Труды семинара Бурбаки за 1992 г (947406), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Следовательно, йтХ = гг (17Х). Обозначим через и ~-~ й изоморфизм пространства ТМ на Т*М, индуцированный метрикой д. Градиент 177 функции 7" является векторным полем, соответствующим дифференциалу г(7 при этом изоморфизме, а лапласиан функции 7 определяется равенством Ь7 = йт Г77. Дивергенция тензорного поля Т является векторным полем бггяТ, соответствующим полю — гг7Т при этом изоморфизме. Здесь символом '~7 обозначен транспонированный оператор к дифференциальному оператору 17 по отношению к плотностц т. Если и — бездивергентное векторное поле, то йч(и Э й) = 17„и. Наконец, обозначим через * оператор Ходжа на формах. ' Если М имеет размерность 2, то оператор 7 определяется на векторных полях формулой (,7Х) = *Х.
Тогда 7з = -1. Ротором (или вихрем) векторного поля Х называется функция гог Х, определяемая формулой пХ = (гог Х) т. Кроме того, гог и = — гг (Л7Х). Наконец, если и — бездивергентное векторное поле, то гос 17„и = Ь„гог и. 0.2. травненне Эйлера. В 1755 г. для описания движения идеальной несжимаемой жидкости на многообразии М Эйлер вывел следующую систему уравнений. Если обозначить через и(1, х) скорость в момент времени 1 Е К частицы жидкости, находящейся в положении х б М, то фундаментальный принцип динамики и условие несжимэемости запишутся соответственно в виде дги+ ~'ки = — '7р1 (Ег) (Ег) йти=О, где р — скалярное поле давления.
В дальнейшем мы будем обозначать через (Е) указанную выше систему уравнений. Заметим, что градиент давления в постановке задачи не задан, а является дополнительным неизвестным и может быть исключен> если взять дивергенцию от уравнения (Ег): — Ьр = йт17„и; РЕЗУЛЬТАТЫ, ОТНОСЯЩИЕСЯ К ПОТОКУ ЖИДКОСТИ 381 это уравнение определяет 17р как функцию векторного поля и.
Можно также рассматривать систему (Е) как систему уравнений геодезических на бесконечномерной группе Ли диффеоморфизмов многообразия М, сохраняющих объем, с метрикой, определенной кинетической энергией Е, = / ]и(г,х)] т(х). зм В этом случае р интерпретируется как множитель Лагранжа. Мы не будем развивать здесь этот подход, отсылая читателя к работам Арнольда [Аг], Эбена — Марсдена [ЕВ), Шнирельмана [БЦ и Бреньера [Вг) для детального изучения. Однако позаимствуем из этого подхода тот факт, что если и — решение системы (Е), то кинетическая энергия не зависит от времени»что, впрочем, легко получить, взяв скалярное произведение в Ез двух обеих частей уравнения (Ег ) на и и воспользовавшись (Ез).
Фундаментальной проблемой гидромеханики, разумеется,.является задача Коши для уравнений (Е), т. е. нахождение функции и, удовлетворяющей уравнениям (Е) и условию и(0, х) = пс(х), где. ио — заданное бездивергентное векторное попе на многообразии М. Единственность и существование на малом интервале времени, повидимому, впервые были доказаны Лихтенштейном [1 1] в 1925 г. Существование такого глобального решения в размерности и остается открЬгтой проблемой, но оно было доказано в размерности 2 Волибнером [»т) в 1933 г. (см.
также статью Като [Ка]). Тем не менее результат Вонибнера мало освещает качественные свойства решения; полученные оценки позволяют предположить, что поведение линий тока становится при больших значениях г совершенно хаотическим (см. разд. 1)- В настоящее время для изучения качественных свойств решений этой задачи делаются попытки решить эту проблему с сингулярными данными и описать эволюцию особенностей. Эти сингулярные решения (например разрывное поле скоростей) являются, вообще говоря, «предельными» моделями физических явлений и указывают на наличг(е очень разномасштабных величин (например, эволюцию границы раздела двух сред).
Два результата, которые являются предметом данного сообщения, прямо связаны с этими проблемами для двумерного потока. Прежде чем их представлять, нам необходимо ввести фундаментальную величину гидромеханики— вихрь. 382 Патрик Жерар О.З. Вихрь. В последующем изложении многообразие М предполагается двумерным.
Вихрь ы поля скоростей и определяется формулой ы = го$ и. Заметим, что ] ы(х)т(х) = О. Помимо его очевидной физической интерпретации, это понятие интересно тем, что допускает формулировку, эквивалентную системе (Е). А именно, применив оператор гоФ к (Еа), получаем уравнение переноса (Т) дфы + Ь„и = О, показывающее, что м постоянен вдоль линий тока. Кроме того, возможно (почти) выразить и через ы.
Для этого используется тот факт, что лапласиан является автоморфизмом векторного пространства функций класса С со средним значением нуль (см., например, (В]); обозначим через Ь 1 обратный ему. Пусть, кроме того, через 'Н.обозначается конечномерное векторное пространство гармонических векторных полей на М и через Н ортогональный проектор на 'Н в пространстве векторных полей на М относительно скалярного произведения в Вз, ассоциированного с т. Учитывая (Еа), получаем', что разложение Ходжа †. Рама (В] поля и дает «соотношение Био — Савараа и = Вы+А, (В) где В = Л7Ь ~ — ограничение на функции с нулевым средним соответствующего псевдодифференциального оператора порядка — 1 и 6 = Н(и).
Наконец, эволюция 6 в пространстве Я описывается уравнением, которое получается применением Н к уравнению (Е1), (Н) даЬ+(~(и,и) = О, где и (Х ) — ортонормированный базис в 'Н. Поскольку Ь принадлежит конечномерному пространству и его 1Р-норма мажорируется нормой и и, следовательно, ограничена по времени, можно предсказать, что эволюция Ь не влияет на качественные свойства решения и. Заметим, что в двух простых случаях.эта эволюция тривиальна: если М вЂ” 'сфера, то 'Н вЂ” (0), и если М вЂ” плоский тор, то Ь не зависит от времени.
РЕЗУЛЬТАТЫ, ОТНОСЯЩИЕСЯ К ПОТОКУ ЖИДКОСТИ 363 Легко проверить, что система (Т, В, Н) эквивалентна системе (Е). 0.4. Вихревые карманы. Перейдем к сингулярным решениям системы (Е). Здесь основным является результат Юдовича [ г'], полученный им в 1963 г. и относящийся к течению с разрывным вихрем. Более точно, Юдович доказал, что если начальные условия имеют существенно ограниченный вихрь, то существует единственное решение задачи Коши с существенно ограниченным вихрем в любой 'момент времени — уравнения при этом должны рассматриваться в слабом смысле.
Чтобы пояснить этот результат, заметим, что соотношения Био — Савара (В) не позволяют заключить, что поле скоростей липшицево; действительно, псевдодифференциальный оператор порцлка — 1 переводит функции из Е не в' функции, удовлетворяющие условию Липшица, а только в несколько менее регулярные функции. Юдович, однако, доказал, что поле такой регулярности порождает поток и что вихрь в момент времени г получается из начального вихря под действием этого потока в соответствии с уравнением (Т).
К сожалению, регулярность'этого потока экспоненциально убывает со временем, что затрудняет анализ эволюции особенностей (см. разд, 2). В прекрасной обзорной статье, посвященной завихрению в гидромеханике [М1], Майда в 1985 г. поставил следующую проблему, названную им проблемой явихревых кармановк Предположим, что вихрь в начальный момент принимает только два значения и множество разрывов является жордановой кривой Те класса Соо.
Согласно результату Юдовича, вихрь в момент 1 тоже принимает только два значения и множество разрывов Т" получается из То под действием указанного выше слабо регулярного потока. Что можно сказать о регулярности Т'? Б той же статье, после епископия интегро-дифференциальных. уравнений, которым должна удовлетворять регулярная параметризация кривой Т', Майда анонсировал утверждение, что для малых промежутков времени контур остается регулярным; более того, опираясь на численное моделирование [Е], он предположил появление каспов и нерегулярность кривой Т' на конечном промежутке времени.
После этого появилось множество работ, в которых делается попытка обосновать это предположение; помимо численных методов [П, П1], отметим подход, предложенный Константином и Тити Патрик Жерар [СТ], которые изучали возмущения стационарного вихревого кармана (например, плоского диска). В этом контексте Алинак [А(] доказал, что квадратичное приближение уравнения вихревого кармана достаточно для выявления особенностей.
Все эти вклады подчеркивают особое значение следующего результата, доказанного Шеменом в 1991 гл Теорема А (Шемен [С4]). Конту1» вихревого кармана остается в классе С'"' для любого 1. Доказательство Шемена основано на двух основных идеях. Первая состоит в замечании, что если обозначить через Хо ненулевое векторное поле класса С" на М, касательное к кривой уо, и если Х' — сингулярное поле, получающееся из Хо под действием потока жидкости в момент времени 1, то регулярность у' вытекает из того факта, что, хотя Х' не принадлежит классу С, оно и все его ковариантные производные 1~к, Х' принадлежат одному и тому же гельдерову пространству Са.
Этот тип регулярности, называемый «конормальным» или «вторично микролокальным», является в последние десятилетия центральным в работах Бони и его школы по распространению особенностей в гиперболических нелинейных уравнениях. Для того чтобы познакомить читателя с этими результатами, мы отсылаем его к обзорной статье Бони [В2] и к докладу Лебо [Ь] на этом семинаре. Применяя методы, используемые в этих работах, и собственные достижения [С5], Шемен доказал в 1989 г. [С1,3] локальную регулярность во времени контура вихревого кармана в том виде, как она была анонсирована Майдой.
Заметим, что теми же методами Шемен доказал следующий замечательный результат, который относится к уравнению Эйлера в произвольной размерности: «Всякое решение класса С" (г > 1) уравнения Эйлера на [9,Т] х М обладает линиями тока класса С'"'» [С2]. Вторая идея является решающим шагом в направлении глобальной регулярности во времени и является предметом статьи [С4]. Она состоит в оценке нормы Липшица поля скоростей через функцию от нормы вихря ш в Ь и «конормальных» величин, измеряющих регулярность геометрии, причем главное здесь то, что эти величины появляются как аргумент логарифма (см. равд. 3, пред' лржение 8).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
