Труды семинара Бурбаки за 1992 г (947406), страница 74
Текст из файла (страница 74)
|-+Тт В завершение доказательства мы находим оценку для [и(г)]| на любом ограниченном интервале времени. Если два первых этапа обобщаются на любую гиперболическую нелинейную систему порядка 1, 390 Патрик Жерар то третий использует частный вид уравнения (Е) и двумерность М; напомним, что аналогичная проблема в размерности 3 остается открытой. 1.1. Существование н единственность на малом интервале времени. Будем рассматривать случай С > 0; случай С < 0 разбирается аналогично. Если и и о — регулярные решения системы (Е) на интервале времени [О, Т] с одинаковыми начальными условиями и давлениями соответственно р и о, то дс (и — и) + 17„(и — о) = -1У(р — о) + 'у„„о.
Приравнивая скалярные произведения в ь'(М,ТМ) обеих частей этого уравнения на и — о и используя равенство йт и = Йо и = О, получаем ~,~ [[и(С) о(С)[[ь = (~7,0)- (Оо(С),и(С) — и(С)). 2 2»СС Поскольку [и(С)]1 < С, -'[!.(С)- (С)[[ь<с[! (С)- (С)[!...
и лемма Гронуолла позволяет заключить, что и = о. Перейдем к локальному существованию. Будем использовать формулировку уравнения (Е) в виде системы (Т),(Н),(В); определим рекуррентно три последовательности (и„), (ы„), (Ь„) следующим обРазом: ио(С, х) = ио(х), юо = госио, Ьо = Н(ио) и длЯ всех и>0 даик+с + Ек ы„».с = О, ы„».1(0) = гойи, о даЬ„+г + Я(и„, Вы„тг + Ь„» а) = О, Ь„».г(0) = Н(и ), ик+1 Бык+1 + Ьк+1.
Заметим, что нервов уравнение является уравнением линейного переноса, второе — система линейных дифференциальных уравнений в конечномерном пространстве 2С гармонических полей; кроме того, Я(Ь„, Ь„тс) = О, поскольку Ь„и Ь„+с гармонические. Из уравнения переноса выводим равенство [ы (С)]о = [тоси ]о для всех С и и и, используя его и второе уравнение, получаем, что Ь„(С) ограничена в конечномерном пространстве Н.
Легко также доказать, что достаточно равномерной ограниченности [ь„(С)]с РЕЗУЛЬТАТЫ, ОТНОСЯЩИЕСЯ К ПОТОКУ ЖИДКОСТИ 391 на [О,Т], чтобы последовательность (ю„) (соотв. (6„)) была последовательностью Коши в пространстве Се([О,Т] х М) (соотв. Се([О,Т], »1)). Псевдодифференцивльный оператор В, имея порядок — 1, является ограниченным оператором из С' в С' при всех е > 0 и, разумеется, из С' в С'. Поскольку а„ограничена, существует константа Сы такая, что для любых п и 1 имеем [ (1)] < С ([ (1)]. + 1) Тогда [м„(1)]» оценивается интегрированием по методу характеристик уравнения переноса, определяющего «„.
Отсюда следует, что ог — [ 'е (г)]г < Ст[ы (г)]»[и„ » (г)]м Из этого последнего уравнения выводится, что если [и„»(г)]» < М для всех 1Е [О,Т], то [о~„(г)]» < [тоси~]»е ' откуда [и (1)] < С (1 + [го»ие] ) ес1мт) и достаточно выбрать Т и М, такие, что С»(1+ [гейне]»)е~*мт) < М, чтобы заключить по.индукции, что [и„(г)]д, а значит, и [м„(г)]» ограничены на [О, Т]. Наконец, оцениваются с помощью уравнения переноса производные порядка й от м„(г): Й вЂ” [ю„(1)]» < С»([и„»(Ф)]»)[ы„(1)]»+ [и„»Я]»[и„(1)]ъ).
Учитывая оценки [и -»(1)]» < С»И]м„-»(1И»-»/г + 1) < С»([ы» — »(г)]1 [Мъ — »(г)]~ 1 + 1)~ легко заключаем индукцией по и и Й, что [м„($)]» < М» для всех 1 е [О,Т], а это обеспечивает сходимость (и„) в С к решению уравнения (Е). Заметим, кроме того, что так полученное время существования Т зависит только от мажоранты для [ие]ю 392 Патрик Жерар 1.2. Глобальное существование. Предположим, что и — решение системы (Я) на интервале [О, Т]. Исходя из оценок, полученных из уравнения переноса (Т), — [ю (1)]» < С»([и(1)]»[ы(г)]» + [и(г)]»[ю(1)]») (1) д а также оценок, полученных с помощью соотношения Био — Савара, [и(г)]» < С»([ы(1)]» + ])г(г)]), заключаем, что если [и(1)]» ограничена на [О, Т], то это верно и для [и(1)]» прн любом Й, и предыдущий локальный результат позволяет продолжить решение и за момент времени Т.
Нам остается доказать, что [и(1)]» ограничена на [О,Т]. Здесь главным является то, что в силу (Т) (г)]о = [ гив]о для всех 1. К сожалению, оператор В отображает Со не в С', а только в С,'. Чтобы избавиться от этого недостатка, используем следующую нелинейную оценку: Лемма 2. Пусть  — псевдодифференциальнмй оператор порядка — 1 на компактном многообразйи Л1. Существуетп число С > О, такое, чпю длл любой регулярной функции у [ВД» < С[До1об 1+ — ) . [Л ~ [У]о.] Этот тип оценки является также одной из главных составляющих результата Шемена, и мы вернемся к нему в разд. 3. А сейчас посмотрим, как это неравенство позволяет завершить доказательство теоремы 1.
Из уравнения (Е) получаем сохранение энергии, ]]и(ЙЦ»г = [[и ][с», а из этого, в частности, вытекает, что й(г) ограничена в М. Из со- 'отношения Био — Савара выводим [и(1)]» < С1оя(2+ [го(1)]т), в то время как неравенство (1) для й = 1 и лемма Гронуолла дают [ю(т)]» < [ю(0)]1(1+ ей("('О' *).
РЕЗУЛЬТАТЫ, ОТНОСЯЩИЕСЯ К ПОТОКУ ЖИДКОСТИ 393 Сравнивая эти две оценки и снова используя лемму Гронуолла, по- лучаем, что существует такая константа А, для которой [и(1)]1 < Ае~', (2) чем завершается доказательство теоремы 1. Замечания. а) Удивительно различие роста со временем для двух норм, С1 и Сг, поля и(1), на вид очень близких; в то время как пер-.
вая ограничена, единственные известные оценки для второй экспоненциальны (см. неравенство (2)). Неизвестно, является ли этот рост действительно экспоненцнвльным; заметим, что он индуцировал бы двойной экспоненциальный рост для' первой производной вихря ы. Впрочем, в настоящее время неизвестен какой-либо хороший пример регулярного нестационарного решения системы (Е). Несмотря на теорему 1, можно утверждать, что изучение ее регулярных решений остается абсолютно открытой проблемой. Ъ) Когда многообразие М имеет размерность 3, вихрь ы будет уже не функцией, а дифференциальной 2-формой на М. Уравнение переноса (В) не позволяет оценить [ы(г)]а без появления величины [и(1)]ы что делает приведенное выше доказательство неприменимым.
2. КВАЗИЛИПШИЦЕВЫ РЕШЕНИЯ 2.1. Функция 1 на Н" называется квазилиишицевой, если суще- ствует константа С ) О, такая, что для любых х и у 1 [Дх) — у(у) [ < С[х — у[ 1+!ой+ [х — у] з где через 1ой+1 обозначается наибольшее из чисел О и 1ойс Такая функция принадлежит всем гельдеровым пространствам порядка о < 1. Нетривиальный пример квазилипшицевой функции дается следующей леммой: Лемма 3. Все функции класса С1 квазилипшицевм.
Доказательство. Выпишем для любого целого числа М равенство У(х) — 1(у) = ~~, (~ьЛ(х) — С р1(у)) + ~ (~М(х) — Зри(у)) . р>н р<м Патрик Жерар 394 ' Используя оценку [Ьру[» < С21» Ог при й = 1 в первой сумме и при усчя 0 во второй, получаем [У(х) — Ду)[ < С(1У[х — у[+ 2 ~), и выбор целой части числа 1оя [х — у[/!ой 2 в качестве значения )т' дает искомую оценку. Поскольку множество локально квазилипшицевых функций на открытом подмножестве пространства К" устойчиво относительно умножения на функции с компактным носителем и 'замены переменных, можно говорить о локально квазилипшицевых векторных полях на дифференцируемых многообразиях.
Имеется слццующая теорема Коши — (квази)Липшица: Предложение 4. Пусть и — квазилипшицево векторное поле на компактпе М. Для любой точки хо е М существует единственная кривая у й С»(К,М), являющаяся решением дифференциального уравнения д — у = и(у), у(0) = хо. Кроме того, сущестпвует число к ) О, такое, что таким образом определенный поток (ф') удовлетпворяет условию ф» к С' (М,М) для любого »й К.
Доказательстпво. Можно ограничиться локальными рассуждениями в К". Если у для у = 1, 2,... — интегральная кривая поля и наинтервале [О,Т[ с у (0) =хи то [у1 уг[ = 2(у1 'уз~ у(у1) — 5(уг)). Положив /(т) = [у»(т) — ~г(1)[~, из квазилипшицевости поля и полу- чаем — У < С~ 1+1оя Отсюда' выводится, что если у(0) < 1, то для всех 1 Е [О,Т[ у(1) < у(0)' РЕЗУЛЬТАТЫ. ОТНОСЯЩИЕСЯ К ПОТОКУ ЖИДКОСТИ 395 что доказывает единственность и регулярность потока. Существование вытекает из аппроксимации поля и регулярными полями и теоремы Асколи — Арцела.
Заметим, что приведенная выше теорема переносится на поле о = и(1, х), непрерывно зависящее от параметра й 2.2. Теперь перейдем к изучению сингулярных решений уравнения (Е), начальные данные которого удовлетворяют условию гоФио Е Е (М). Учитывая уравнение переноса (Т), мы ожидаем, что для любого момента времени 1 функция ш(1) находится в классе Е (М) и, следовательно, поле скоростей квазилипшицево. Уравнения (Е) и (Т) нужно тогда интерпретировать в смысле обобщенных функций следующим образом: дги = ейо(и И 6) = — чр, д1ч и = О, дгш+61ч(иш) = О, (Е') (Т') причем условие 61у и = О обеспечивает эквивалентность двух фор- мулировок в случае регулярного решения и.
Доказательство. Центральная идея Этого результата появляется в следующем доказательстве единственности. Воспроизводя доказательство, данное.в п.1 1, замечаем, что, поскольку уи теперь уже не принадлежит Е, невозможно просто воспользоваться леммой Гронуолла. Однако так как псевдодифференциальный оператор порядка О ограничен на 1Р для всех р Е]1, со[, то Уи(1) Е 1Р(М), н неравенство Гельдера дает — ][и(1) — (1)[Й < 2]ГУи(1)][сг]]и(1) — (1)][~., < 2М'~'[]тУ (1)]] .[[и(1) — и(1)Ф, Теорема 5 (Юдович [У], 1963). Пусть ив — такое вектпорное поле, что госио Е Е ', 61чиа = О. ° Тогда существует единственное решение и уравнения (Е'), удовлетворяющее условиям и Е Са(В.
х М,ТМ), го$и Е е ~(гс х М). Кроме того, поле и квазилипшицево по х, поток фг, начиная с момента 1 = О, сохраняет обеем и для всех действительных $ и почти всех х Е 'М вмполняетса равенство ш($,ф~(х)) = гоьи (х). Патрик Жерар где р' — показатель, сопрпженный к р, и М = еирге(о,т) [и(1) — Ф)]оКрасивая идея Юдовича состоит в том, чтобы изучать это дифференциальное неравенство при р, стремящемся к бесконечности, опираясь на следующий результат, являющийся следствием интерполяционной теоремы Марцинкевича (см., например, Стейн [Бс]) и теории Кальдерона †Зигмун (см., например,[СМ]); Лемма 6. Пусть М вЂ” компактное многообразие и А — псевдодифференциальный оператор порядка О на М.
Тогда существуетп тпакая константпа С, чтпо длл всех р < оо верна оценка []А/[]с, < Ср]]/][с . Используя лемму 6 и полагая д(Ф) = ][и(1) — о(1)]]г „получаем — д < Срм~/ д'-'/а, сй Интегрируя это неравенство и учитывая, что д(О) = О, получаем, что для всех 1 > 0 д(1) < М'(С1) . Поскольку это неравенство верно для всех р < со, то д(т) = 0 для всех т < 1/С и, наконец, д = О, что доказывает единственность. Для доказательства существования регуляризуем начальные данные ио и, используя теорему 1, получаем последовательность (и„) регулярных решений уравнения (Е); из уравнения (Т) получаем, что гос и„ ограничен в Е, а следовательно, и„(г) равномерно ограничена в С,' по 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
