Труды семинара Бурбаки за 1992 г (947406), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Наконец, //") Е С, (.0;//Р;) = С, (С?а(Р,)//СЬа(0,)) обозначает локально постоянную функцию с компактным носителем на Ю;, биинвариантную относительно Р;, с преобразованием Сагааке (см. (Са1]), равным (/("))" (г г ) — д"(г 1)/г(г'+ -)- г") Эта функция обладает следующим свойством. Если П, — допусти- мое неприводимое представление группы С(г',), то б, если П, разветвленное, (гП*(/,' )= д,' (г,"+ ..
+ гг), если П, неразветвленное с собственными значениями Гекке гм..., гг (5.3.2) (по отношению к мере, относительно которой обьем Э; равен 1). В более ранних работах Дринфельд получил явное выражение для функций //'~ и вычислил их орбитальные ннтегрэлы. Эти результаты играют ключевую роль' в доказательстве формулы.(5.3.1). 5.4. Пусть / = ®/„— локально постоянная функция с компактным носителем на С(А)/ши, являющаяся произведением функций /„на С(Е„), почти всюду равных характеристической функции З„'. Формула следа Сельберга выражает след оператора, индуцированного функцией / на пространстве 1Р(С(Г)(С(А)/ши ), т.е.
(см. КОМПАКТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ ДРИНФЕЛЬДА 3Т1 п.4.3.1) сумму ~п»(П)СГП(/) по всем автоморфным представлениям с тривиальным на т центральным характером. В нашем случае формула имеет простой вид, поскольку фактор компактен: «п(П) (г П(/) =~~ то)(С,(Г)) С.,(А)(/хР' )О.„(/). (5 4.1) п В правой части формулы суммирование ведется по всем классам сопряженности у группы С(Г), а От обозначает орбитальный интеграл 07(/) = у()» ~7л) —. с()» С„(А)АС(А) ~()»т, 5.5. Существует «функция Эйлера — Пуанкаре» / — локально постоянная функция на группе С(Г ), имеющая компактный носитель по модулю центра, линейно выражающаяся через характеристические функции парахорических подгрупп (Ьаи2] и удовлетворяющая следующим условиям: 5.5.1. Орбитальные интегралы определяются формулой ~о, если Т не эллиптический в С(Г ), 0 ) = е (7) Ох(/"),, если у эллиптический в С(Г ).
то) (Р,,/со ) 5.5.2. Если П, —,,допустимое неприводимое унитаризуемое пред- ставление группы С(Г )/и», то О, если П ф 1,Б( ФГП (/ ) = 1, если П, ~1, ( — 1)« ', если П, а 51, (другими словами, / выделяет 1 и Вх в унитарном спектре груп-' пы С(Г,)/ш, ). 5.6. Подставляя формулы п. 5.5.1 в выражение для Ье(„из п. 5.3.1, мы' получаем Ье(„(/* ) = у то!(Ст(Г))С,(А)/ш )0,(/»()/ /.' ) 372 Анри Карайоль причем суммирование ведется по всем классам сопряженности 7 группы О(Р). Теперь эта сумма интерпретируется с помощью формулы Сельберга. С учетом формул п.
5.5.2 мы получаем 1 е1„(! "оо) т(П) $гп. У ) + ( — 1)~ ' ~ т(П) 2гп '(У ), и еп где !' = 7в"~7'* . Теперь воспользуемся формулой (5.3.2), вычисляющей СгП,(7в ), тем фактом, что если П вЂ” характер, то (т) т(П) = 1, а также тем, что если П, — неразветвленное представление группы.С(Рв), то его собственные значения Гекке равны П, (ств)д,, 0 < 1 < т) — 1.
Отсюда получаем окончательно 11-в)!2+т 1е1„(!'~'оо) = ~~1 П*'оо() в'~)П (ю )"(1+ о'+ + д"~И 1)) И вЂ характ, И Ьт 1, И неразветвлено +( — 1)И 1'~~1 »ГПв' '(7е' )т(П)д 1« 1Н2(2 (П )" + ° ° ° + 24(П )"), П Зт И неразветвлено (5.6.1) 5.7. Полученная в предыдущем пункте формула показывает, что виртуальное представление Н' =' ~ ( — 1)" Н" имеет в точности такой след, как предсказывала теорема 4.4.2.
Отсюда легко вывести ип. (1) и (й) этой теоремы. При доказательстве и. (й) надо воспользоваться «гипотезой» Вейля, из которой следует, что собственные значения П,(ю,)двз происходят из пространства когомологий степени 21. Аналогичные простые соображения позволили бы получить и п. (1И), если бы мы уже располагали гипотезой Рамануджана — Петерсона. Достаточно было бы располагать более слабым ограничением, состоящим в том, что представление П, общее (т. е. обладает моделью Уиттекера).
Последнее, гипотетически, верно всегда (это следует из обобщенного соответствия Жаке — Ленглендса). Па самом деле известно (За-ЯЬ], что собственные значения Гекке общего неразветвленного унитарного представления удовлетворяют нераВЕНСтВу )21(П,)~ < 4в 1!2 Однако на данный момент неизвестно, как проверять общность представления П,; поэтому Ломон, Рапопорт н Штулер для доказательства пп.
(!й) и (12) теоремы пользуются более сложными геометрическими соображениями. Эти соображения, применя- КОМПАКТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ ДРИНФЕЛЬДА 373 емые для изучеиия представления Галуа, ограниченного на группу Са)(7 /г' ), опираются на сильную теорему Лефшеца, теорему Делиня о чистоте монодромической фильтрации и используют свойства 1.-функции. б. ЛОКАЛЬНАЯ ГИПОТЕЗА ЛЕНГЛЕНДСА ДЛЯ ПОЛЕЙ РАВНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ 6.1. Пусть К вЂ” локальное неархимедово поле и г1 > 1 — целое число. Обозначим через Ак(д) множество (классов эквивалентности) комплексных допустимых неприводимых представлений группы С1г(К) и через йгг(а) множество (классов эквивалентности) непрерывных комплексных ф-полупростых г1-мерных предсталлений группы Вейля — Делиня Игк. Локальнал гипотеза Ленглендса (см.
[Не1]) предсказывает для каждого д существование биекций между Ак(д) и Як(г1), обладающих многочисленными свойствами (сохранение Е- и е-множителей, определенных для пары представлений в обоих случаях, согласованность с подкруткой и переходом к контраградиентному представлению,...). Кроме того, эти биекции должны ограничиваться до биекций между А~~(д) — множеством неприводимых каспидальнмх представлений с центральным характером конечного порядка — и ф(г1) — множеством неприводиммх д-мерных представлений группы Са1(К/К). Обратно, если для всех д имеются согласованные биекции между А~к(д) и Дк~(д), то их можно каноническим образом продолжить до биекций между Ак(д) и йк(г1) (см. [Не1, Не4]).
Локальные гипотезы были доказаны Куцко в случае г1 = 2 и Энньяром в случае г1 = 3. Последний важный результат работы [1 Н-о] — это доказательство локальной гипотезы Ленглендса (для всех а), если К вЂ” локальное поле равной характеристики р (другими словами, К = Р ((Т))). 6.2. Теорема. Пусть К вЂ” локальное поле равной характперисти- ки р. Существует семейство биекций Ао (г1) -+ до (г(), + о„, таких, что вмполнлютпсл следующие условилг (1) длл ~юб~ тг Е Ак(д) к' Е Ак(д') Цо, З о', г) = Цтг х тг', г), е(о„ З гг', г) = е(к х г', г); (й) длл любого тг Е Аок(г() выполнено сг- = о„(контРагРадиентное предстпавление); 374 Анри Карайоль (ш) детерминант представления о соответствует, согласно таеории полей классов (в геометрической нормализации), центральному характеру представления х; (гг) если Я Е Аок(д), а Х вЂ” хаРактеР конечного поРЯдка полл К", то (х обозначает также и соответствующий характер группм Са1(К/К)) о<,эх1 = о„з Х (согласованность с подкРУткой).
В приложенни [Не3] к статье [1-В.-Я] Энньяр доказал, что указанные выше свойства однозначно харакпГеризуют полученное семейство биекций. Смотри также [Не4], где содержится описание продолжения таких биекций до биекций Ак(Ы) -ь Дк(д). 6.3. На самом деле предыдущая теорема доказывается в [1,ьВ-Я] не для комплексных, а для е-адических представлений, т.е.
представлений наД полем ьге. Однако'эти УтвеРждениЯ Равносильны: как в автоморфном случае, так и в случае группы Галуа все рассматриваемые объекты могут быть определены чисто алгебраически; поэтому биекция может быть перенесена на комплексный случай с помощью изоморфизма Яе а С, причем Х множители и е-множители сохранятся (см. [Не4]). Изменим соответственно наши обозначения. Зафиксируем простое число с ф р. Начиная с этого момента, Аок(д) обозначает множество классов эквивалентности неприводимых каспидальных,ьсе-представлений группы 01з(К) с центральным характером конечного порядка, а Дно(д) обозначает множество классов эквивалентности неприводимых д-мерных ьзе-пРедставлений гРУппы Са1(К/К) с детеРминантом конечного порядка.
Теперь мы опишем основные моменты в доказательстве теоремы 6.2. . 6.4. Основная идея в построении отображения х ь о — глобализация ситуации и применение теоремы 4.4.2. Выберем для этого глобальное поле Г характеристики р, а также точку хе поля г' так, чтобы пополнение г'„было изоморфно полю К (зафиксируем этот изоморфизм). Выберем затем еще две различные точки оо и хм отличные от точки хо. Для каждого д > 1 обозначим через Рз алгебру с делением, аг-мерную над центром Е, с инвариантом 1/а, если х = хо, 1пч,(Рз) = — 1/д, если х = хг, О в противном случае.
КОМПАКТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ ДРИНФЕЛЬДА 375 Следующая лемма, доказанная в (1 и-Я] с помощью простой формулы следа Сельберга, позволяет рассматривать любое представление к Е Ак~(д) как компоненту в точке хо некоторого автоморфиого представления группы СЬе(АР). 6.4.1. Лемма.
Пусть тт Е А~~<(д) и хг !с (хо,хноо) — точка иола Р. Тогда существуетп автоморфное параболическое представление П = ®П„группьь СЕе(АР), такое, что П Ее Зььь, П, = тг, а компоненты П, и П, каспидальны. Затем лемма Эивьяра позволяет;превратить представление П в представление группы Се(АР) = (Ое 8 АР)*. Это частный случай обобщенного соответствия Жаке — Леиглендса, которое, конечно же, хотелось бы иметь и в общем случае. Заметим, что в нашем случае Се(Рг) ~ СЬв(Рй) для всех у к (хо,хт). 6.4.2.
Лемма. Пусть представление П такое же, как и в предыдущей лемме. Тогда сущестпвует (единственное) автоморфное представление П группы Се(АР), такое, что для всех у ф (хо, хт) имеем П„= Пг, Кроме того, кратность тп(П) представления П равна 1. 6.5. Теперь применяем теорему 4.4.2. Представлению П соответствует д-мерное представление У'-" ' группы Са!(7/Р).
Обозначим через Е(П) „ограничение этого представления па группу разложеиия в точке хо, подкрученное иа перазветвлеииый квазихарактер, переводящий РгоЬ„, в ст„(чтобы его детерминант имел коиеч- Π— е)/2 пый порядок). Таким образом, мы получаем искомое представление группы Са)(К/К). Наша конструкция зависит как от выбора точки хг, так и от выбора представления П.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
