим плоскостям вдоль В.
Таким образом, для значений з, близких к Т, з < Т, Е+ является графиком над Р(з) с локально ограниченным тангенсом угла наклона. Заметим также, что если з Е 1 и з < в1 < Т, то з1 Е,7. Сначала докажем, что множество,У замкнуто. Предположим, что (з, Т) с 1. Если Е+ не является графиком, то существуют такое число з», з < з» < Т, и такая точка х Е Р(0), что точки (х, з) и (х,в1) лежат на одной вертикали. Выберем з» таким образом, чтобы на вертикали, соединяющей точки (х,з) и (х, в1), не было других точек поверхности Е. Мы знаем, что (х,з) является внутренней точкой поверхности Е,поскольку В~ является графиком и Е касается плоскОсгей (хз~ = К тОлькО вдоль В.
В окрестности точки (х, з1) поверхность Е является графиком и не вертикальна. Таким образом, вертикальные прямые, опущенные из этой окрестности, заполняют некоторую окрестность точки (х, з). Отсюда следует, что Е лежит ниже Р(з) в окрестности точки (х, з), так как в противном случае существовала бы такая точка (х,в), расположенная на Е вблизи от (х,з), что з > в. Но тогда на вертикали над точкой (х, з) находилась бы еще одна точка поверхности Е и, следовательно, Е-,+ не была бы графиком. Очевидно, что если бы в точке (х, з) поверхность Е была расположена ниже, чем Р(в), то по принципу максимума Е = Р(з). Полученное противоречие доказывает замкнутость множества .1.
Теперь докажем, что множество,У открыто. Возьмем (х, з) Е Е и будем считать,что [в, Т| С 1. Пусть В С Е вЂ” диск, содержащий точку (х, з). Заметим, что поверхность Е не вертикальна в точке (х,в). Действительно, предположим, что она вертикальна, и рассмотрим диски ь»; и Ю, . Диск Ю,* локально в окрестности точки (х,в) лежит с одной стороны от Р,, а следовательно, в соответствии с принципом максимума на границе В; = В, и Р(в) является плоскостью симметрии для Е.
Но это невозможно, поскольку множество В не симметрично относительно Р(в). Таким образом, поверхность Е является графиком в окрестности У плоскости Р(в) и не вертикальна в этой окрестности. Осталось показать, что Е*, > Е,, если т достаточно близко к в. По- 460 Гарольд Розенберг скольку Е П У является графиком, мы имеем Е*, 1 1г > Е,, где $'— окрестность плоскости Р(э), Ъ" С У, и т близко к г. Также отметим, что поверхность Е«'1Ъ' является компактной и ее образ при отражении относительно Р(г) не пересекается с Е,; следовательно, в силу непрерывности для значений г, близких к г, мы имеем Е; '1 У > Е, . Это означает, что Е; > Е, для значений г, близких к г.
Последнее рассуждение с использованием принципа отражения Александрова позволяет доказать даже более сильное утверждение: при определенных обстоятельствах минимальная поверхность «наследует» симметрии своей границы. Более точно, Р. Шен доказал следующую теорему. Теорема 3.6. Пусть й С Рьн — компактная обяасгпь, граница которой выпукла в среднем, и иусгпь В" ' С Рь"+« — компактное вложенное многообразие (не обязательно связное), удовлетворяющее следующим усяовилм: В с (дй) х В., Вૠ— график с локально ограниченным тангенсом угла наклона над Р(0) = Рьн х (О) и Ва > Во . Если М вЂ” »лакая вложенная минимальнал гиперповерхность, чгпо дМ = В и все внугпренние »почки этой гипериоверхносп1и лежат в й х Н., то Ма+ является графиком над Р(0) с локально ограниченным тангенсом угла наклона и Ма > Мо .
Р. Шен доказал эту теорему, используя лишь тот факт, что поверхность М погруженная, но, чтобы получить это обобщение, необходимо провести более сложные рассуждения, чем проделали мы. Предположение о том, что внутренние точки поверхности М лежат в й х В., несущественно, поскольку если внутренняя точка р этой гиперповерхности содержится в (дй) х К, то по принципу максимума связная компонента точки р в М полностью содержится в (дй) х К, так что такие компоненты можно не принимать во внимание. Нетрудно построить примеры границ В, симметрии которых не продолжаются до симметрий минимальной поверхности М с дМ = В.
Например, можно рассмотреть два экземпляра «штангообразных» кривых в параллельных плоскостях (рис. 13). (Асимметричную) минимальную поверхность М можно получить, применив принцип моста к катеноиду, ограниченному двумя окружностями, справа и к двум дискам, ограниченным двумя окружностями, слева. Приступим теперь к доказательству теоремы Лопеса — Роса: плоскость и катеноид — единственные собственно вложенные минимальные поверхности конечной полной кривизны и рода нуль.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
