Труды семинара Бурбаки за 1992 г (947406), страница 85
Текст из файла (страница 85)
Поскольку поток зависит только от класса гомологий кривой Сл, мы получаем Р!Нх(СН) = (0,0,2яа). В частности, вектор Р1пх зависит только от скорости логарифмического роста конца и параллелен предельному нормальному вектору. Теперь мы можем доказать теорему 3.4. Допустим, что Мг и Мз — вложенные непересекающиеся минимальные поверхности конечной полной кривизны, имеющие компактные границы и такие, что 01вс(Мы Мз) = О, и покажем, что это предположение приведет к противоречию. Поскольку конечность полной кривизны поверхностей Мг и Мз влечет за собой конечность топологического типа, каждая из зтих поверхностей имеет коНечное число концов и каждый конец топо- логически представляет собой кольцо.
Так как сйвс(МыМз) = 0 и поверхности Мм Мз имеют компактные границы, должны существовать такой конец Е~ поверхности Мз и такой конец Ез поверхности Мз, что г(1вс(ЕыЕз) = О. После повоРота в Кз мы можем допустить, что Ег и Ез асимптотичны одному и тому же горизонтальному катеноидному концу со скоростью роста а (а если а = О, то горизонтальной плоскости). Поскольку Ег П Ез = И, мы можем допустить, что Ег лежит выше, чем Ез (можно считать Ег и Ез графиками). Незначитель- о досгнжпимях глории совсгвпниых вложпиий 453 но сдвинув Е~ вертикально вниз, можно получить такое множество Е„'что дЕ, 'по-прежнему лежит над Ез, но вне большого шара Е,' лежит ниже, чем Еэ.
Следовательно, Е', ПЕз представляет собой компактное непустое одномерное аналитическое подмножество как множества Е'„так и множества Ев. Теперь покажем, что Е', й Еэ есть простая замкнутая кривая у, гомотопически нетривиальная на Е, 'и Ез, и что Е,' трансверсально Е2 вдоль у. Поскольку Е, 'представляет собой график, образ множества Е, 'й Е2 при проекции лч К~ -э К~ есть компактное не- пустое одномерное аналитическое многообразие в К". Пусть Р— такой диск в Кз, что Е', является графиком над Кз '1 Р. Если предположить, что х(Е, 'й Ез) не является связной гомотопически нетривиальной простой замкнутой кривой в К' 1Р, то множество Кз ~к(Е,'ПЕэ) содержит компактную компоненту, не пересекающуюся с Р. Но это невозможно, поскольку поднятия этой компоненты на Еэ и Е, 'соответствуют различным решениям уравнения минимальной поверхности для одних и тех же граничных условий (что противоречит обычному принципу максимума).
Следовательно, Е,' пересекает Еэ трансверсвльно по единственной кривой у, которая гомотопически нетривиальна на Е', и Ез. Пусть Е~ и Ез — концы поверхностей Е', и Ев с границей ~. Поверхности Е, и Еэ представляют собой различные решения уравнения минимальной поверхности (они являются графиками) в неограниченной области Ь пространства Кз с границей х(у) для одних и тех же граничных значений на х( у). Поскольку Е~ и Еэ асимптотичны сдвигам фиксированного вертикального катеноцда, они обладают одинаковой скоростью логарифмического роста. Пусть Х~ и Хз — градиенты третьей координатной функции поверхностей Ег и Ез соответственно.
Если обозначить через иы из конормальные (направленные вверх) векторы к Ег и Е2 вдоль 7, то Р)пх(Е~) = 0,0, Х~ и~~ = 0,0, Хэ иэ ~у 7 Однако вдоль кривой у поверхность Е~ лежит ниже, чем Еэ, следовательно, Х~ и~ ( Хз .ит в каждой точке этой кривой, что противоречит условию ( Х~ .и = ) Хз .из. Основной результат теории минимальных поверхностей в формула монотонности. Ее доказательство можно найти в [С.-Т.). 454 Гарольд Розенберг Теорема 3.5 (формула монотонности). Пусть М вЂ” минимальная поверхность, собственно погруженная в 1ьг, х к М, .0я(х) — евклидов шар в гьг радиуса В с центром е точке х, й — число листов поверхности М, проходящих через х, и Е(В) = М й Пя(х). Тогда р — монотонно возрастающая функцил аргумента В, стремящаяся к единице при  — > О. (Здесь ~Е(В)~ обозначает площадь поверхности Е(В)).
Площадь казесдого листа поверхности Е(В), проходящего через х, возрастает не медленнее, чем кВг— площадь плоского диска радиуса В с центром е х. Следствие. Пусть М вЂ” полная поверхность конечной полной кривизны в гьг, имеющая в точности два вложенных конца. Тогда иоверхносп1ь М вложенная. Доказательство следствия. Каждый конец Е поверхности М можно представить в виде графика функции и иад 1ъг\ (компактный диск). Несложные вычисления показывают, что площадъ конца Е имеет евклидову скорость роста, т.
е. —;яе- -+ 1 при В -+ со. в~ ~РА Поскольку М имеет в точности два конца, каждый из которых вложенный, мы заключаем, что 1(В) = гнг — > 1 при В -э со. ~манн! Если М имеет точку самопересечения, из™формулы монотонности следует, что у(В) = 1 для всех В; поэтому М представляет собой объединение двух плоскостей. Доказательство теоремы 3.1.
Пусть Е1 и Ег — концы поверхности М, и пусть у1 и уг — гладкие жордановы кривые на Е1 и Ег соответственно, каждая из которых гомотопически нетривиальна на своем конце, а Š— компактное подмногообрвзие многообразия М, ограввченное кривой ~1 0 гг. Поскольку кривые зч и уг гомологичны в Е, их потоки равны. Следовательно, если поток кривой 11 отличен от нуля, то предельные нормальные векторы к Е1 и Ег параллельны, и если обозначить через а1 и аг скорости логарифмического роста концов Е1 и Ег соответственно, то аг = — аг.
Из формулы потоков также следует, что если а1 = О, то н аг —— О. Таким образом, оба конца одновременно являются либо концами катеноидного типа, либо концами плоскостного типа. Кроме того, так как поверхность М вложенная, концы всегда параллельны, т. е. их предельные нормальные векторы параллельны. Осуществив поворот поверхности М, мы можем считать, что концы горизонтальны. О ДОСТИЖЕНИЯХ ТЕОРИИ СОБСТВЕННЫХ ВЛОЖЕНИЙ 455 Сначала заметим, что ни один из концов поверхности М не является плоскостным.
Действительно, если предположить, что конец Е1 плоскостной, то мы можем найти горизонтальную плоскость Р, не пересекающуюся с М. Осуществляя параллельный перенос Р по направлению к М, мы получим первую точку пересечения с этой горизонтальной плоскостью (это будет конечная точка поверхности М или бесконечность), что противоречит принципу максимума на бесконечности или обычному принципу максимума. Итак, мы можем предположить, что Е1 — конец катеноидного типа (расположенный над Ез) со скоростью роста а1 ф О, а1 = — аз. Теперь докажем, что существует горизонтальная плоскость Р, которая является плоскостью симметрии поверхности М.
Тогда можно будет сделать вывод, что катеноиды, которым асимптотичны Ез и Ез, имеют общую вертикальную ось. Плоскость Р можно найти, применяя метод отражения Александрова и принцип максимума на бесконечности. Пусть Р(з) — горизонтальная плоскость хз = С Для каждого З обозначим через М~з множество точек поверхности М, лежащих на плоскости Р(з) и над ней, а через М, — множество точек поверхности М, лежащих на плоскости Р(з) и под ней. Пусть поверхность М; симметрична Мз+ относительно Р(г): М; = ((х,21 — хз) ~ (хмхз) Е М~~). Поверхность о' имеет локально ограниченный тангенс угла наклона, если касательные плоскости во всех внутренних точках этой поверхности не содержат вертикальных прямых.
Пусть р: К~ -+ К~— проекция на горизонталь. Мы будем говорить, что подмножество А лежит выше подмножества В (А > В), если для любого такого х Е Кз, что р '(х) й А ~ И и р '(х) й В ф Э, каждая точка множества р '(х) й А лежит над всеми точками множества р '(х) й В. Для больших з множество М, является графиком с локально ограниченным тангенсом угла наклона над плоскостью Р(г) (точнее, нэд ее частью). Если з достаточно велико, то М~+ представляет собой часть Еы Следовательно, М,* — конец катеноидного типа со скоростью роста — аз (скорость роста такая же, как и у Ез). Таким образом, для достаточно больших з поверхность М; лежит надМ, .
Теперь перейдем к случаю, когда 1 убывает и стремится, скажем, к з, и рассмотрим поверхность М;. Мы утверждаем, что если для любого г, з < т < г, поверхность М не является вертикальной 45б Гарольд Розенберг вдоль Р(г), то М; лежит выше, чем М, . Действительно, в противном случае при некотором г существовала бы первая внутренняя точка пересечения М' и М и в соответствии с обычным принципом максимума мы получили бы, что поверхность М; = М, о М вертикальна вдоль Р(т) П М.
Здесь мы использовали принцип максимума на бесконечности, чтобы убедиться, что конец поверхности М; находится на строго положительном расстоянии от Ег. Поскольку невозможно, чтобы для всех з поверхность М," лежала выше, чем М,, существует наибольшее такое т, что поверхность М вертикальна в некоторой точке р б М Гг Р(т). Поверхность М; лежит выше, чем М,; следовательно, М; и М, имеют общую границу. Они касаются в точке р и локально одна находится по одну сторону от другой. Таким образом, в соответствии с принципом максимума на границе М; = М,, и поверхность М инвариантна при отражении относительно Р(т).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
