Труды семинара Бурбаки за 1992 г (947406), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Следствием из наших работ является тот факт, что такие поверхности имеют конечный конформный тип. Мы также обсуждаем исследования Микса и автора по периодическим минимальным поверхностям. Здесь главным результатом является тот факт, что конечность топологии факторповерхности влечет за собой конечность полной кривизны этой факторповерхности. В этом случае (фактор)поверхность параметризуется мероморфными данными на компактной римановой поверхности (представление типа Вейерштрасса).
Эти теоремы доставляют нам топологические и геометрические препятствия к существованию таких поверхностей. Например, число концов таких поверхностей всегда не меньше двух (исключая плоскость). Если поверхность является двоякопериодической и ориентируемой (при факторизации), то число ее концов не меньше четырех. Это топологические препятствия; геометрические мы обсудим в равд. ЧП. Например, если все концы поверхности не параллельны (как у двоякопериодической поверхности Шерка), то группа С соизмерима. Это означает, что существуют два независимых элемента С одинаковой длины. Мы докажем, что плоскость и геликоид — единственные одно- связные т-поверхности в Нз, обладающие бесконечной группой симметрии. Кроме того, мы обсудим суммы минимальньгх поверхностей и некоторые приложения.
434 Гарольд Розенберг Топологические препятствия к реализации полной ориентируемой некомпактной поверхности в виде па-поверхности в На неизвестны. Наконец, мы обсудим некоторые проблемы, гипотезы и близкие результаты. Я решил не обсуждать конструкции замечательных примеров Косты, Кархера, Хоффмана и Микса. Их влияние на рассматриваемую теорию было огромным, и, как сказал Г. Кархер: «Что за волшебная картина конформного отображения».
Я хотел бы поблагодарить' Дэвида Хоффмана и Германа Кархера за их работы и их вдохновляющее воздействие. Некоторые из,компьютерных графиков были сделаны в Лаборатории графики, геометрии и анализа университета Массачусетса Джимом Хоффманом, Эдом Тайером и Фушенгом Веем. Другие компьютерные графики построили Герман Кархер и Конрад Полтьер, работающие с БРВ256 в Бонне. Я благодарен им всем. Большую помощь при подготовке этой рукописи оказали Герман Кархер и Катрин Вендланд. Я благодарю их обоих. Статья организована следующим образом 1. Как построены классические примеры. 2. Представление Вейерштрасса и геометрия концов минимальных поверхностей в 1ьа конечной полной кривизны.
2.1. Параметризация Оссермана поверхностей конечной полной кривизны. 2.2. Геометрия концов конечной полной кривизны.' 3. Характеризации катеноцда в работах Р. Шепа и Лопеса †Ро. 3.1. Теорема Шепа. 3.2. Теорема Лопеса —.Роса. 3.3 и 3.4. Принцип максимума на бесконечности. 3.5. Формула монотонности. 4. Оценки кривизны для устойчивых минимальных поверхностей. 4.1. Критерий устойчивости Барбосы — До Кармо. 4.2. Идея доказательства теоремы Гейнца. 5. Компактность семейств наименьшей площади и построение дополнительных поверхностей конечной полной кривизны. 6. Теорема о кольцевых концах и сильная теорема о полупространстве Хоффмана — Мнкса. 6.1. Теорема о кольцевых концах.
О ДОСТИЖЕНИЯХ ТЕОРИИ СОБСТВЕННЫХ ВЛОЖЕНИЙ 435 6.2, 6.3, 6.4 и 6.5. Теорема о конечности конформного типа н ее следствия. 6.6. Сильная теорема о полупространстве. 7. Двоякопернодические минимальные поверхности. 7.1, 7.2 и 7.3. Теорема о конечной полной кривизне для двояко- периодических минимальных поверхностей. 7.4. Формула полной кривизны. 7.5, 7.6 и 7.7. Глобальные топологические и геометрические свойства. 7.8, 7.9, 7.10 и 7.11. Сумма минимальных поверхностей и приложения. 8. Однопериодические минимальные поверхности. 8.1. Теорема о конечной полной-кривизне для однопериодиче.
сках минимальных поверхностей. 8.2, 8.3, 8.4. Обобщенное представление Вейерштрасса. 8.5. Геометрия концов конечной полной кривизны. 8.6. Число вращения конца. 8.7 — 8.12. Приложения теоремы о конечной полной кривизне. 9. Некоторые задачи, гипотезы и смежные вопросы. 1. КАК ПОСТРОЕНЫ КЛАССИЧЕСКИЕ ПРИМЕРЫ Пусть à — ломаная жорданова кривая в Гьз и Ме — компактная минимальная поверхность с границей дМе —— Г. Принцип отражения Шварца [Овв.-11 позволяет нам продолжить Мо через каждое ребро ломаной Г, поворачивая поверхность Ме вокруг каждого, ребра на я. Выполнив отражение относительно каждого ребра, ограничивающего поверхность, мы,получим минимальную поверхность М, которая, вообще говоря, будет иметь особенности н самопересечения, т.е.
полученная поверхность М будет погруженной. Если угол, под которым сходятся два ребоа ломанной Г, иррацнонален, то поверхность М будет бесконечное число раз поворачиваться вокруг этой вершины ломанной. Поэтому если мы хотим получить пример вложенной поверхности, то контур Г следует выбирать так, чтобы углы при вершинах имели вид 2я/и. Поверхность Ме при этом должна быть вложенной. Например, с помощью многоугольников, изображенных на рис. 3 и 4, можно построить примеры собственно вложенных поверхностей, которые инвариантны относительно трех независимых сдвигов (троякопериодические поверхности). 436 Гарольд Розенберг Рис. 3. Риман, Шварц и Вейерштрасс нашли минимальные поверхности Мо с условием дМо — — Г, явно задавая конформные отображения (в соответствии с теорией Римана) и представления Вейерштрасса (это хорошо изложено в книге Дарбу [ВахЬ.]).
Сегодня мы находим Мо с помощью другой техники. Дуглас и Радо доказали, что любая спрямляемая жорданова кривая Г в Вн ограничивает некоторый диск Мо наименьшей площади [Вопя., Вас(о-1,2]. Впоследствии Р. Оссерман доказал, что Мо не имеет геометрических точек ветвления (т.е. диск наименьшей площади, ограниченный кривой Г, является погруженным [Озз.-1]). Наконец, Райфенберг при помощи геометрической теории меры доказал, что всегда существует такая вложенная минимальная поверхность Мо, что дМо = Г [ВеЫ.]. Итак, если контур Г и поверхность Мо выбраны подходящим образом, то полная поверхность М, полученная отражением Мо относительно каждого ограничивающего Мо ребра, будет вложенной троякопериодической поверхностью. Ее фактор по группе С, порожденной тремя независимыми сдвигами, будет компактной минимальной поверхностью конечного рода, вложенной в плоский тор В.з/О.
Геометрия и топология этой поверхности были изучены Миксом [М.-З] и Кархером [К.-З, К.-4]. Большинство других известных примеров поверхностей бесконечной полной кривизны (однопериодические и двоякопериоди- О ДОСТИЖЕНИЯХ ТЕОРИИ СОБСТВЕННЫХ ВЛОЖЕНИЙ 437 Рис. 4. и помощи некомпактного многоческие'поверхности) строятся при п щи о- Г и полной вложенной минимальной поверхности е с угольника и пол ажения поверхг алицей Г.
Снова произведя все возможные отраж еб Г [и их образов), построим полную ности Ме относительно р ер и их М. Далее возникает вопрос: как найти ,минимальную поверхность поверхность Мо, если контур Г бесконечен? Существует о щая тео- Д вЂ” Серрина [З.-о.) и сопряженная конструкция Плато [ .- [), но я п [К.-1[), редпочитаю вместо обсуждения это те рии описать, как можно неп осредственно получить несколько примеров Сначала построим первую поверхность Ш р, р Ше ка, ешвя задачу Плато и переходя к пределу.
Рассмотр им многоугольник Г(п), изоис. 5 в. Для каждого целою числа и выберем Г(п) я на кв ат в гори( н . 5 а) таким образом,что Г[п) проектируется на квадрат вг зонтальной плоскости, причем верхние ребра дя нахо тся на высоте п, а нижние — на высоте — и. О ДОСТИЖЕНИЯХ ТЕОРИИ СОБСТВЕННЫХ ВЛОЖЕНИЙ 439 Обозначим через Е(п) диск наименьшей площади с границей Г(п). Несложно доказать, что Е(п) является графиком над квадратом в горизонтальной плоскости, в который проектируется Г(п). (Радо доказал более общее утверждение [М.-2]: если жорданова кривая Г проектируется на выпуклую плоскую кривую С, то любая минимальная поверхность, ограниченная кривой Г, является графиком над плоской областью, ограниченной кривой С.) Поверхность Е(п) обладает теми же симметриями, что и Г(п); поэтому существует точка р„Е Е(п) на высоте О, в которой касательная плоскость к Е(п) горизонтальна.
Мы видим, что при и -+ со все поверхности Е(п) проходят через ту же точку р„= р. Поэтому функции, задающие графики Е(п), сходятся к функции у, определенной на внутренности квадрата и принимающей значения +со на двух противоположных сторонах квадрата и — со на двух других. График функции у — минимальная поверхность, границей которой являются четыре вертикальные прямые, проходящие через вершины квадрата (рис. 5,5). Применим принцип отражения Шварца, отражая график функции у относительно'этих четырех вертикальных прямых и всех новых прямых, которые будут получаться.
В результате мы по-( лучим минимальную поверхность М, называемую поверхностью Шерка. Поверхность М проектируется на бесконечное,множество квадратов в горизонтальной плоскости, которые расположены как черные (или белые) квадраты бесконечной шахматной доски (см. рис.
5,с). Образуя факторы этой поверхности по независимым параллельным переносам, мы получаем собственно вложенные поверхности конечной топодцгии (и конечной полной кривизны) в плоском многообразии Т~ х В., где Т~ — плоский 2-тор. Простейший вариант этой конструкции приводит к проективной плоскости с двумя выколотыми точками. Опишем некоторые примеры. Пусть Р— квадрат, на который проектируется Г(п), а щ и вз— векторы, задающие стороны этого квадрата.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
