Труды семинара Бурбаки за 1992 г (947406), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Каждое автоморфное представление П разлагается в ограниченное тензорное произведение ® П, (допустимых неприводимых) представлений групп С(г ).Мы будем пользоваться обозначением П = П~ З П,, введенным в п. 1.4.2. 4.3(2. Среди автоморфньгх представлений группы С(А) выделим характеры тоХГ, разлагающиеся в композицию приведенной нормы Нг: С(А) -+ А' и характера Генке т группы А*.
Кратность таких 366 Анри Карайоль представлений равна 1. Все остальные автоморфные представления бесконечномерны (точнее говоря, нх компоненты П, в точках х ф Е бесконечномерны). 4.3.3. Рассмотрим точку х ф Е. Представление П, группы С(Г,) = С1а(Р«) (допустимое и неприводимое) называется неразветвленнмм, если оно обладает вектором, инвариантным относительно максимальной компактной подгруппы СЬа(О,) (см. [Са1[).
Такие представления реализуются как компоненты в нндуцированном представленн~и 1пс((ды..., ра) (унитарное индуцнрование) из Й неразветвленных квазихаракгеров группы Р'*. Числа х, = ра(ш ), корректно определенные с точностью до порядка, ныываются собственными значениями Гекке представления П . 4.3.4. Наконец, представлением Стейнберга ВС группы С(Р ) = СЬа(г' ) называется единственное неприводимое факторпредставление индуцированного представления (унитарное индуцирование с группы верхнетреугольных матриц) Это представление дискретной серии.
4.4.1. Рассмотрим полупростую оболочку (Н")" представления Н". Это представление произведения С(А ) х Са!(7/Р) разлагается в прямую сумму изотипических компонент по классам эквивалентности допустимых неприводимых представлений П группы С(А ): (Н")»« = 9 П" аэ Р'"„ где гй — конечномерные представления группы Са)(Г/Р). Глав.
ная теорема [Ь-В;Я] описывает это разложение. Говоря коротко, она утверждает, что в указанную вишне сумму нетривиально входят лишь те представления П ', которые являются «конечной» компонентой автоморфных представлений П, причем представление П либо должно быть характером (см. п. 4.3.2), либо таким, что П = Я . С представлениями первого типа связаны характеры Галуа (они входят в четномерные когомологии), в то время как представления второго типа задают более интересные представления Галуа, которые связаны с глобальными гипотезами Ленглендса.
Эти представления входят в средние (д — 1)-мерные когомологин. КОМПАКТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ ДРИНФЕЛЬДА Зб7 4.4.2. Теорема. (1) В изотипическое разложение представления (Н")'* нетривиально входят только такие представления П' что либо П З 1; либо П сг Й, — автоморфиое представление. В первом случае Ц разлагается в композрцию вида г о Хг, где А~ — характер группьг (А )', такой, что г = А~ З 1 лвллется характером Гекке группы А". (й) В первом случае (П~ = ЗС~ о Хг) представление гй лвляется характером Галуа, соответствующим характеру т по теории полей классов (используется геометрическая нормализация изоморфизма теории полей классов). При 0 < 1 < д — 1 имеем 1й' = 'гпо ( — 1) (подкругака Тэйта), в гпо время как 1'~~~'~~ равно нулю.
(й1) Во втором случае (когда П = П ®Вс автоморфно) представления гй равны нулю при и ,-Е д — 1, в то время как Ъй лвляется полупростым т(П)д-мернмм представлением группы Са!(Г/Г), характеризуемым следующим свойством; если компонента П, в .точке х 1с 'В. Г1 [оо) неразветвлена, то представление неразветвлено в пючке х и сг(ггоЬ;;Уй ') = т(П)д,"1~ 'П~(г~(П,)" + ° +за(П,)"), где ггоЬ, обозначает (геометрический) элемент Фробениуса, а г;(П, ) — собственные значения Гекке представления П .
(1ч) Помимо этого, во втором случае полупростая оболочка относигаельно РгоЬьь (см. [Ве[) представления Уй г(О,1р изоморфна прямой сумме т(П) экземпляров представления Бр ( — д+ 1), т.е. подкрученного по Тэйту специального представления. 4.4.3. Из п.
(ш) предыдущей теоремы и из гипотез Вейля легко получить докззательство гипотезы Рамануджана — Петерсона для автоморфных представлений П группы С(А), таких, что П ы Вс, утверждающей, что собственные значения Гекке представления П, (в тех точках, где П, неразветвлено) имеют модуль 1 при любом погружении в поле комплексных чисел. 4.4.4. Комментарий. Гипотетически кратность т(П), входящая в утверждение теоремы, всегда равна 1. Это должно следовать из обобщенного соответствия Жаке — Ленглендса между автоморфными представлениями группы С(А) и некоторыми автоморфными представлениями группы СЬв(А) (см. [Пе-Ка-%] и [По[).
Однако 368 Анри Каргйоль это соответствие еще не построено для функциональных полей (за исключением случаев Н = 2 и д = 3). В тех случаях когда га(П) = 1, представление гпа ~ является (с точностью до подкрутки на квази- характер) тем представлением, которое гипотезы Ленглендса сопоставляют представлению П. 5. ПЛАН ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЫ Доказательство основной теоремы занимает большую часть статьи [Ь-П-В).
Мы приведем здесь лишь план доказательства. В общих чертах он сводится к тому, чтобы сначала с помощью формул следа вычислить виртуальные представления Н" = 2 ( — 1)"Нг", а затем из геометрических соображений получить и сами Н". 5.1. Зафиксируем замкнутую точку х Е ~Х! — (оо) — Е. Пусть 1— замкнутая подсхема в Х вЂ” (оо, х). Рассмотрим алгебру Ггкке 24~' локально постоянных Щг-значных) функций с компактным носителем на 0(А* "), биинвариантных относительно Уг (см.
п.4.2.2). Эта алгебра действует на Нг". Если д* Е С(А* ), то характеристическая функция двойного класса смежности Угд* Уг действует посредством соответствия Гекке (п.4.2.3), отвечающего элементу д*' (к которому добавлена компонента 1 в точке х). Когомологии Нг пространства бйг х х прес Р отождествляются с когомологиями специального слоя с"Иг хх Бреси(х), так как рассматриваемая схема собственная и гладкая нвд Охл Кроме того, как мы видели выше (п. 4.2.3), соответствия Гекке обладают «хорошей редукциейь в точке х.
Поэтому мы можем воспог(ьзоваться формулой следа Лефюецсач применив ее к специальному слою над точкой х, чтобы вычислить для функции у* ' Е 'Н~' и г > 0 след Ье1„(1'* ) = Сг(ргоЬ", ху*'; Н,*). Для вычислений необходимо иметь точное описание точек специального слоя, а также действия Фробениуса и соответствий Гекке. 5.2. Описание точек специального слоя происходит в два этапа, подобно тому как описывается множество абелевых многообразий над конечным полем. Сначала мы разбиваем изучаемое множество на классы изогенни (следуя Хонде — Тэйту), затем параметризуем каждый класс изогении.
Если (бо,|,1) — эллиптический г-пучок иад полем и = к(х) (с нулем г = х: Яресй -+ Х), то его общий слой У вЂ” это слой КОМПАКТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ ДРИНФЕЛЬДА 369 расслоения Ее в общей точке Зрес(Г ЗР, й) схемы Х ЗР, 1с, т. е. векторное пространство над полем ГЗ1с с действием алгебры Р. С другой стороны, морфизм у отождествляет Ъ' с общим слоем каждого из расслоений бн поэтому морфизм 1 индуцирует полулинейное отображение х: г' -+ 'г'. Следуя терминологии Дринфельда, мы говорим, что У есть у-пространство с действием алгебры Р. Два эллиптических Р-пучка иаогеннм, если их общие слои изоморфны. С помощью классификации х-пространств, полученной Дринфельдом, в статье [Ь-В;8] доказывается, что классы изогении эллиптических Р-пучков находятся во взаимно однозначном соответ'ствии с классами изоморфизма «(Р,х,оо)-типов», т.е. пар (Г,У), где à — конечное сепарабельное расширение поля Г и У Е Г* З ь), удовлетворяющих следующим условиям: ° Если Г'Сà — подполе, то х Й (Р)" З ь).
Ф ° Степень [Г: Г] делит д. ° Поле Г имеет только одну точку со, лежащую над со, причем Йеб(оо) ° пж(я) = — [Г: Г)/И. ч Существует только одна точка х ф со поля Г, такая, что ие(У) ф О. Эта точка лежит над точкой х. ° Если точка у поля Г лежит над точкой у поля Г, то (с([ГЕ: КД[л': Г))1пчэ(Р) Е Е (и — (соотв. св) обозначает нормирование поля Г; продолжающее нормирование в (соотв. с,)). Затем дается комбинаторное описание класса изогении (в том числе и действие Фробениуса и соответствий Гекке), соответствующего каждому (Р, х, оо)-типу.
5.3. Следующий шаг заключается в применении формулы следа Лефшеца, т.е., по существу, в перечислении неподвижных точек. Комбинаторные вычисления, основанные на приведенном выше описании точек, приводят к следующему выражению для 1,еЕ„(1* ) (г ) 0): 1,е1,(~*' ) = ~ ъо1(С,,(Г)~С,,(А)/ш, ) 7 х ~ . 0,„(~~~ "1,1*'~). (5.3.1) чо1(Р .,(шх ) 370 Анри Кгргйоль Суммирование производится по классам сопряженности 7 груп; пы С(г) = П', являющимся эллиптическими в точке оо. Симво)) С обозначает централизатор класса у. По определению г (у) 4 (-1)" 1, где д' = б/(Е„(у): Г ). Далее, О,, — это тело с центром Р (7) и инвариантом 1/б'(так что 0 является внутренней формой группы С,„(г' ) = С1г (Г (у))). Как обычно, если / локально постоянная функция на С(А ) с компактным носителем,' то От(/ ) обозначает орбитаалънмй ингаеграл ИЬ о,(/-) = /' У ИЬ Г'75 )— ) С., (А )(С(А ) ~~~э (для придания смысла формуле (5.3.1) необходимо согласованным образом выбрать встречающиеся в ней меры Хаара, однако на этом мы не будем останавливаться).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
