Труды семинара Бурбаки за 1992 г (947406), страница 57
Текст из файла (страница 57)
В результате мы доказали следующее утверждение. Теорема [Н1, Н2]. Для всякого гамильтониана Н, достаатаочно близкого к Но, и всякой поверхности уровня энергии (Н = то), [то[ < б/2, векторное поле Хн на (Н = то) сопряжено диофантлову полю Х,, с > О. В частности, областпь (]Н[ < б/2) не содержит периодических орбита поля Хн. Замечания. 1) Предыдущий пример можно распространить на Тг", а затем разбить точки тора Тг" на симплектические слои, получив при этом несчетное семейство компактных симплектических многообразий, на которых воспроизводится описанное выше явление. Этот результат нельзя, однако, распространить на точные симплектические многообразия (ср. п.
2.7), если и > 1. «Лемма о замыкании» для гамильтоновых векторных полей на кокасательном расслоении (например) остается открытым вопросом. 2) Для о б СВНг„г(О) в условиях предыдущей теоремы достаточно потребовать, чтобы Н был С"-близким к Но для всех й>2п. РАБОТЫ ЭРМАНА ОБ ИНВАРИАНТНЫХ ТОРАХ 303 3) В следующем разделе мы приведем более тонкий пример, иллюстрирующий жесткость числа вращения. 4. ИНВАРИАНТНЫЕ ТОРЫ КОРАЗМЕРНОСТИ 1 4.1. Теорема о сдвинутых торах [Н7]. Для п > 1, б > 0 положим В" = Т" хВ., В"(б) = Т" х[ — б,+б] иобозначим через рг .
В" » Т" и рг . .В" — » В. проекции на сомножители. Для (Л, р) Б В" обозначим через Нх „сдвиг (д, т)»-+ (д+ Л, т+ р). Рассмотрим вложение Ро. В" (б)» В" класса С, удовлетворяющее условию го(д, 0) = (д+ О,О) при о 6 СР„. Теорема. Для всякого вложения Г: В"(б)» В", достаточно близкого к гш существуют сдвиг Нх „многообразия В", функция ф Б С (Т") со средним значением 0 и диффеоморфизм Ь Б ВНо (Т"), такие, что 1) вложение Р = Вл „о г сохраняет график функции уц 2) для д Б Т" Г(д,ф(д)) = (у(д),ф(7"(д))), где у = Ьой оЬ '.
Дополнения. 1) Для Р = го имеем Л = р = О, ф = О, Ь = Ы; если вложение Р близко к го и мы потребуем, чтобы Л, р, ф были малы, а диффеоморфизм Ь был близок к тождественному, то эти данные однозначно определяются условиями теоремы. 2) Наилучший подход (по крайней мере, наиболее приятный и гибкий) к формулировке многочисленных теорем о малых знаменателях принадлежит Гамильтону [На1, На2, Н10, Во]; он вводит понятия «хорошего пространства Фреше» и «хорошего отображения класса С" » хороших пространств Фреше, для которого остается верным локальная теорема об обращении (или о неявной функции) . (При этом, однако, необходимо проверить обратимость дифференциала в целой окрестности рассматриваемой точки.) За более детальным описанием следует обратиться к [Во].
Доказательство теоремы, набросок которого мы приводим ниже, показывает, что отображение Г»-» (Л,д,ф,Ь) является хорошим класса С в смысле Гамильтона. 3) Зафиксируем т > О, у > О. Для всех а' Б СП„( у, т) можно применить теорему к Н о о Ро, тогда для Г из окрестности У Жан-Кристоф Йоккоз 304 вложения го теорема обеспечивает существование таких Л, р ЦР, ф.,(й)) = У. (В), ф., У..(В))) — (Л... ~.,), 1а' — йа' О Да' О Ь В приложениях чрезвычайно существенными оказываются следующие два факта. ° Пересечение всех окрестностей С для о' Е СР„(з,т) тоже является окрестностью вложения гш ° Отображение о' ~-+ (Л, р, ф, Ь ) является гладким в смысле Уитни. Следующее фундаментальное замечание Боота позволяет легко доказать эти утверждения: посмотрим на доказательство теоремы при фиксированном о, основанное на подходе Гамильтона; вводятся хорошие пространства Фреше гы.гт,...
и хорошие отображения Ь1 . Г1 -ь гт,.... Считая затем о параметром, заменим пространства ты гт пространствами Г1 —— С~(СР,(.~,т),г1), Рт —— Сг(СРВ( у,т),гт) и отображение Ь1 отображением Х1 . .г1 -э Рг. Тогда Гы г"т вновь являются хорошими пространствами Фреше, а Х1 — хорошим отображением, что и позволяет сделать необходимое заключение.
4.2. Некоторые указания к доказательству. Пусть К1 — диффеоморфизм многообразия Т" х Т' = Т"+', совпадающий с ге в окрестности сечения Т" х (О). Положим С1 = (ф Е С' (Т"), фут = О), С = С," с С (Т", Н"), Сз = (д Е С (Т"~'~рь"+ )~й~т" х(о) = 0). Для ф е С1 положим нЕ(п, т) = (д, г+ ф(р)). Для ф Е С положим на(р, ) = (В+ф<В),т).
РАБОТЫ ЭРМАНА ОБ ИНВАРИАНТНЫХ ТОРАХ 305 Для д е Сз положим Вт(В, т) = (В,т) + д(В, т). Мы хотим доказать, что отображение Ф: Т" х К х Ст х Сз х Сз -+ РтН (Т"+'), (Л, д, ф, ф, д) т-т НА „о Ке о На о Лц о Ят о Н ' о К определенное в окрестности начала координат (0,0,0,0,0), является хорошим диффеоморфизмом класса С в смысле Гамильтона окрестности начала координат на окрестность диффеоморфизма Ьт в Р111 (Т"+').
Для этого достаточно проверить выполнение условий теоремы Гамильтона о локальном обращении. Здесь мы проверим только, что дифференциал РоФ отображения Ф в начале координат обратим. Имеем РоФ(Л,„,ф,ф,д) =(Л„п)+В.Г, +Б, +Б„ Бт(В,т) = (фор, о Е~(д,т),0) — Р1ет1Еъ(ф(В),0), Бт(В,т) = (О,ф о р, о Ьт(В, т)) — Р1А,1Ут(О,ф(В)), Положив а(В) = д„(рт о Ьт ЦВ, 0), получаем Бт(В,О) = (Ф(В+ а) — ф(В), 0), Бт(В,О) = (О,ф(В+ а) — а(В)ф(В)). Возьмем т1т е С (Т"+', ть"), т1з е С (Т"+', Н.) и рассмотрим уравнение РоФ(Л, К ф, ф, д) = (т1т, т1 ).
Получаем т1т(В,О) = Л+ф(В+ ) — ф(В), откуда однозначно находятся Л е Н." и ф е Сз. Аналогично, т1з(В,О) = д+ ф(В+ а) — а(В)ф(В), откуда однозначно определяются тт е К и ф е Ст. записав а(В) = а' Ь(Ь(+) —, а' ф О, Ь ) О, 1ок Ь Е Ст, решаем затем уравнение (ср. [Н91) Ь(В+ а)туз(В,О) — РЬ(В+ а) = Ьф(В+ а) — Ьф(В)а'. Жан-Кристоф Йоккоэ 306 Наконец, нужно получить д о Еа(д, т) = (тл (В, т) — т (В, 0), пг(д, т) — пг(д, 0)), откуда д определяется однозначно.
Таким образом, мы показали, что РоФ обратим. 4.3. Жесткость числа вращения. Приводимая ниже лемма служит решающим этапом в применении теоремы 4.1, которое будет дано в п. 4.5. Возьмем два целых числа Ь, п, 0 < Ь < и, и открытое множество У С К~. Снабдим Тг" ~ х У постоянной симплектической формой ы; обозначим через р1 .
Тг" ~ х У вЂ” а Тг" а каноническую проекцию. Пусть Н Е С' (Тг" а х У) — гамильтониан, Хн — соответствующее гамильтоново векторное поле, Л е Кг" ", Ха = ~ Л,д/ддь У = Хн + Хм Лемма. Нредпололсим, чтпо 1) поле У касаетсл графика Т некоторого гладкого отображев о'; 2) ры(Цт) = Ь,(Х ), где Ь вЂ” гомотопный тождественному диффеоморфизм тора Тг" а, а Х вЂ” постолнпое зргодическое поле на 1го-а Тогда вектор Л вЂ” о лвллетсл ы-ортогональным подпространстиву Кг" а х (О). Доказатпельство. Отождествим тор Тг" " с нулевым сечением Тг" " х (0); положим 1'(В) = (В, ф(д)), ы1 — — ы( г .-а, ыг — — 1'ы.
Так как отображение г гомотопно включению Тг" ~ х (0) Тг" ~ х К.", формы ыа и ыг когомологичны; аналогично, так как Ь гомотопно тождественному отображению, ыг и Ь*ыг тоже когомологичны. Формы ы1 и Ь'ыг когомологичны и имеют постоянные коэффициенты (так как поле Х эргодично); поэтому они равны. Положим У1 — — ры(У(т). Поле У является симплектическим; следовательно, форма рты замкнута; имеем у'(гуы) = ау,ыг, и эта форма когомологична форме Ь'(гт,о~г) = ах.ыь С другой стороны, гуы = 1х ы + гх„ы, где форма ах„ы = дН точна и 1'*(ах,ы) когомологична форме 4х„ыь Поэтому формы гх„ы1 и ах„ага когомологичны; так как их коэффициенты постоянны, то они равны, что мы и хотели показать. РАБОТЫ ЭРМАНА ОБ ИНВАРИАНТНЫХ ТОРАХ ЗОТ 4.4.
Гипотеза квазиэргодичности. Гипотеза квазиэргодичностн представляет собой попытку (как мы увидим, безуспешную) дать строгое математическое обоснование статистической механики. Гипотеза эргодичности Больцмана [«временные средние равны пространственным среднимь) на современном языке (Биркгоф, Купман [ — К]) означает, что для [почти) всех собственных гамильтонианов Н на симплектическом многообразии [М, ы) и для [почти) всех значений энергии поле Хн является эргодическим на каждой компоненте связности уровня энергии. Теоремы КАМ показали несостоятельность этой гипотезы: для некоторого открытого множества гамильтонианов Н существует открытое множество значений энергии, такое, что на каждом из соответствующих поверхностей уровней энергии имеется множество инвариантных лагранжевых диофантовых торов положительной меры.
Требование эргодичности поля Хн на каждой компоненте связности почти всех уровней энергии можно заменить значительно более слабым: для плотного множества значений энергии поле Хн должно иметь всюду плотную орбиту на каждой компоненте связности соответствующего уровня энергии. Отсюда вытекает формулировка гипотезы квазиэргодичности [ЕЬ, Р]. При 41шМ = 2 справедливость этой гипотезы тривиальна; при 41шМ = 4 гипотеза неверна, так как в силу теорем КАМ диофантовы инвариантные торы разделяют поверхность уровня энергии.
В следующем пункте мы объясним, следуя Эрману, почему на некоторых симплектических [не точных) многообразиях существует открытое множество гамильтонианов и открытое множество уровней энергии, для которых канторово множество инвариантных днофантовых торов йоразмерности 1 препятствует появлению плотных орбит на соответствующей поверхности уровня энергии.
4.5. Контрпример к гипотезе квазиэргодичности [Н7]. Введем на многообразии Т«" х [ — 4,+б]«[с координатами ды..., От„, г„г2) постоянную симплектическую форму ыл, ассоциированную с кососимметрической матрицей А Б СЦ2п+ 2, В.) вида О О О 1 О В ~У ~1У О вЂ” ~3 ΠΠ— 1 —,3' О О где В Е М(2п — 1, В.),,9' Б СВэ„н;3 Б Рь~" ', ~3 ф О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
