Труды семинара Бурбаки за 1992 г (947406), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Запишем его в виде Е(В,т) = (0(В,т),Я(В,т)) = (В+ ф(В,т),Н(В,т)). Определения., Диффеоморфизм Е называется ° симпаектпическим, если Е'ю = ш; ° точным симплектпическим, если форма г'*и — о точна; ° монотпоннъиц если отображение д„ф всюду обратимо; ° строго монотпонным, если для всех В й Т" отображение т. т-т ф(В, т) является диффеоморфизмом пространства К"; ° вполне интпегрируемым, если Н(В, т) = т и ф(В,т) = ((т) не зависит от В. Если отображение Тл (В, т) ~-+ (В + 1(т), т) вполне интегрируемое и симплектическое, то для всех т Б К" дифференциал В1(т) является симметричной матрицей. В этом случае ( = ТЙдля некоторой функции 1 Б С~(Кп). Жан-Кристоф Йоккоз 299 2.5. Диофантовы условия.
Пусть 1 > О, т > О, и > 1. Положим ((од,...,он) б Н.",УУс Е 2" ~ (О), /'~ Усто;~ >~( р[Ь])' " '] [ ] СРН„( т, .), СРН„= [ ] СРН (т), т>о т>0 ((ом...,он) Е К",УЬ й Х" 1 (О),'т1 6 Е, [1+ ~ Усто,! > у(зир[Ьт[) " '], [ ] СР„("у,т), СР„= Ц СР„(т). СРН„( у, т) СВН„(т) СР„(у,т) СР„(т) т>о т>0 Для т > О множества СР„(т) и СРН„(т) имеют полную меру Лебега, однако они тощие в смысле Бара (для и > 2 в случае СРН„). Множества СР„(т,т) инвариантны относительно целых сдвигов; мы сохраняем те же обозначения для образов этих множеств в Т".
2.6. Теоремы о локальной сопряженности на торах. Для о й Т" обозначим через Н сдвиг д т-т о + а тора Т". Для о е Н." через Х обозначим векторное поле 2" отде, Через Ртйо (Т") обозначим множество диффеоморфизмов Ь тора Т", гомотопных тождественному и удовлетворяющих условию ] (Ь(о) — У)т1т = О. Теорема. Пусть о й СР„. Всякий диффеоморфизм т тора Т", достаточно близкий к Яь, может баять единственнтям образом записан в виде у' = А» о Ь о Я о Ь т, где точка Л Е Т" достаточно близка к О и диффеоморфизм Ь й Ртйо~(Т") близок к тождественному. Теорема.
Пусть о Е СРН„. Всякое вектпорное поле Х на Т", достатпочно близкое к полю Х„, единственным образом записывается в виде Х = Х» + Ь,Х, где точка А й К" достпаточно близка к О и диффеоморфизм Ь и РН„(Т") достаточно близок к тождестпвенному. Если график функции тр й С (Т",К") представляет собой лагранжево подмногообразие, то ф = [4т]+ От)т для некоторой функции тг' й С~(Т"), [ф] = ] Ф дт (где через Ит обозначена мера Лебега на Т"). РАБОТЫ ЭРМАНА ОБ ИНВАРИАНТНЫХ ТОРАХ 299 Отображение у «+ (Л,Ь) (соотв. Х э (Л,Ь)), определенное в окрестности сдвига Н (соотв.
в окрестности поля Х ), является хорошим отображением класса С' в смысле Гамильтона [На1, Н10, Во]. Если у сохраняет меру Лебега (соотв. если поле Х бездивергентно), то диффеоморфизм сопряжения Ь сохраняет меру Лебега, так как сдвиг Н (соотв. поле Х ) является однозначно эргодическим (т. е. мера Лебега является единственной инвариантной относительно него вероятностной мерой). Гораздо более элементарными методами можно получить следующее утверждение. Предложение. Пусть о Б СРН„, 4 Б С (Т"), 4 > О. Тогда существуют единственное вещественное число с > 0 и единственньгй ди4феомор4изм Ь Б Р1К~~~(Т"), такие, что 4~Ха — — Ь,Хсь.
2.7. Нормальная форма Биркгофа. Пусть г' — симплектический диффеоморфизм симплектического многообразия (М, ы). Тогда Ь-мерный тор Т, инвариантный относительно Г, называется диофантовым, если существуют точка о Б СРг и диффеоморфизм Ь:ТЯ -+Т,такие, чтоЬоА оЬ ' =Р~т. Замечания. 1) Если заменить диффеоморфизм Ь диффеоморфизмом Ь о А, А Б СР(Ь, Е), то точку о следует заменить точкой А 'сг.
2) 2-форма Ь'(а0т) инвариантна относительно эргодического сдвига Н; поэтому у нее постоянные коэффициенты. Если симплектическая форма ы точна (например, если М = Т'У), то должно выполняться условие Ь" (ы~т) = 0; отсюда вытекает, что Ь<-г'01 М. Пусть теперь Т вЂ” инвариантный диофантов лагранжев тор. Предложение. Длл всякого и > 0 существует симплектическое вложение Н некоторой окрестности нулевого сечения Т" х (0) в Т" х К" в М, такое, что Н(Т™ х (0)) = Т и Н ' оРоН(д,г) = й+~~~ Ь(г)+о,г +0()(г() +'); 1 здесь Ь(г), 1 < 1 < т, — однородное полиномиальное отображение степени 1 из Ня в К" вида Рц (где Г; — однородный многочлен степени 1 + 1 в К") . Жан-Кристоф Йоккоз Замечания.
Если заменить вложение Н вложением Н о Т'А, А Е СР(п, Е), то многочлены 1, следует заменить многочленами Цо'А г. Сигнатура квадратичной формы (г при этом не меняется. Определение. Тор Т имеет вырожденное (положительное, отрицательное, индефинитное, нулевое) кручение, если квадратичная форма 1 вырожденная (положительно определенная, отрицательно определенная, индефинитная, нулевая). Для гамильтоновых векторных полей справедлив аналог сформулированного выше предложения: в окрестности инвариантного диофантова лагранжева тора всякое гам нльтоново поле можно приблизить, с точностью до произвольного порядка, вполне интегрируемым гамильтоновым полем. 2.8.
Теоремы КАМ. Полное изложение и весьма детальная библиография по различным вариантам теорем КАМ приведены в [Во[. Мы процитируем лишь один из результатов. Теорема. Пусть (М~",ы = аи) — точное симплектическое многообразие и го — его елочный симплектический диффеоморфизм. Пусть сг Е СР„и По . Т" — ~ М вЂ” вложение (автоматически лагранжево), такое, что его образ То = Ао(Т") инвариантен относительно Ро и что Йо о На о Йо — по[то Дзя всякого точного симплектического диффеоморфизма Г, достаточно близкого к гш существует (лагранжево) вложение Ар: Т" -+ М, близкое к Ьо, такое, что тор Тк = Аг(Т") инвариантен относительно г' и что А ° о Л„о А . = Р[т .
Отображение г' ~+ йк является хорошим отображением класса С~ в смысле Гамильтона. 3. КОНТРПРИМЕР К С -ЛЕММЕ О ЗАМЫКАНИИ ДЛЯ ГАМИЛЬТОНОВЫХ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ 3.1. Лемма о замыкании. Пусть М вЂ” многообразие, на котором задан диффеоморфнзм у (или поток (('),ен, ассоциированный с РАБОТЫ ЭРМАНА ОБ ИНВАРИАНТНЫХ ТОРАХ ЗО1 векторным полем Х). Точка х Е М называется (положительно) рекуррентной, если 1пп «1(у*(х),х) = О. «->+с» Проблема «замыкания» состоит в следующем: можно ли так возмутить отображение у (или векторное поле Х), чтобы точка х стала периодической? Проблема сформулирована для произвольных диффеоморфизмов, однако ее можно ставить и для классов отображений и векторных полей, удовлетворяющих некоторым ограничениям: диффеоморфизмов, сохраняющих объем, симплектических диффеоморфизмов, гамильтоновых векторных полей, биголоморфных диффеоморфизмов,,...
Ответ на эти вопросы существенно зависит от топологии пространства возмущений. В классе всех диффеоморфизмов ответ тривиально положителен для Со-малых возмущений; для С'- топологии ответ по-прежнему положителен, но это трудная теорема, принадлежащая Пью [Рн]. В С~-топологии Гуттиерес [Сп] сконструировал векторное поле на Тз с рекуррентной точкой х ф О, которую нельзя сделать периодической Сз-малым возмущением с компактным носителем в Т 1 (О).
Для С~-топологии на компактном многообразии вопрос остается полностью открытым. Пью и Робинсон [Р— К] распространили результат Пью на класс гамильтоновых векторных полей: если точка х рекурреитна для гамильтонова векторного поля Хн„то можно так возмутить гамильтониан Но в С -топологии, что точка х оказывается периодической 2 для поля Хн при некотором Н, Сз-близком к Но. Приводимый ниже пример был предложен Цендером [Х1] для доказательства того, что компактная поверхность уровня гамильтониана может не содержать периодических орбит.
Эрман показал, что тот же самый пример служит контрпримером к «лемме о замыкании» в топологии С" (при достаточно большом к) в классе гамильтоновых векторных полей. 3.2. Пусть о Е СРН»„~ и А Е Сь(2п,В.) — кососимметрическая матрица вида Г Н А= [ ), НЕМ(2п — 1,К). Снабдим Тз" ' х [ — 6, б] постоянной симплектической формой ыд, ассоциированной с матрицей А (ср. п. 2.3). Жгн-Кристоф Йоккоз Положим Но(В,т) = т. На каждой поверхности уровня энергии (т = то) гамильтоново поле Хи, совпадает с постоянным полем Х на Тг" ' Рассмотрим теперь гамильтониан Н Е С (Тг" ' х [ — б,б]), С -близкий к Но, и число то Е [ — б/2,б/2].
Поверхность уровня (Н = то) является графиком Т некоторой функции гб С -(Тг--', [-б, б]). Положим К(В,т) = т — $(В), так что Т = (К = О). Поля Хн и Хк на Т коллинеарны. Поле 2 = — В~угф +Х на Тг" ' ЯвлЯетсЯ пРоекцией огРаничения Хк]т. Так как матрица В кососимметрична, поле В бездивергентно, и так как Х близко к Х, его можно записать в виде (ср. п. 2.6) г=х,+ь.х., где й й ПгЯа(Тг" ') сохраняет меру Лебега. Итак, ЪЬ =о= Ь,Х Ь „ откуда Л = О. Таким образом, поле Хк на Т сопряжено полю Х; согласно п. 2.6, поле Хн на Т сопряжено полю Х, для некоторого с, близкого к 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
