Труды семинара Бурбаки за 1992 г (947406), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Из уравнения (24) можнр вывести существование плотности состояний, ее ограниченность, описать носитель плотности, его асимптотическое поведение вблизи граничных точек носителя и т.д. Заслуживает внимания то, что приведенные выше результаты для ансамбля (22) можно рассматривать как частный случай более общего результата (см. [6)). Рассмотрим следующий ансамбль и х и- матриц: РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ СЛУЧАЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ 423 Здесь Ь„-+ оо при п -» оо и ф(Ф) = ф( — г) Е К вЂ” кусочно непрерыв- ная ограниченная функция с компактным носителем, такая, что фэ(г.)«(г. = 1 (28) В частности, если ф(1) = 1 и 2Ь„+ 1 = и, то мы получаем (17), а если ф(1) — характеристическая функция интервала ( — 1,1), то условия (27), (28) задают так называемые «ленточные» матрицы, т.е.
матрицы, в которых ненулевые н.о.р. элементы расположены в полосе шириной 26„+ 1 вокруг главной диагонали матрицы дФ~,В ИПС для таких матричных ансамблей была найдена недавно несколькими коллективами авторов [8 — 10]. Наиболее общий результат доказан в [10]. Согласно ему, если 1пп„, Ь„п ' равен 0 или 1/2, то ИПС для матриц (27) дается полукруговым законом (20), (21). Если, однако, 0 < !пп„ » 6„п ' < 1/2, то предельное распределение собственных значений существует, но не совпадает с по. лукруговым законом., Его преобразование Стильтьеса можно найти как единственное решение некоторого нелинейного интегрального уравнения.
Ситуацию можно «подправить» в том смысле, что предельное распределение можно все-таки сделать полукруговым законом, подобрав подходяшую периодическую функцию ф(») в (27). Доказательство этих результатов основывается на одном новом подходе. Он состоит в построении бесконечной системы линейных уравнений для моментов диагональных элементов матрицы резольвенты (Ъ'<" »> — х) ' и асимптотического решения этой системы относительно 6„при и -+ со. Этот метод оказывается довольно эффективным и общим и позволяет изучить широкий класс смежных задач (см. обзор [11]).
Можно, в частности, доказать, что деформированный полукруговой закон (24) выполняется для произвольной, не обязательно диагональной, «невозмущенной» матрицы 6~") = (6,,),"1«п в (22), для которой существует ИПС, т.е. если Лы..., и„— собственные числа матрицы 6<">, то нам нужно предполагать лишь существование предела (5). В следующем разделе мы рассмотрим другие задачи, к решению которых применим тот же подход. Выше обсуждались матричные ансамбли, которые, наряду с гауссовым ансамблем (19), обладают свойством статистической независимости всех функционально независимых элементов. У всех 424 Леонид Пастур (29) 2„1 ехр(-пТгУ(М))11М, где У(1) — вещественнозначная функция, растущая на бесконечности быстрее, чем а1оя]г] для всех а > О.
Гауссов ансамбль (19), очевидно, соответствует случаю У(1) = гг/4аг. Многочлены четной степени р > 2 появляются в квантовой теории поля, статистической механике случайных поверхностей, комбинаторике и т.д. (см. [7] и приведенную там библиографию). ИПС для таких ансамблей отличается от полукругового закона. Ее носитель состоит, вообще говоря, из р/2 интервалов, причем в концах этих интервалов плотность состояний ведет себя как корень квадратный из малого параметра.
Однако, меняя функцию У(г) (т. е. коэффициенты многочлена У(1)), можно добиться того, чтобы число интервалов стало меньшим, а поведение плотности р(Л) на концах интервалов стало другим. Например, для Щ) = Щ, а > 1, р(Л) = аа(ЛВа )Ва (30) где 2а ~ ]' та '(тг — 1г) 1~гг(т, ]1] ( 1, я[0, ]г] >1, 1 ,, 1/а Ва = 2ох-1 ] Га(1-Гг)-1/гй) уо (31) Существует красивый подход, который позволяет изучить ансамбли (29). Он основан на выражении математического ожидания унитарно-инвариантной функции на случайных матрицах из ! ансамбля (29) через вещественные многочлены, ортогональные с весом ехр( — пУ(Л)) [4, 7].
С помощью этого подхода физики обнаружили много интересных свойств распределения собственных значений ансамбля (29). Строгих доказательств, однако, немного. Одна из причин отсутствия строгих результатов состоит в том, что они должны основываться на точных асимптотических формулах для соответствующих ортогональных многочленов. Лучший из недавних результатов [13] справедлив лишь для случая У(г) = ]1[ .
этих ансамблей одинаковая ИПС, описываемая полукруговым зако- ном (21). Имеется еще одно обобщение плотности (19), задаваемое вероятностным распределением вида РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ СЛУЧАЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ 425 Соответствующие асимптотические формулы позволяют строго вывести вид (30), (31) плцтности состояний для ансамбля (29) с той же функцией И(1) [14]. Эти формулы, однако, не настолько точны, чтобы с их помощью можно было вычислить другие важные характеристики случайных матриц. Кроме того, нет почти никаких строгих результатов для немономиэльных Ъ'(1), особенно в невыпуклом случае, например для И(Ф) = аг~ + Ьг" при а < О, Ь ) О. Соответствующая достаточно точная асимптотическая формула для ортогональных многочленов, которая была бы аналогична с многих точек зрения квазиклассическим формулам квантовой механики, принесла бы существенную пользу в спектральной теории'>.
Прогресс в изучении моделей двумерной гравитации и теории струн [12] вызвал новую волну активности в этой области в последние три года. Переведенные на язык случайных матриц, полученные там результаты описывают поведение средней допредельной плотности состояний р„(Л) = Е(п ' 2,"б(Л вЂ” Л,)) ансамбля (29) со специальными многочленами к'(Л) при п -е со и Л, одновременно стремящемся к граничной точке носителя предельной плотности состояний р(Л) = йш„ь р„(Л).
Эти достижения выявили много красивых связей теории случайных матриц с теорией интегрируемых систем, спектральной теорией матриц Якоби, теорией артогональных многочленов, а также поставили много задач, представляющих большой интерес как для математиков, так и для специалистов по математической физике. 4. «ИНТЕРПОЛИРУЮЩИЕ» СЕМЕЙСТВА СЛУЧАЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ Происхождейие двух классов случайных операторов, рассмотренных в предыдущих разделах, совершенно различно, и их изучение велось независимо и различными методами.
Естественно поэтому попробовать найти связи между изучаемыми классами. В настоящем разделе мы рассмотрим три семейства случайных операторов, относящиеся к первому классу. Эти семейства зависят, однако, от некоторых параметров (мы называем их радиусом взаимодействия, размерностью пространства и числом компонент соответственно) таким образом, что пределы ИПС соответствующих случайных операторов для бесконечных значений этих параметров 1См. примечания к русскому иаданню в конце статьи. — Прим. к русск. нвд. 426 Леонид Пастур совпадают с возмущенным полукруговым законом, который, в свою очередь, типичен для операторов второго класса. Первое семейство состоит из операторов Н1~1 = Ь + И1Я1, действукяцих на 1а(Е ) и определенных с помощью матриц Н1~1(х, у) = Ь(х — р) + я а1еф((х — у)Н ')Ит(х, р), х, у 6 Е~, (32) где Ь( — х) = Ь(х), Ь(х) 6 1'(Е~), Н < оо, а ф(т), 1 6 К',— кусочно непрерывная функция с компактным носителем и Ит(х,у) = Ит(у,х) — независимые (не считая условия симметричности Ит(х,у) = Ит(у, х)) и одинаково распределенные случайные величины, такие, что (ср.
(18)) Е(И(х, р)] = О, Е(И(х,у)И(а, 1)] = и'(б„бас+ б,тб„,). (33) Матрица (32) определяет б-мерный конечно-разностный оператор. В частности, если Ь(х) = О, ]х] ф 1, Н = 1 и ф(1) = 0 для ]1] > 1, то это оператор второго порядка. Он отличается, однако, от дискретного оператора Шредингера (6) тем, что содержит случайные внедиагональные элементы. В терминологии книги (3] случайный операторН1~>, задаваемый равенством (32), метрически транзитивен. В частности, он допускает неслучайную ИПС у<Я1(А), заданную равенствами (3) и (4), где Н~1 1 представляет собой ограничение оператора Н1нт на конечный 1Я1 параллелепипед Л С Е". Недавно нам удалось доказать [15], что существует предел 1ппя „тт'1Я1(Л) и что его преобразование Стильтьеса удовлетворяет уравнению (24), в котором функция го(х) является тем же преобразованием ИПС для оператора Теплица Ь(х — у) н ее можно выразить через символ этого оператора (1,3]. Таким образом, 1ппя, Ьт1Я1(Л) совпадает с возмущенным полукруговым законом.
В частности, если неслучайная часть в (32) отсутствует (т.е. Ь(х) = 0), то этот предел совпадает с полукруговым законом (20), (21). Второе семейство случайных операторов Н1~1 также действует на Р(Е~) и задается случайной матрицей Н1"1(х, р) = Ь|(х — р) + сГ~т~б(]х — р] — 1)И'(х,у), (34) где Ьи(х) = с1 'т ~ ~Ьт(х; — у,) Пб(ха — уь), (36) РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ СЛУЧАЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ 427 а1(х) Е 1«(2) и случайные величины И'(х, у) такие же, как в (33). Этот оператор также принадлежит классу метрически транзитивных операторов, в частности, он допускает ИПС Нбй(Л). Устремляя «( к бесконечности, мы вновь получаем предельное распределение собственных значений, совпадающее с деформированным полукруговым законом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
