Труды семинара Бурбаки за 1992 г (947406), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Дифференцируемые н аналитические много- образия. Сводка результатов. — Мс Мир, 1975, Я 8-15.] %о!!Ьпет %. 1)п вЬбогеше зпг !'ехйсепсе йи шоичешепФ р!ап й'ип йигйе рат(МЦ Ьошобепе, !псошртезз!Ые, репйап! ип Сетера !пбп!шеп! !опб, МатЬ. 2., 3Т (1933), 698-726. Юдович В. И. Нестационарные течения идеапьной несжимаемой жидкости. — Журнал вычисл. матем. и матем. физ., т. 3, 1963, № 6, с.1032 †10. ЕаЬив1су Ы., НибЬев М., КоЬегсз К.
Соп!оит йупашгсз !от сЬе Еи!ет ециас!опв !и Стчо й!шепа!опв, Л. Солярии РЬуз., 30 (1979), 96-106. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ СЛУЧАЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ И МАТРИЦ Леонид Пастур') 1. ВВЕДЕН И Е Изучение распределения собственных значений для различных классов самосопряженных операторов составляет один из старейших и наиболее популярных разделов спектральной теории. Вспомним, например, знаменитую проблему Г. Вейля об асимптотическом поведении при высоких энергиях функции считающей собственные значения Л; в самосопряженной граничной задаче для эллиптического оператора Аа в компактной области Л с Гь~. Согласно Г. Вейлю, в простейшем, но важном случае, когда Аа = — Л, Л~,(Л) =саЛ~Л'!2+о(Л'72), Л- -, (2) где ~Л~ — объем области Л, а се зависит только от размерности пространства. Изучение следующих членов этой и подобных асимптотических формул для разных случаев породило множество красивых и важных результатов и вскрыло чрезвычайно глубокие связи спектральной теории с геометрией, топологией, эргодической теорией, различными аналитическими и асимптотическими методами и т.д.
Напомню, что одной из причин, побудивших Вейля заняться этой задачей, послужила необходимость обоснования вывода Рэлеем и Джинсом формулы для спектрального распределения излучения черного тела и вывода Дебаем формулы для теплоемкости кристалла. Эти задачи, сыгравшие важную роль в развитии квантовой механики, можно коротко сформулировать как задачи построения термодинамики идеального Бозе-газа. Одним из принципиальных понятий современной математической физики является понятие термодинамического предела, введенное для того, чтобы г1рввшг Ьеоппк Е18епеа1пе г1!вгг1Ьп11оп ог гаппогп орегаеогв апг1 гпагнеев.— 84пг1па1ге ВопгЬам, 1991 — 92, и 758, Авгепвяпе, 206 (1992), р.
445-461. 414 Леонид Пастур изучать объемные свойства макроскопических систем. С этой точки зрения довольно естественно рассмотреть последовательность (Ль) компактных областей, заполняющих все В." при (с -+ оо, доказать существование для каясдого Л е В. предела (3) йш Фл, = — Л'(Л) а-кю где Мл(Л) = ]Л] 1Лл(Л), (4) проверить его независимость от выбора последовательности (Лл) расширяющихся множеств при достаточно слабых предположениях об этих последовательностях, а затем изучить неубывающие функции (3) для различных областей значений Л (в частности, при Л -+ оо) и других параметров.
В случае лапласиана и достаточно регулярных последовательностей областей эту задачу можно свести к задаче о высокоэнергетической асимптотике функции Мл(Л) при фиксированном Л. Поэтому Г. Вейль был так заинтересован в доказательстве независимости старшего члена в (2) от вида области и считал этот результат одним из важных своих достижений. Функцию М(Л), известную под названием интегрированной плотности состояний (ИПС), можно ввести и в дискретном случае, т. е.
для последовательности и х и-матриц при и -+ оо. Аналог функции (4) в этом случае имеет вид Лс„(Л) = №(Л, < Л)п-1 Случай, когда матрица представляет собой ограничение на конечное множество Л с Е~ теплицева оператора, изучался Гренандером и Сеге ]1]. В этой статье я собираюсь обсудить три класса случайных дифференциальных и матричных операторов, для которых сформулированная выше задача может быть изучена достаточно полно. К первому классу относятся дифференциальные и конечноразностные операторы со случайными коэффициентами. Во второй класс попадают случайные матрицы с независимыми и одинаково распределенными элементами. Таким образом, главное различие этих двух классов состоит в том, что матрицы первого класса содержат ненулевые элементы только на конечном числе диагоналей вблизи главной диагонали, причем это число не зависит от Л, а в ялспрвдвлвнив знлчвний случайных опвялторов 415 матрицах второго класса все члены имеют, грубо говоря, одинаковый порядок.
Эта разница оказывается весьма существенной и приводит к различной постановке задач, различным формам ответов и к различным подходам к решению. Удивительно поэтому, что существует класс операторов, объединяющий, в некотором смысле, оба предыдущих класса. Это и будет наш третий класс.
2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Ясно, что если мы собираемся доказать существование предела (3), то мы должны наложить некоторые условия на коэффициенты соответствующих операторов. В самом деле, рассмотрим, например, оператор Шредингера На, имеющий на Л вид (б) -ь+ д(х) и действующий на функциях, удовлетворяющих каким-нибудь граничным условиям, скажем условиям Дирихле, на дЛ. Тогда легко видеть, что если д(х) -+ оо при )х( -э оо, то Н(Л) = О, а если д(х) -+ О при (х) -+ оо, то Н(Л) = Не(Л), где функция л7,(Л) = с,Ля~э (7) представляет собой, согласно (2), интегрированную плотность состояний оператора — Ь во всем пространстве.
Таким образом, 'чтобы получить нетривиальный результат (отличный от О и Ас(Л)), необходимо рассматривать ненулевые потенциалы д(х), не растущие и не стремящиеся к нулю на бесконечности. Кроме того, ясно, что поведение д(х) на бесконечности должно быть довольно «регулярным», чтобь1 функция На(Л) не слишком осциллировала при больших Л. Простейший нетривиальный случай — это случай периодического потенциала. Соответствующий оператор Шредингера описывает движение электрона в идеальном твердом теле. Довольно общий класс потенциалов, для которых предел (3) существует, составляют реализации (пробные функции) метрически транзитивных (эргодических) случайных полей в хь~, которые моделируют неупорядоченные твердые тела.
Это означает, что мы рассматриваем не отдельный оператор Нл при фиксированном д(х), а семейство операторов На(ы), отвечающих потенциалам вида п(х, ы) = ч(Т,ы), 416 Леонид Пастур где в в(ав), ьв 6 Й, — измеримая функция на вероятностном пространстве Й, в котором действует группа Т„х 6 1ь~, сохраняющих меру и мегрически транзитнвных автоморфизмов. В дискретном случае, т.е.
для конечно-разностного аналога оператора (6) (9) ~1гнвс + 9(х), х 6 Е простой пример семейства (8) дают независимые одинаково распределенные (н.о.р.) случайные величины. Этот оператор представляет собой дискретную модель движения электрона в полностью неупорядоченных твердых телах: аморфных средах, сплавах замещения и т.д. В начале семидесятых годов нами было доказано существование предела (3) с вероятностью 1 и его неслучайность для оператора Шредингера с потенциалами вида (8), ограниченными снизу. В дальнейшем эта задача изучалась рядом авторов, и полученные результаты близки к оптимальным (см., например, книги (2, 3) и библиографию в них). Например, в случае оператора (9) ИПС существует для всякого метрически транзитивного поля (8) на Е~, которое конечно с вероятностью 1.
Обсудим теперь некоторые, свойства ИПС, ограничиваясь случаем операторов Шредингера (6) и (9) (соответствующие доказательства и ссылки см., например, в книгах 12, 31). (1) Гладкость. В дискретном случае (т. е. для операторов (9)) и в одномерном непрерывном случае (т.е. для операторов (6) при д = 1) ИПС всегда непрерывна. Это можно доказать на основе простых эргодических рассуждений. Более тонкая техника, основанная на понятии показателей Ляпунова, доказывает 1о8-гельдеровость ИПС: !Ф(Лд) — Ю(Ла)/ < сопзЦ 1о8!Лв — ЛаЦ '. Имеются контрпримеры, показывающие, что эта оценка оптимальна на всем классе метрически транзитивных потенциалов. Если, однако, мы рассмотрим дискретный оператор (9) с н.о.р. случайным потенциалом, плотность которого имеет вид Р(с(д) = ~(6)с(в1, зирден ~(6) < 1о < со, то, согласно Вегнеру, М(с(Л) = р(Л)в(Л; впр р(Л) < Д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
