Труды семинара Бурбаки за 1992 г (947406), страница 61
Текст из файла (страница 61)
ВВЕДЕНИЕ Интерес к отой области возник в начале 1980-х годов у специалистов по математической физике, изучавших свойсгпва проводиагосгпи неупорядоченных сред. Имелись основательные причины верить, что фракталы могут оказаться хорошей моделью для таких сред — это и привело к изучению вопросов, связанных с волновым уравнением и уравнением теплопроводности на фрактальных пространствах; см., например, [ВТ].
До сих пор математическая работа концентрировалась главным образом на более простых уравнениях — уравнении Лапласа и уравнении теплопроводности. Она началась с вероятностных рассмотрений в работах Кусуоки [К1], Голдстейна [О] и Барлоу — Перкинса [ВР], а аналитические рассмотрения, существенно использующие формы Дирихле, были проведены преимущественно в Японии; см. [К!81, К!к2, Р2, К2].
Наибольшие проблемы и трудности возникли, естественно, на микроскопических масштабах из-за отсутствия какой-либо евклидовой структуры. Однако для регулярного фрактала, например салфетки Серпинского, можно определить предфракгпальное многообразие или граф, крупномасштабная структура которого изображает структуру настоящего фрактала. Эти предфракталы являются совершенно классическими объектами, но классическая техника не способна указать, например, правильные границы ядра теплопроводности на таком объекте.
Теперь более конкретно опишем проблемы, которые будут рассмотрены. Пусть Р С В." — связный самоподобный фрактал, ГГГ(Г) — его размерность Хаусдорфа, а Гвр — хаусдорфова хвгГ~)-мера на Р. Уравнение теплопроводности на Р имеет вид ди сари = —, и(х,О) = ио(х), х Е г', дг ' 0 Вм!ов Маге!и. Наппоп!с апа!увм оп !гас!аГ врасев.— звпппа!ге Воогъаю, 1991 — 92, и 755, Ав!4пвоое, 206 11992), р.
345 — 368. 324 Мартин Барлоу где и: Р х К+ — > К, ио Б С(Г), а Ар — оператор Лапласа, действующий на подпространстве ь'(дахр) с С(Р). Немедленно возникают следующие проблемы: (1) Существование. Конструкция подходящего оператора Ар, являющегося Р-изотропным, т.е.
локально инвариантным относительно локальных изометрий фрактвла Р. (й) Единственность. Определяется ли оператор Ая свойством Г-изотропностиУ (ш) Свойсгпва. Свойства решений уравнения Лапласа и уравнения теплопроводности, ассоциированных с йр, и форма спектра оператора йр. К этому мы добавим и вопросы о марковском процессе Х~ с генератором Ар и полугруппой Рг — — ехр(гак). 2.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФОРМЫ ДИРИХЛЕ В первых работах рассматривалось множество, которое является простейшим нетривиальным связным фракталом,— салфетка Серпинского. Дальнейшие работы распространили большинство полученных результатов на более широкий класс множеств: гневдовые фрахталы [Ь], р.с.~-самоподобные множества, а также на более широкий класс, включающий ковры Серпинского [КЕ]. Однако в этом обзоре я, по большей части, ограничусь подмножеством гнездовых фрактэлов, которое достаточно широко для того, чтобы прочувствовать основные особенности предмета. На самом деле ясно, что более сложные множества демонстрируют тот же тип поведения, что и простые, и лишь доказательства аналогичных результатов становятся сложнее.
Пусть Го — — (ам..., аг) — множество вершин правильного и-угольника в Кг, а Но — замкнутая выпуклая оболочка множества Ро. Пусть А > 1, М > в, агам...,ам Б Кг и преобразования ф,, 1 < 1 < М, определены формулой ф,(х) = аг+Л '(х — а;). Мы будем предполагать, что (А1) (Симметричность) Множество [ан 1 < 1 < М) обладает такими же симметриями, как и Ро. (А2) (Вложенность) ф,(Но) С Но.
(АЗ) (Связность) Множество Н1 = [А"', ф;(Но) является связным. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НА ФРАКТАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 325 (А4) (Условие на открытые множества) Множества 1пС(ф«(Не)), 1 < 1 < М, не пересекаются. (А5) (Конечная разветвленность) Если х,у Е Но и фч(х) = ф (х) при 1ф у, то х,у Е Го. Замечание. Отметим, что предположение (А5) отметает фракталы типа ковра Серпинского. Это предположение на самом деле весьма сильно и, как мы увидим, позволяет рассматривать разные «уровни» фрактала по-отдельности. В большей части работ, сделанных до сих пор, это предположение используется существенным образом. Тем не менее, ценой нелегкой работы возможно разобраться с ковром Серпинского, по крайней мере, в размерности два (см.
[ВВ1, ВВ2, ВВЗ, КХ]). Пусть Ф(.) = 0'ы ф;(.). Положим = И Ф"(Не), Еь = 'Р"(Не) ь=о Множество г' является гиездоемм фрак«палом размерности «11(Г) = 1окМ/1обЛ и аппроксимируется конечными множествами Г„. Полезно ввести координаты с помощью абстрактных пространств последовательностей. Пусть 1 = (1,...,М); для ю («ы...,»„) Е 1" положим ф„,=фи..; =фио.. оф; Мы будем называть множества ф (Ге), ю Е 1", п-клетками, а множества ф (Нс), ю Е 1", и-коэ«плаксами. Для ю Е 1 пишем ю[п = (»ы...,1„) Е 1" и заметим, что пересечение ф (Не) = ] ] 4 И(Не) п=е состоит из одной точки, обозначаемой ф(ю). Легко проверяется, что отображение ф: 1~ -+ Г непрерывно и сюръективно, но не инъективно. В случае салфетки Серпинского, например, имеем ф(12) = ф(21). Фактически можно определить фрактал чисто абстрактным способом, рассматривая множество 1 с точностью до эквивалентности, отождествляющей подходящие последовательности указанного вида — это сделано в [К1я2].
326 Мартин Барлоу Приступим теперь к определению форм Дирихле на конечных множествах Г„. Пусть Л = (а Б Кь ': а; = аь;, 1 <1 < и — Ц, и положим для т1 у Б Р», а Б Л а;, если х, у принадлежат одной тмклетке а„(а, х, у) = и отстоят на т' шагов по окружности, О в противном случае, д„(а, х) = ~~ а„(а, х, у). Заметим, что д„(а, Р„) = М" 2 сп и что д»(а,х) зависит от а толь- ко через сумму Я ар Для у Б В(г„') = К~" положим Е" (7, у) = ~ ~~~ а„(а, х, у)Ц(х) — у(у))з.
(2.1) Мы можем интерпретировать форму Дирихле Е несколькими способами. 1. Ксли мы рассмотрим (Г„,а„(а)) как электрическую цепь, в которой перемычка метцлу х и у имеет проводимость а„(а, х, у), то Е" (у, у) есть диссипация энергии, если к цепи приложен потенциал у. 2.
Дискретный лапласиан Ь" на Р„определяется формулой Ь"Дх) = р»(а,х) ~ ~~ а„(а,х,у)Ц(х) — 1(у)), и, обозначая через ((,д) скалярное произведение с весом н(а,.), получаем Е."И д) = -(~."Лд), 1,д Б С(Р )- Случайное блуждание Х,", г ) О, с генератором ~1" и формой Ди- рихле Е„" определяется'условием Р(Х„"= у~Х," = х) =р"(х,у) = а„(а,х,у)/р»(а,х). Мы обозначим через Р" (х, у) распределение для этого случайного блуждания. 3. Иногда полезно записать определение (2.1) в матричной форме. Пусть А (= А" (а)) есть матрица, определенная формулой А,„= б,„р»(а, х, у) — а„(а, х, у); ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НА ФРАКТАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 327 тогда бпУ У) уТАу (2.2) Фундаментальное свойство конечно разветвленных фракталов состоит в том, что операция прореживанияИ действует в этом случае самым непосредственным способом.
Сейчас мы определим ее. Для данной формы с" и функции д е В(Рп») определим прореженную форму Дирихле (2.3) Теорема 2.1. Отображение бп является формой Дирихле и су- ществует такой элемент а(о) Е й, чтло бп бв Это утверждение проверяется непосредственно. Отметим, что минимизирующая функция 7' в (2.3) удовлетворяет соотношению (2.4) Ь~7(х) = О, х Е Рп — Рп г и что у внутри (п — 1)-клетки Ф (Но) зависит только от значений функции д на 1,„(Ро). Таким образом, доказательство немедленно сводится к случаю и = 1. Теперь мы прокомментируем разные интерпретации этой операции.
1. В терминах электрических цепей мы можем рассматривать (Рп,ап(а)) как «черный ящик», в котором доступны лишь узлы из Рп ы Тогда цепь (Рп,ап(о)) дает тот же отклик (в терминах диссипации энергии, токов и т.п.) на возбуждение в Рп ы что и цепь (Рп ыа -г(а)). 2. Мы можем «проредить» случайное блуждание (Х,",г < 0), положив То = ппп(г > 0: Х,п Е Рп Тп — — пйп(г > Тш-1 . .Хп Е Рп — г — (Хт г)), Х„"=Хт, Г>0. Тогда случайное блуждание (Х", Рп) эквивалентно по распределе- нию блужданию (Хп ',Р-" ').
Н В оригиивяв — И«пипа»»пп. — Лрпм. перев. 328 Мартин Барлоу 3. В матричных терминах мы запишем векторы у Б В.~" так, чтобы в начале стояли координаты в Е„т. Тогда 1т В„(а) С„(ст) '1 () С() Р() а матричные коэффициенты, отвечающие форме Дирихле Ь", суть А„(а) = В„(тт) — С„(ст).0„(тт) тС„(тт) Операция прореживания позволяет нам свести многие вопросы, касающиеся форм Дирихле Ь'", к поведению итераций отображения ст. В частности, представляют особый интерес (аффинные) неподвижные точки функции а, т. е. такие элементы 13 Б Л, что а(13) = 33(р для некоторого р ) О.
(2.5) Эти неподвижные точки отвечают процессам и операторам на Е с правильными скейлинговыми свойствами относительно преобразований ф,. Поскольку отображение а является непрерывным, теорема о неподвижной точке, примененная к симплексу Л' = (тт Б Л: 2 нч = 1) показывает, что хотя бы одна неподвижная точка существует. Применение отражений (Е, СЬ. У) показывает, что для гнездовых фракталов существует хотя бы одна неподвижная точка, которая невырожденна в том смысле, что сп ) О для всех г, а потому электрическая цепь (Ры ат(о)) связна. Общая проблема существования и единственности (невырожденных) неподвижных точек представляется достаточно сложной.
Естественный подход состоит в том, чтобы показать, что отображение ст есть стягивание на Л' в смысле некоторой метрики И, но найти такую метрику нелегко. В [ВЦ имеются некоторые частные результаты, приводящие к подходу, который может оказаться эффективным для общих гнездовых фракталов, но который ие работает для общих р.с,б-самоподобных множеств. Кажется также правдоподобным, что любая невырожденная неподвижная точка 33 будет также устойчивой; и опять это было бы установлено, если бы можно было найти подходящее стягивание.
Проблема. Может ли отображение ст иметь более одной невы- рожденной неподвижной точки? Всегда ли невырожденные неподвижные точки являются устойчивыми? ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НА ФРАКТАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 329 Замечание. Легко видеть, что отображение Н может иметь одну или более вырожденных неподвижных точек — примеры имеются в [Ц и [ВЦ. Возможно также, что для р.с.б-самоподобных множеств не существует невырожденных неподвижных точек — см. пример в [ННЧ~].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
