Труды семинара Бурбаки за 1992 г (947406), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Легко проверить, что произвольный эндоморфизм у группы С,,к можно единственным образом представить в виде суммы ~=Ло+Лдт+...+Л,тт, Л;6К. Однако, вообще говоря, это кольцо эндоморфизмов не комму«по- главно, так как имеется очевидное соотношение -Л=Л» . Дринфельд обозначает через К(т) множество полиномиальных выражений от т с коэффициентами в К с операцией покомпонентного сложения и операцией умножения, удовлетворяющей приведенному выше соотношению. Кольцо К(т) таким образом отождествляется с Епд(с., к). Мы будем говорить, что элемент у = Ло+.
+ Л„т" й К(т) имеет степень р", если Л„ф О. Производная соответствующего эндоморфизма вычисляется формулой у' = Ло. 1.1.2. Определение. Эллиптический А-модуль (с э«сесшквсшью) над полем К вЂ” это гомоморфизм колец ф: А — > К(т) = Епд(0, к), такой, что для любого а б А выполнено ф(а)' = д(а). Можно доказать, что существует целое число д > О, называемое рангом эллиптического А-модуля, такое, что для любого а й А — (0) выполнено декф(а) = )а~~,. Тривиальный случай д = О, соответствующий гомоморфизму ф(а) = д(а), мы исключаем из рассмотрения.
Легко видеть, что ф принимает значения в подкольце К(т') с К(т), порожденном элементом т'. Пример. Если Х = Рд, а со — «бесконечно удаленная точка», то А отождествляется с кольцом полиномов Рд[У). Задание эллиптического А-модуля ранга д над полем К равносильно заданию элемента ф(У), который должен иметь вид ф(У) = д(У) + рдт'+ рдтт'+ . + рвт ' (р; й К, рг ~ 0). 1.1.3. Предыдущее определение естественным образом обобщается на случай произвольной А-схемы 5.
Если Ь вЂ” линейное расслоение КОМПАКТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ ДРИНФЕЛЬДА 351 над Э (т. е. локально свободный Оя-модуль ранга 1) с послойным действием кольца А, то слои расслоения Ь изоморфны адаптивным группам поля (изоморфизм определен с точностью до гомотетии) и легко проверить, являются ли слои эллиптическими модулями ранга д. Определение.
Эллиптический А-модуль ранга д над Э вЂ” это линейное расслоение 1, над Э с гомоморфизмом ф: А -+ Епдя(1), таким, что для любого а Е А дифференциал эндоморфизма ф(а) задается структурным гомоморфизмом А — > Оя и для произвольной точки г: прес К -+ Э слой 1, является эллиптическим А-модулем ранга д в указанном выше смысле. Гомоморфизм (соотв. изоморфизм) эллиптических модулей определяется естественным образом. 1.2. Пример: аналитическое описание эллиптических модулей над Р . Обозначим через 7 пополнение сепарабельного замыкания поля Е, и пусть Г есть д-мерная решетка в 7, т.е. дискретный (проективный) А-подмодуль ранга д. Рассмотрим бесконечное произведение ()= П ( — /Т) те г — 101 Легко проверить его сходимость в любой точке г Е Р . Мы получаем, таким образом, отображение т>г поля 7„в себя.
Легко видеть„ что это алдитивный сюръективный зндоморфизм, ядро которого равно Г, т.е, биекция между 7 /Г и 7 . Лринфельд доказал, что, перенося посредством этой биекции естественное действие кольца А с 7 /Г на 7, мы получаем структуру эллиптического А-модуля фг ранга д на 7,: по определению при а е А имеем фг(а)(уг(г)) = пг(аг). Более того, любой эллиптический модуль на Г„получается таким способом из некоторой решетки Г, которая определяется по нему однозначно с точностью до гомотетии. При д = 2 (соотв. д = 1) это описание аналогично обычному аналитическому описанию эллиптических кривых (соотв.мультипликативной группы) над С.
Существенная разница состоит в том, что если дискретная 352 Анри Карайоль Х-решетка в С не может иметь ранг, больший чем 2, то в нашем случае ранг Н может быть произвольным, так как поле Г имеет бесконечную степень над Е 1.3. Многообразия модулей. 1.3.1. Как и в классическом случае эллиптических кривых, мы начинаем с введения понятия структуры уровня 7, где (О) ~ 7СА— »« идеал. Предположим для простоты, что (Ь, ф) — эллиптический модуль ранга Н над А[7 ']-схемой Я. Обозначим через Ьэ подгруппу в Ь, определяемую уравнениями ф(а)(х) = 0 при а Е 7. Можно доказать, что эта подгруппа (с естественным действием кольца А) этальна над 5, а ее слои изоморфны (.7 '/А)г.
Структура уровня ,7 на (Е, ф) по определению состоит из А-линейного изоморфизма ф: (.7 '/А)~з — + 7 з. 1.3.2. Теорема (Дринфельд). Пусть (О) ф .7СА — идеал. Тог«« да функтор, сопоставляющий каждой А[,7 «]-схеме Я множество классов изоморфизма эллиптических модулей ранга д над Я, снабженных структурой уровнл У, представйм гладкой аффинной А[.7 ~]-схемой Мзг чистой относительной размерности д — 1. 1.3.3. Дринфельд показал, что при И = 1 пространство Мэ является спектром нормализации кольца А[7 '] в таком абелевом расширении поля Е, кондуктором которого является .7, которое вполне расщепляется в точке оо и является максимальным среди расширений, обладающих такими свойствами (этот результат похож на теорему Кронекера — Вебера).
При И = 2 пространства Мэг являются аналогами модулярных кривых У(7«'). Аналогия становится более четкой, если воспользоваться результатами р-одической униформизации, дающей описание, похожее на обычное описание кривой У(А7)с как фактора полуплоскости Пуанкаре. При д > 2 обозначим через П" подмножество в Р" ~(Г ), состоящее из точек, не принадлежащих ни одной из гиперплоскостей, определенных над Р (например, Пг = Р'(Г ) — Р~(г' ) — аналог «двойной» полуплоскости Пуанкаре Р'(С) — Р'(В)). Аналитическая теория эллиптических модулей (п. 1.2) дает следующее описание пространства Мзз(7 ): 353 КОМПАКТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ ДРИНФЕЛЬДА где Нг обозначает подгруппу в С1г(А) = 14 С?г(А,), состоящую из элементов, равных 1 по модулю г.
Можно уточнить это описание и наделить пространство Й~ структурой жесткого аналиглического пространстива. Тогда приведенная выше биекция становится биекцией жестких аналитических пространств. 1.4. Когомологии многообразия модулей (д = 2) 1.4.1. При изменении идеала,У аффинные кривые Мгг Р— — МггЗАГ над Н образуют проектпивную систему: если У с У, то ((У) '/А)г вложено в (Г '/А)г; поэтому структура уровня Г ограничивается до структуры уровня У, определяя таким образом (этальный) морфизм из Мгг Р в Мг, Р. Кроме того, зти кривые обладают каноническими компактификациями, которые являются гладкими про— 2 — 2 ективными кривыми над г' и обозначаются МАР. Кривые Мг Р тоже образуют проективную систему.
Зафиксируем простое число Е ф р. Мы будем изучать индуктивный предел групп с-адических когомологий Н' = йяг~Н'(Мгя®РУ,ь4г). д На каждой из этих групп, а следовательно, и на их пределе действует группа Галуа Са!(г'/г'). С другой стороны, группа С1г(А) = (1тС1г(А/,У) действует справа на Мгя изменением структуры уровня, причем действие продолжается и на компактификацию. Аналогично тому, как на модулярных кривых вводится действие операторов Гекке, можно продолжить действие группы С1г(А) до действия группы С1г(А ) на проективной системе пространств Мг Р (но не на отдельных пространствах Мг Р).
Точная конструкция содержится в [ПГ1). Кроме того, в п. 4.2 этого обзора содержится аналогичная конструкция в случае эллиптических с-пучков. Таким образом, в пространстве Н' имеется представление произведения групп Са!(7/г) х С1г(А ). 1.4.2. Точное определение автполгорфного параболического предсгаавленил группы 61 г(А) содержится, например, в (Во-Да). Грубо говоря, это допустимое неприводимое представление, являющееся. подфактором пространства функций на однородном пространстве С1г(Г)~ С1г(А).
Обычно РассматРиваютсЯ пРедставлениЯ над па; лем комплексных чисел, однако в случае функционального поля 354 Анре Каргйоль определение имеет смысл над любым алгебраически замкнутым полем характеристики О, например над полем1 ьЕг (с другой стороны, можно было бы воспользоваться изоморфизмом 14г = — С). Всякое представление П разлагается в ограниченное тензорное произведение по всем точкам х поля г' своих локальных компонент П, (которые являются допустимыми неприводимыми представлениями групп 61г(Г,)).
В частности, можно записать П = П ЗП ,где П ' обозначает ограниченное тензорное произведение компонент П, по х ф оо. Напомним также, что специальное представление (или представление Стейнберга) Я группы 6Вг(Р ) реализуется в факторпространстве пространства локально постоянных функций на пространстве Р'(г' ), на котором эта группа действует правыми сдвигами, по надпространству постоянных функций. Почти все компоненты П, автоморфного параболического представления группы 61 г(А) являются нерозветвлеными представлениями из основной серии, т.
е. получаются унитарной индуКцией из представления подгруппы верхнетреугольных матриц, заданного парой неразветвленных квазихарактеров р, и р', мультипликативной группы г';. 1.4.3. Основная теорема (Пг1] полностью описывает Н' как представление группы 6а)(7/Р) х 6Ьг(А ).
Теорема (Дринфельд). Определенное выше представление Нг изоморфно прямой сумме ® П"'ь гэ о (П '). Суммирование ведется по множеству (классов эквивалентности) допустимых неприводимых С~~-представлений П' группы 61,. (А ), таких, что пред'ставление П = П' х Яь' является автоморфным параболическим представлением Здесь о(П ) — двумерное Ог-представление группы Галуа 6а)(7/г'), характеризующееся следующим свойством: длл всякой точки х поля г", такойь что компонента П„ является неразветвленным представлением из основной серии, ассоциированным с парой квазихарактеров р, и р', группы Р;, ограничение представления о(П ) на группу разложения в точКе х есть сумма пары неразветвленных квазихарактеров, переводящих геометрический элемент Фробениуса в р(ш,) 1д1~г и р'(со,) 1д1~г соответственно. Эта теорема является полным аналогом результатов Эйхлера — Ш1иМур.
Доказательство, данное Дринфельдом, весьма близко к классической теории: аналитическое (жесткое) вычисление КОМПАКТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ ДРИНФЕЛЬДА 355 когомологий в духе «изоморфизма Шимуры» и использование «конгруэнц-формулы м 2. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ПУЧКИ Напомним, что мы предположили, что 1(ей(оо) = 1. Для сокращения обозначений в тех случаях, когда это не может привести к недоразумению, расслоенное произведение Р«-схем В и Т над Р будем обозначать просто через В х Т. 2,1. Определение. Пусть В'есть Р«-схема. Эллиптический пучок ринга с( (с полюсом в оо) на  — это коммутативная диаграмма У1 — 1 ~ У У«+1 в которой У; —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
