Труды семинара Бурбаки за 1992 г (947406), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Скаляр р в формуле (2.5) будет играть основную роль при изучении аналитических свойств фрактала Е. В терминах электрических цепей замена цепи (Ео,ао(33)) на цепь (Гма|(33)) пРиводит (с точки зрения наблюдателя, которому доступны лишь узлы в Ео) к цепи, эквивалентной (Ео, ао(р '33)). Поскольку Сопротивление = 1/Проводимость, естественно назвать р масштабвмм фактором сопротивления. Тесная связь между электрическими цепями и симметричными случайными блужданиями делает возможным вероятностное истолкование величины р. Пусть С вЂ” конечное множество, а а = (а,„), х,у Е О,— матрица проводимости, удовлетворяющая условиям а„= О, а,„=а„, >О, и пусть У„, и > О, †марковск цепь с вероятностями перехода р,„ = а,„/р„ где 3», =,3 „ а,„. Пусть Я, = ппп(п > О; У„ = х) и Н(х, у) — эффективное сопротивление цепи (С, а) между точками х и у. Тогда [С[ Е*Я»+Е"Я, = Н(х,У) ~~~ 3»,.
(2.б) Поскольку последний член может быть истолкован как «масса» це- пи, мы получаем неформальное соотношение Время = Сопротивление х Масса. Основываясь на этом, легко доказать, что для случайного блуждания Х" на (г„,а„(13)) Ет =Мр. Мы назовем М (количество 1-клеток в Е1) масштабным массовъьн фактором фрактэла Е, т = Мр — его масштабным временным фактором и Л (коэффициент сжатия в преобразованиях ф,)— ззо Мартин Барлоу масштабным фактором длины. Отсюда мы извлекаем еще два по- казателя, связанных с Р: д„(Г) = —, !он т 1ой А 2!ок М 1ок т Следуя физической литературе, мы назовем их размерностью блуждания и спекгпраяьной размерностью фрактела Р. (Причины таких наименований станут ясны позднее.) Большинство аналитических свойств фрактвла Р могут быть сформулированы в терминах этих размерностей и размерности Хаусдорфа ду(г'). Разумеется, среди этих величин независимы лишь две, поскольку 2ду(Е) д, (г') Замечания.
1. Для рассматриваемых здесь фракталов, как легко убедиться, р > 1 или, эквивалентно, т > М; поэтому д,(г') < 2. Кроме того, д,(Р) < ду(Р), откуда д (г') > 2. 2. Хотя единичный куб С с Рьз не попадает в множество рассматриваемых здесь фракталов, для него можно определить эти размерности. Имеем ду(С) = д, д (С) = 2, д,(С) = д. 3. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ И РЕГУЛЯРНОСТЬ Зафиксируем теперь какую-нибудь неподвижную точку о с масштабным фактором сопротивления р и будем опускать о в обозначениях типа Ь". Мы масштабируем о так, чтобы д„(о, Е) = М". Мы хотим получить' предел (подходящим образом масштабированного) оператора Ь".
Один из методов — вероятностный. Если Х" есть случайное блуждание на Р„с генератором Ь", то, используя прореживание, получаем случайные блуждания Р„м Г„з и т.д. с генераторами Ь" ', Ь" з и т.д. Переходя к проективному пределу, мы получаем последовательность блуисданий Х", и > О, связанных этим прореживанием. Если масштабировать время, рассматривая процессы К" = Х"...1. ! > О, ганыоничиский анализ на фрактальных пространствах 331 то каждый из этих процессов пересечет Ро за среднее время 1, и нетрудно видеть, что в действительности 1;" -~ 1~ почти наверное и что У есть непрерывный Р-значный процесс.
К сожалению, установление марковости процесса У весьма технично и утомительно. Имеются, стало быть, известные преимущества в использовании более аналитического подхода, намеченного в [Р2). Для 1 Е В(Р ) и и > пт обозначим через Ьт 1 Е В(Р„) такую единственную функцию, что (3.1) Втт1(х) = 1(х), х Е Р„„ Ь"Ьт 1(х) =О, хЕЄ— Р . Назовем функцию 1, для которой Ь"1(х) = О при х е Є— Р, пг-гармонической. Легко проверяется, что Ь г1 есть функция о, доставляющая минимум в формуле (2.3); следовательно, (~'т,т — 11 Ьт,т — г 1) Р Е (1> 1) (3'2) Поэтому, поскольку Е (1, 1 — В, ~(Дг,)) = О, мы имеем Р Е(11) >Р" "Е 'ЯР 1Ь ).
(3.3) Далее мы будем избегать обозначений типа До „распространяя Ет ~ и т. п. на функции на Р. Неравенство (З.З) приводит к простому определению предельной формы Дирихле на Р: для 1 Е С(Р) положим Е(1, 1) = 11ш Р"Е" (1, 1), В = (1 е С(Р): Е(1 1) < со). Теперь мы рассмотрим свойства регулярности формы Дирихле (Е, В). Если 1 Е В(Ро), то, поскольку сп > О для всех г, имеем гнр ~1(х) — 1(у)~~ = Овс(1,Ро) < сеЕо(1,1). *,гегь Так как любая пара точек из Рг может быть соединена цепочкой, состоящей из не более чем М 1-клеток, то для 1 Е В(Р~) Огс(1, Р~) < сеМЕ'(1, 1).
(3.4) Стандартное рассуждение, использующее связывание х, у подходящей башней из г-клеток с О < г < и, приводит к следующему неравенству Соболева: Огс(1,Р„)г < с,р"Е" (1,1), 1 е В(Р„). (35) 332 Мартин Барлоу Если х, у лежат в одном тп-комплексе, то (х — у~ < сЛ и цепочка состоит лишь из и-клеток с тп < г < и. Отсюда следует, что ~~(х) — Ду))~ < са(х — у(" ~'р"б" (1,/).
(3.6) Пусть 'Нп, = (у' Б В(г„): Ь"у(х) = О,х Б Ä— Г ) есть множество тп-гармонических функций на Е'„. Из свойства прореженности следует, что если у Б Яп,, то Др„, Б 'Нп ц„, при и — 1 > т. (Возможно, проще всего увидеть это с вероятностной точки зрения — у(Х") является мартингалом до первого момента, когда Х" попадет в Е, а значит, таков же н процесс у(Х").) Итак, если и > т' > т, то 1,„,.1,, у = Вп, у.
Если д Б В(Г ), то для х Б Г~, = Ц~ агп положим В„,д(х) = Ь„,~д(х) при х Б гп. ПосколькУ Р"'С" (Вп,„д,Ьп,,„д) = Р~б (д,д), то из фоРмУлы (3.6) следует, что функция Ь д равномерно непрерывна на Е и может быть продолжена до функции (также обозначаемой В д) из С(Р), удовлетворяющей равенству с'(Ь д,Ь д) = р™б (д,д). Отсюда получается, что 0 (Ьтпд~ д Б В(Гт)) С З пь=о и множество Э плотно в С(г). А это, вместе с тем фактом, что Э с С(Е), доказывает регулярность формы Дирихле (б, Э).
ПУсть д есть слабый пРедел меР М пдп, так что Р(Е) = 1 и в смысле меры р каждый и-комплекс имеет массу М ". (Мера р кратна хаусдорфовой х~т-мере на г, а также является образом при отображении ф равномерной меры произведения на абстрактном пространстве последовательностей Е~.) Поскольку рпЯ~У д) ~~~ а1 — пр (х)тпДпу(х)д(х) пер» определяя Ьр как самосопряженный оператор на Ьа(г, р), ассоциированный с (б, Ю), формулой б(у,д) = — (бр~,д), получаем, что тая аппроксимируется последовательностью тита™. Подытожим свойства б, Ьр и ассоциированного диффузионного процесса Х в следующей теореме.
гармонический Анализ нл Фрактальных пространствах 333 Теорема 3.1. (а) Пара (Е,'П) является регулярной локальной фор- мой Дирихле на Р(Г, р). (Ь) Для 1 Е 'П, х, у Е Г 17(х) — у(у)1 < с1х — у! " ~'Г(у,у). (3.7) (с) Для У Е '0 р"е Ыр., г '1к.) Т б(У, У). (с)) Оператор Ьр на Ег(Р, р) самосопряжен и Р(Ьг) С Р, причем б(У,у) = — (~1кУ у), ЬрДх) = 11ш т"Ь",((х), х Е Р Стандартный лвлласиан на 1ьа может быть охарактеризован (с точностью до умножения на константу) как единственный оператор второго порядка, инвариантный относительно всех изометрий пространства В.г.
Естественно поинтересоваться аналогичной характеризацией для Ьр. В общем случае ответ неизвестен — это связано с упоминавшейся ранее проблемой единственности неподвижных точек. Однако для салфетки Серпинского (когда неподвижная точка очевидным образом одна) в [ВР] доказано, что, с точностью до детерминистской замены времени, Х есть единственный процесс, который локально инвариантен относительно локальных изометрий фрактала Г. Отсюда вытекает соответствующая единственность для оператора йг.
4. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОПЕРАТОРА Ьг Мы начнем с определения плотностей потенциалов и , о > О, х, у Е Г. Формально они являются решениями уравнения (а — ~1г) .(,у) =бе(). Они могут быть определены с помощью процесса Х как плотности относительно меры р о-резопьвент У У(х) = Е* 1 е "ДХ~)й. lо (4.1) (е) Если (Хы 1 > О, Р, х Е Р) есть диффузия (непрерывный стро- го марковский процесс) с полугруппой Р, = е'а, то Х является слабым пределом процессов Ъ~" — — Х1"„,1. Процесс Х симметричен относительно меры,и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
