Труды семинара Бурбаки за 1992 г (947406), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Предложение показывает, что при а ф В предельное отображение Е имеет последовательность периодических орбит, накапливающуюся к О, и, следовательно, нелинеаризуемо. 278 Рикардо Перес-Марко 4.3. Модификация для диффеоморфизмов окружности. Здесь доказательства весьма техничны, и мы дадим только некоторые указания на изменения по сравнению со случаем ростков. Имея дело с диффеоморфизмами окружности, мы работаем в пространствах 5(а, с»), и полезно воспринимать вещественную прямую «продолженной до +гсо» по аналогии со случаем ростков. В действительности, когда Ь велико, все проходит, как если бы мы работали в пространствах Я(а). Нужно просто все делать симметрично по отношению к вещественной оси.
Для аналитических диффеоморфизмов окружности устойчивость окружности Я~ также эквивалентна линеаризуемости. Доказательства линеаризуемости проводятся в том же стиле, что и в теореме Зигеля — Брюно, по крайней мере в том, что касается локальной теоремы. Мы предоставляем читателю продумать конструкцию отображения возвращения. В полулокальной и глобальной теоремах мы сталкиваемся с новой проблемой: что делать, когда с» мало? Действительно, в этом неблагоприятном случае у нас нет больше оценок на мнимые части орбитальных соответствий между Г и его отображением возвращения. В случае ростков голоморфизмов мы «срезаем» высоту порядка — ', 1оба ' + Со, когда г' 51а).
Для диффеоморфизмов окружности мы не можем действовать подобным образом, если Ь < э', !ока ' + Со. Напротив, если Ь > — '1оба ' + Со„мы полУчаем отобРажение возвРащения С б 511»,Ь') с Ь' = а "(с» — !оба ') и а ~ = а + 1?,а Е г1*,0 < 13 < 1. Если можно бесконечно продолжать действовать подобным образом и получить бесконечную последовательность (Е„)„>ы то применимо то же доказательство устойчивости, что и в теореме Зигеля, так как мы можем контролировать мнимые части орбитальных соответствий.
Диофантовы условия линеаризуемости — это условия, при которых мы сталкиваемся с предыдущей трудностью конечное число рэз. После преодоления этого конечного числа препятствий мы можем проводить доказательство, как обычно. Для того чтобы разобраться с неблагоприятными случаями, Йоккоз доказывает комплексную лемму Данжуа, которую он использует при построении отображения возвращения и для того, чтобы получить большое расширение гюлосы Л. Затем в неблагоприятном случае, отправляясь от г'„с 5(а„, Ь„), Ь„< — ' 1о8 а„', он получает отображение возвращения Г„+~ е 5(а„+пав.м) с ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ ЗИГЕЛЯ 279 Ь„+1 — — Сег'а". Эти формулы объясняют определение условия 'Н(гЬ).
Все это возможно, только если Р Е о'(а, сь) и гЬ больше некоторой универсальной константы. Первый этап состоит в том, чтобы показать, что мы можем привести нашу ситуацию к этому случаю и начинать всегда с сго > 1000. Можно доказать Предложение. Пусть / Е о(сг,О) и Ь > О. Тогда существует матрица ~ д/ Е РСЙ(2,Е) и вещесгпвенно-аналитическое униГа 61 формизующее отображение Ь: К/Е -э К/(/' о Тг) (факторпрострапство пространства К относительно дейстпвил /' о Тг), такое, чтоЬ о(/'оТ )оЬЕЯ(ЯЯ+~1,Ь). Полулокальная теорема и это предложение приводят к глобальной теореме. Доказательство предложения проводится в два этапа: ° Сначала показывается, что существует Ь, такое, что отображение Ь ' о(/'оТв) о Ь Сг-близко к трансляции на К.
° Затем используется комплексная лемма Данжуа, которую мы опустили; она позволяет контролировать в комплексной плоскости орбиты диффеоморфизмов. С ее помощью мы получаем существенное расширение полосы г1 > О. В части, касающейся построения нелинеарнзуемых диффеоморфизмов, мы также должны различать аналогичные случаи. Тем не менее геометрия всегда та же, что и для ростков голоморфизмов: мы приклеиваем неподвижные точки к цилиндрической римановой поверхности о'.' 5.
ДРУГИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ И РАСПРОСТРАНЕНИЕ МЕТОДОВ 5.1. Препятствие к лннеарнзуемостн: накопление периодических орбит. Если /(г) = ег" я+0(гг), а Е К вЂ” Я, — линеаризуемое отображение, то у него нет периодических орбит, отличных от О, в окрестности начала координат. Это дает в некоторых случаях критерий линеаризуемости. Проиллюстрируем это на примере. Если Л = ег "'й,р Е Е,д > 1,р Л д = 1, то квадратичный многочлен Рл имеет в 0 неподвижную точку порядка д; это означает, что малым возмущением Л порождается периодическая орбита периода д в окрестности О.
Следовательно, при и > 1 существует окрестность Г/(р/ц,п) точки р/у на К, такая, что при 280 Рикардо Перес-Марко а Е У(р/д,п) многочлен Р1 имеет периодическую орбиту периода д, содержащуюся в 111ри Множество У„= О с1 с1(р/д,п) плотно н открыто. По теореме Вара мы получаем плотное множество У = (Д„>1 У„) П (К вЂ” ь3) типа Сз значений а, таких, что квадратичный многочлен Рх, Л = е~ ', имеет последовательность периодических орбит, сходящуюся к О, и, следовательно, не линеаризуем. Возникает мысль, что это топологическое препятствие может быть единственным, что мешает линеаризуемости, т.е.
все нелинеаризуемые ростки имеют последовательность периодических орбит, накапливающуюся к О. Аналогичной была гипотеза П. Сада [Яа] и В. И. Арнольда [А12] для диффеоморфизмов окружности. Ж.-К. Йоккоз руководил моей диссертацией на эту тему. Имеем: Теорема [РМ1]. 1. Если о и К вЂ” Я удовлетворяет условию ( +со и у(з) = сз""*з + 0(за) — нелинеаризуемос п>1 отображение, то 1 имеет накапливающуюся к 0 последовательность периодических орбит, периоды которых образуют падпаследоеательность (Уп,)1>а, такУю, чта ~~-.
1ок а„„~.1 ь>о 2. Если о Е К вЂ” чС удовлетворяет условию 2', — й — ~~"-т-' = +со, п>1 то существует 1 б Яп, такое, что есе положительные орбиты (у "(з))п>а, содержащиеся е 11, накапливаются к О. Следовательно, ~ нелинеаризуемо и не имеет периодических орбит е Р— (О). В [РМ1] построены также нелинеаризуемые диффеоморфизмы окружности без периодических орбит. Диофантово условие на число вращения, для которого возможны такие примеры, довольно искусственно. Тем не менее оказывается, что можно получать такие диффеоморфизмы окружности, отправляясь от ростков голоморфизмов. Теорема ([РМ1], недавно завершено).
Если о Е К вЂ” ь1 удовлетворяет условию Е 1о8 !о8 а„.ь1 = +со > чп ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ ЗИГЕЛЯ 281 длл всех Ь ) О, то существует аналитический диффеоморфивм окружности у', поднятие которого принадлежит Я(о, Ь), такой, что все положительные орбиты (у" (е))„>о, остающиеся в У = О,г.а — Р,-г.а, накапливаются к У.
Следовательно, у нелинеаризуемо и не имеет периодических орбит в У. Доказательство п. 1 теоремы о ростках голоморфизмов аналогично доказательству Йоккоза теоремы Зигеля — Брюно. Нужно сделать два добавочных замечания. Во-первых, неподвижная точка отображения Р„Е 5(оп) (см. п.4.1.Ь) соответствует периодической орбите отображения Е с числом вращения р„/д„, которое, как мы знаем, не превышает мнимой части втой точки. Во-вторых, если г'„Е о'(оа) не имеет неподвижных точек, то высота показателей нелинейности весьма невелика. Мы получаем фундаментальную оценку (*) из и. 5.1.а, для которой 1 С(о и) = — 1об~ 1о5 а„' + Со Пункт 2 теоремы соответствует конструкции нелинеаризуемых ростков, когда о ф Б. Однако нужно полностью изменить геометрию присоединяемой нелинейности.
Нам не нужно теперь приклеивать неподвижные точки, желательная нелинейность строится при помощи поверхности б рис. б. Мы модифицируем цилицдр Йоккоза (рис. 5) тем, что делаем разрез и приклеиваем бесконечное число плоскостей к одной и другой стороне. Очень приблизительно можно сказать, что мы разрываем неподвижную точку А и получаем точку бесконечного ветвления. 5.2. Симметрии нелинеаризуемых ростков. Рассмотрим груп- пу симметрий ростка голоморфизма у, Сень(у) = (д(г) = не + 0(г~); и Е С", д о ~ = ~ а д).
Заметим, что централизатор отображения у, Сепг(у'), содержит подгруппу, образованную итерациями отображения у и обозначаемую через у~. если ау(0) е с' не является корнем из единицы, то Сенс(у) вкладывается в С' при помощи инъективного отображения Сепг(у) — + С', д ~ и = Пд(0). 282 Рикардо Перес-Марко Лист — 1 Лист О Лист 1 Рис. 6. Исследование группы симметрий отображения у является обобщением проблемы Зигеля, как показывает следующее предложение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
