Труды семинара Бурбаки за 1992 г (947406), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Гипотеза. Если 1 й 1 = (О), то Ко(А'1 1)с1 — = НС -~(А'1 1)с~. (На самом деле, если дело обстоит так, достаточно предположения о иильпотентиости 1 П,1.) Хотя эта гипотеза несколько раз анонсировалась, она еще не доказана. В [6-%] можно найти результаты о препятствии к вырезанию в низких размерностях в случае, когда у (ср. (6.0)) не сюръективно. [В] [С-%] [С] [СЪЧ-Ь] [Н] [К] [ЬЛ] [Ь2] [ЬЗ'] [! -(Л] [м] «Яп1] [Яп2] [Бп3'] [Яж] [Т] ВЫРЕЗАНИЕ В АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ К-ТЕОРИИ 255 ЛИТЕРАТУРА|) Ввез Н. А18еЬгыс К-|Ьеогу, Веп)ышп, 1968. [Имеется перевод: Васс Х.
Алгебраическая К-теория. — Мл Мир, 1973.] Сопиев А. !«!оп-соппппсас!че «(!!уегепг!а! Беошеггу, РпЫ. Ма|Ь. 1.Н.Е.Б., 62 (1985), 257 — 360. Се!!ег Я., ЪЧе!Ъе! С. К(А, В, 1); Н, Л. К-|Ьеогу, 2 (1989), 753 — 760. Соо«!вч!!!е Т. С, Не1аИче а18еЬгыс К-|Ьеогу апй сус1к Ьошо1о8у, Апп. о( Ма|Ь., 124 (1986), 347-402. Сп!п-ЪЧа!егу О., Ьог!ау Л.-Ь. ОЪввгпсг!оп а Рехсйбоп еп К-гЬеог!е а!БеЬ|!«!пе, Ьеся. !«!осев ш МазЬ., чо1. 854, Ярпп8ег-Чег1а8, 1981, 179-216. Нав1оп Р. Оп гЬе сошр!еяе СЦп, С)-г!есошров!г!оп о! |Ье вгаЫе соЬопю!о8у ог" 91„(А), Тгапв. Ашег.
Ма|Ь. Яос., 308 (1988), 209— 225. Кение Р. ТЬе ге!а|пчвайоп о! Кт, Л А18еЬга, 54 (1978), 159 — 177. Ьо«!ау Л.-Ь. К-гЬеог!е а)8еЬ|!«!пе е! гергевепяая!опв «)е бгопрев, Апп. Ясь Ес. Ыопп. Япр., 9 (1976), 309 — 377, Ьо«!ау Л.-1. Сус1!с Ноп|о!о8у, Сгппб. Ма|Ь. ИЪв., чо!. 301, Ярг!пбег-Чег!а8, 1992. Ьо<!ау Л.-Ь. Я!|но!иге шв!г!р!!сая!че еп К-сЬбог!е а!ЯеЬ|!г!пе, С. В. Аса|1. Яс!., Рапв Яег.
А, 279 (1974), 321 — 324. Ьог!ау Л.-Ь., (Лп!!!еп В. Сус!к Ьошо1о8у ап«! ГЬе Ые а)8еЬ|а Ьо- шо!о8у о! шаяг!сев, Соппп. Ма|Ь. Не!чеИс1, 59 (1984), 565 — 591. М!1пог Л. 1п|гобвсИоп Яо А!БеЪ|ыс К-ГЬеогу, Апп. Ма|Ь. Я!в«)!ев, чо1. 72, Рппсезоп !Лп!ч. Ргевв, 1974. [Имеется перевод изд. 1971 гл Милнор Дж. Введение в алгебраическую К-теорию. — Мс Мнр, 1974.] Рк1|е! Р. Р. НаИопа! соЬопю!о8у о! п!!рогеп! Ягопрв ап«! Ь!е а18е- Ьгав, Соппп. ш А18., 6 (1978), 409-419. б)п!!!еп ЛЛ. СоЬошо1обу о! 8гопрв, Асгев «(и Сопрев 1пгегпаяюпвЛ г)ев Ма|Ьешайс!епв, Ь Н, 1970, 47-51.
Япв!!п А'. Оп !Ье еоп!ча!епсе ог" К-сЬеог!ев, Сошш. ш А18., 9 (1981), 1559-1566. Япв!ш А. Оп гЬе асус1кйу о! |Ье япп ог" гпап8в!ах соп|р1ехев, РгерппЬ 1!шчегвйу о! !ЛггесЬ~, 1991. Суслин А. А. Вырезание в целочисленной алгебраической К-те- ории. — Труды МИАН, т. 208 (1995), с. 290 — 317. Бпя1ш А., !Г«гог!я!сМ М.
Ехсгвюп ш а!ЯеЪгак К-|Ьеогу, Апп. о! Ма|Ь., 136 (1992), 51 — 122. Я«чап Н.С. Ехсыюв ш а18еЬ|ак К-|Ьеогу, Л. Рше Арр!. А18еЬ|а, 1 (1971), 221-252. Цыган В.Л. Гомологии матричных алгебр Ли нзд кольцами и гомологии Хохшильда. — УМН, т. 38, 1983, вып. 2, с. 217 — 218. ! «Звездочкой» помечена литература, добавленная при переводе. — Прим. верее. ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ ЗИГЕЛЯ О ЛИНЕАРИЗАЦИИ ГОЛОМОРФНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ В ОКРЕСТНОСТИ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ (по Ж.-К. Йоккозу) Рикардо Перес-Марко' ) Мы представляем здесь новые геометрические методы, которые оказались эффективными при исследования проблем малых знаменателей в голоморфной динамике.
Они были изобретены Ж.-К. Йоккозом [г"Ц для решения проблемы Зигеля. Он также с успехом применил свою революционную технику для того, чтобы получить наилучшие диофвнтовы условия в проблеме линеаризации аналитических диффеоморфизмов окружности [ г'2]. Для того чтобы предмет не вызывал затруднений у неспециалистов, мы (прося снисхождения у остальных) начинаем с элементарного введения и небольшого исторического обзора.
Более исчерпывающее введение и полная библиография имеются в статье М. Эрмана [НеЦ. Я благодарю П. Сентенаке за большую помощь в подготовке этого текста. 1. ГОЛОМОРФНАЯ ДИНАМИКА В ОКРЕСТНОСТИ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ Рассмотрим динамическую систему, т.е. отображение у: Х вЂ” > Х некоторого множества в себя. С наивной точки зрения изучить динамику системы 7 — это значит исследовать траекторию каждой точки.
Более глубокое изучение связано с получением классификации классов сопряженности отображения у относительно морфизмов множества Х. В качестве первого шага нужно понять структуру периодических (т. е. имеющих конечную орбиту) точек и динамику в окрестности периодических орбит. Каждая периодическая орбита — это неподвижная точка некоторой итерации. Поэтому естественно изучать локальную динамику в окрестности неподвижной точки.
'! Регеа-Массо В!сагг!о. 3о!о!гоп сопгр1ме ап ргоыеше г!е Риеке! г!е !шоапвайоп ггппе арр!Мапоп Ьо!опюгрЬе ап го!в!паае гнпп ро!пв Нхе (граргЪ 1.-С. воссев).— зегпшыге ВопгьаЫ, 1991-92, п' 753, Ав1енвяпе, 200 (1992), р. 273-310. 258 Рикардо Перес-Марко В голоморфной динамике пространство Х наделено комплексной структурой, которую сохраняет отображение у, т.е. у голоморфно. Первичная программа исследований не завершена даже при д1шс Х = 1. В дальнейшем мы в основном ограничимся этим случаем. Мы предполагаем, что неподвижная точка находится в начале координат в С и что у определено в его окрестности. Мы записываем также /(г) = Лг+ 2, /„г". к>2 1.1.
Предварительные замечания. Важнейшим понятием динамики в окрестности непццвижной точки является понятие устойчивости. Определение (устойчивость). Отображение у устойчиво в О, если для любой окрестности нуля «с существует окрестность нуля У, такая, что при и > О отображение у" определено в У и у "(У) Е У. Ясно, что это эквивалентно существованию окрестности нуля, в которой положительные итерации отображения у корректно определены и образуют нормальное семейство.
Если линейная часть отображения у в О ненулевая (Л ф О), то у хорошо приближается в окрестности нуля отображением г «э Лг. Естественно возникает вопрос, совпадает ли динамика. Когда это так, говорят, что у линеаризуемо. Определение (линеаризуемость). Отображение у называется линеаризуеммм в О, если Л ф О и существует голоморфная замена переменных г «+ л(г) = г + 2 „> Й„г", сопрягающая отображение у с его линейной частью: (л оуоп)(г) =Лг, Если Л не является корнем из единицы, отображение 5 формально однозначно определяется нз этого функционального уравнения. В этом случае мы говорим, что существует линеаризующее формальное отображение.
Обозначим через 11(у) его радиус сходи- мости. В нелинеаризуемом случае В(у) = О. Образ Ь(1ЭлОО) называется областью Зигеля или областью линеаризации отображения г (где П„= г с С; )г) < г). Примечательно, что в голоморфном случае понятия устойчивости для у или у ' и линеаризуемости эквивалентны.
Предложение. Пусть Л ф О и )Л! < 1. Отобразсение у' линеари- зуемо тогда и только тогда, когда оно устойчиво в О. ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ ЗИГЕЛЯ 259 Доказательство. Если / линеаризуемо, то его положительные итерации образуют нормальное семейство в области линеаризуемости отображения у. Обратно, пусть У вЂ окрестнос нуля, в которой итерации (у")ьйо образуют нормальное семейство. Пусть Имеем й„о У = Лй„+ -(Л-"У" — Ы). Последовательность ((с„)„>о образует нормальное семейство. Из нее можно извлечь подпоследовательность, сходящуюся к Й, и Й = Е 1 линсаризует у. П 1.2. Сверхпритягивающая неподвижная точка.
Мы называем так неподвижную точку, которая является также критической точкой, т. е. такую, что Л = О. Динамика проста: все точки в некоторой окрестности нуля притягиваются к нулю. Нетрудно доказать следующее: ТеоРема (Во~]. ПУсть У'(г) = Уьгь + б(го ы), где и > 0 и З'„ф О. Тогда существует голоморфная замена переменных г н а(г), Ь(0) = О, сопрягающал у" с отобраокением г ь+ г", т. е. (Ь-' о у о Ь) (г) = г".
1.3. Притягивающая или отталкивающая неподвижная точка. Этот случай соответствует 0 < )Л~ < 1 (притягивающая точка) или 1 < ~Л~ (отталкивающая точка), и здесь всегда имеет место линеаризуемость (применяем критерий устойчивости к у или к у ').
Теорема [Ко). Пусть з'(г) = Лг+ 0(гг) и )Л) ф О, 1. Тогда з лине- ариз уемо. 1.4. Безразличная рациональная точка. Этот случай соответствует (Л( = 1, где Л вЂ” корень из единицы, Л = ег '", о = р/д Е Я, р Е Е, о > 1 и р д о = 1. Исследование динамики здесь весьма тонкое, и линеаризуемость встречается довольно редко, как показывает следующее предложение. 2бО Рикардо Перес-Марко Рис. О. Предложение. Отобрао»осипе у(г) = ег"'Рйг + 0(гг) лииеаризуемо тогда и только тогда, когда ~» = Ы.
л — 1 Доказательство. Если у» = Ы, то Ь= (-'~ ~ о Л '~') лииеаризует у. Обратно, если Ь ' о у о Ь(г) = Лг, то Ь ' о у» о Ь(г) = Л» г = г; поэтому у» = Ь о Ь ' = Ы. П Например, квадратичный миогочлеи Рх(г) = Лг(1 — г) ие ливеаризуем, так как Р» — миогочлеи степени 2». Тем ие менее топологическая динамика для у полностью понята после работ Фату и Лео [1 е]. Что касается описания классов топологической сопряжеииости, мы отсылаем к работе Камачо [Са]. Точки плоскости после полного оборота (у приближается поворотом иа рациональный угол) описывают «цветок», как показано иа рисунке. Существует целое число и > 1 и 2по параболических областей (лепестков), которые переставляются отображением у с числом вращения р/д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
