Труды семинара Бурбаки за 1992 г (947406), страница 46
Текст из файла (страница 46)
По определению алгебраическая К-теория кольца А — это К„(А) нм х„(ВСМА)+), и > 1, (1.1) Главным свойством этих групп, которое будет нам нужно, является следующее. Градуированное векторное (.]-пространство Н,(СЦА), С)) = ®„зо Н„(Сй(А), з.е) наделено коумножением, расположенным на диагонали, и умножением, сосредоточенным на прямой сумме матриц'> (так как это внутренняя операция на И Для любых двух матриц а, б 6 СЬ(Н) определим матрицу а Ю В б СЬ(Н) формулами: (а Ю Р),у = О, если Дд имеют разную четностгч (а щ Р)з; з.
= о,д, (а 9 )г)з,+Ьзую = )гьгг Тем самым возниквег гомоморфизм у: Сб(Н) х Сь(Н) -+ СЬ(Н) и соответствующее отображение классифицирующих пространств Вы: Всь(н) х Всь(н) — > Всь(н). существует единственное, с точностью до гомотопии, отображение ь, делающее следующую диаграмму гомотопически коммутативиой: ВСЬ(Н) х ВСЬ(Н) Ъ ВСЦН) ВСЕ(Н)т х ВСу(н)+ Е ВСЕ(Н)т Отображение ь превращает ВСь(Н)т в гомотопически ассоциативную и коммутативную Н-группу.
(См. ]ЬЗ].) — !урпм. нерее. ВЫРЕЗАНИЕ В АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ К-ТЕОРИИ 243 СВ(А)), которые превращают его в градуированную коммутативную и кокоммутативную ьг-алгебру Хопфа. Следовательно, Н,(СЦА), ь1) полностью определена своей примитивной частью, которая есть в точности К-теория кольца А. А именно, имеем изо- морфизм Л 9 К„(А)о ~ Н. (СЬ(А), Я), а>1 (1.2) где Л вЂ” функтор «симметричной градуированной алгебры». Пусть 1 †двусторонн идеал в А.
Сюрьективный гомоморфизм А -+ А/1 индуцирует гомоморфизм групп СЦА) -» СЦА/Х), образ которого мы обозначим через СХ (А/1). Индуцированное отображение ВСЦА)+ -+ ВСХ,(А/1)+ имеет гомотопически связный слой, обозначаемый Г(А,1). Заметим, что 11„(ВСЦА/Х)+) = та(ВСЦА/1)+) для и > 1 и т1(ВСМА/1)+) = Хгп(К1(А) -+ К1(А/1)). По определению относительные К-группы пары (А, 1)— это группы К„(А,1):= г„(Г(А,Х)), и > 1. (1.3) СХ,(1):= Кег(СЦЕ х 1) -+ СЦЕ)) с гомологиями группы СХ (1):= )1ш„СХ„(1), где С Х,„(1): = СХ,„(1) к М„1(1) 0 1 Е СХа+1(1)<о Е СХа(1)~о Е Ма1(1) Здесь М„1(1) обозначает п х 1-матрицы с коэффициентами в 1.
Заметим, что для всякой подгруппы С в СХ,„(1) (соотв. СХ(1)) имеется группа С, опрацеленная формулой С 1= С к М„,(1). Ана- Следовательно, точная последовательность (О) из вводной части есть просто длинная точная гомотопическая последовательность слоения. Отметим здесь, что группы К„существуют также для и < 1. На самом деле они определены, начиная с группы Гротендика Ко, для которой проблема вырезания решена. Первый этап в изучении вопроса вырезаемости в алгебраической рациональной К-теории состоит в сравнении гомологий группы 244 Жан-Луи Лоде логичным образом группа СЕ„(1) (и, более общим образом, группа С) определена формулой 6Ъ„(1):= Мгп(1) н СЬ„(1), 1.4.
Предложение. Рассмотрим следующую коммутативную диаграмму гомотопических слоений: ВСЕ(1) — + ВСЦА) — + ВЖ(А(1) ) Ф Р(А, 1) — + ВС1,(А)+ — > ВСЕ(А11)+ Если вложения СЬ(1) -Ф СЬ(1) и СЬ(1) -~ СЙ(1) индуцируют иэоморфиэмм гомологий, то отображение у индуцирует гомотопическую эквивалентность: у+: ВСЦ1)+ — + Р(А,1).
Доказательство (набросок) (ср. следствие 1.7 в [Б-%]). Два вертикальных отображения справа индуцируют изоморфизмы в гомологиях по основному свойству плюс-конструкции. Чтобы доказать, что у индуцирует изоморфизм в гомслогиях, мы хотим применить теорему сравнения точных спектральных последовательностей Зимана.
Для выполнения предположений необходимо, чтобы группа ггг базы действовала тривиально на гомологиях слоя. Для нижнего слоения это немедленно следует из того, что мы имеем дело с Н-нространствамн. Для верхнего слоения достаточно показать, что' все элементы из к~(ВСЕ„(А)) = СЬ„(А) действуют тривиально (действие задается сопряжением) на Н.(СЕ(1)).
С помощью преобразования матриц (следствие 1.6 в 1ос. с1с) можно установить, что для выполнения этого требования достаточно показать, что СЦЕ) действует тривиально на Н,(СЬ(1)). Первое предположение (с Ж) позволяет показать, что так обстоит дело для элементарных матриц Ег г+г(1), а второе (с СХ) — для Егча г(1). Так как СЬ(Е) порождена этими элементарными матрицами н -1 (которая действует тривиально), все остальное ясно. П Таким образом, имеется гомологическое условие на СЬ, которое влечет за собой К-вырезаемость исевдокольца 1. Заметим, что достаточно показать, что это условие выполняется для СЦ условие для 6Т, получается тогда по двойственности. ВЫРЕЗАНИЕ В АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ й-ТЕОРИИ 245 2.
АЛГЕБРЫ ЛИ МАТРИЦ И ЦИКЛИЧЕСКИЕ ГОМОЛОГИИ Если в предыдущем разделе мы заменим группу СЦА) на алгебру Ли д((А) (где А теперь является ассоциативной алгеброй с единицей над полем й характеристики О), мы получим также, что гомологии алгебры Ли д1(А) с коэффициентами в Ь есть градуированная коммутативная и кокоммутативная алгебра Хопфа. Следовательно, она полностью определена своей примитивной частью, которую можно назвать «вддитивной К-теорией» алгебры А. Огромное отличие от предыдущей ситуации состоит в том, что можно «вычислить» эту примитивную часть в том смысле, что можно предъявить комплекс без матриц, гомопогии которого являются этой примитивной частью.
2.1. Теорема (Лоде — Квиллен [1 Я], Цыган [Т]). Для любой ассоциативной алгебры А е единицей над полем Г«характеристики 0 суи4ествует изоморфизм градуированных алгебр Хопфа Н,(д1(А), Ь) ~ ЛНС, 1(А), где НС„(А), и > О, — циклические гомологии алгебры А. Здесь циклические гомологии определяются следующим образом. Возьмем комплекс В.(А) из введения, использовавшийся для определения понятия Н-унитарности. Когда А — алгебра с единицей, он является резольвентной для А, состоящей из А-бимодулей (берем АВ"+г в степени и). Обозначим через А«р кольцо, противоположное А, через А' — тензорное произведение А Ог А»Р и через (ао,...,а„) порождающую (во О .
За„) в АВ"+«. По определению комплекс Хохтильда (С„(А), Ь) — это комплекс (А Эл«В„(А), к1л ® Ь'). Точнее, имеем С„(А) = АВ"+', так как а З (ао..., ап~ы)» — э (апыаао,аы...,а„) задает изоморфизм А ®л. В„(А) = АВ"+~. Отображение Ь: С„(А) -» С„г(А) тогда задается формулой Ь(ао,,а„) = ~( — 1)г(ао,...,агаг+ы...,ап) г=о + (-1)"+~(а„ао, ад,..., а„г). Гомологии комплекса (С„(А), Ь) обозначаются НН„(А), и > О, и называются гомологиями Хохшильда алгебры А. Введем теперь циклический оператор 1: С„(А) -+ С„(А), определяемый формулой Ф(ао ., а„) = ( — 1)" (а„, ао,, а„-г).
246 Жан-Лук Лоде А. Кон [С] заметил, что имеется тождество Ь(1 — 1) = (1 — 1)Ь'. Следовательно, если мы положим С»:= Аэ"+'/(1 — 1), то получим новый комплекс (С„"(А), Ь), гомологии которого, обозначаемые НС„(А), п ) О, называются циклическими гомолозилми алгебры А (это подходящее определение, когда Й содержит Я, — случай, который нас здесь интересует; другое определение см. в [1 Я, Ь2]). Одно из главных свойств циклических гомологий — длинная точная последовательность периодичности Кона — ) ННв(1) -~ НСь(1) -Ф НСь з(1) -Ф ННп-»(1) -+, (2.2) которая справедлива при приведенных здесь определениях для всех Н-унитарных алгебр 1 (ср.
[С] для унитарного и рационального случаев и [1 Я] для общего случая). Хотя нам это не будет нужно в дальнейшем, приведем для закрепления указанных понятий следующее вычисление циклических гомологий гладкой (коммутативной и с единицей) (4-алгебры: НС (А) = П ~/дйл 9 Нря (А) Ю Нрн (А) 9 Здесь Пл обозначает модуль и-форм абсолютных дифференциалов и Нйн — когомологии де Рама. Проблема вырезания поставлена также для теорий НН и НС.
Для этих теорий ее, очевидно, решать гораздо легче, чем для алгебраической К-теории. Всякий эпиморфизм алгебр А — » А/1 задает эпиморфизм комплексов С(А) -+ С(А/1) (соотв. С»(А) -э С"(А/1)). По определению относительные гомологии Хохшильда НН„(А, 1) (соотв. циклические гомологии НС„(А,1)) — это гомологии ядра этого эпиморфизма. Говорят, что 1 является НН-вырезаемой (соотв. НС- вырезаемой), если НН„(1):= НН„(Х ы 1, 1) -+ НН„(А,1) (соотв.
НС„(Е и 1, 7) -+ НС„(А, 1)) — изоморфизм для всех п. 2.3. Предложение [%1, СЬ. 3]. Длл всякой б7-алгебры 1 следующие условия зквивалентньс (а) 1 Н-унигиарна, (Ь) 1 НН-вырезаема, (с) 1 НС-вырезаема. ВЫРЕЗАНИЕ В АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ К-ТЕОРИИ 247 Комментарии к доказательству. Эквивалентность между пп. (Ъ) и (с) непосредственно следует из точной последовательности Кона. Чтобы доказать, что из (Ь) следует (а), достаточно просчитать частный случай, когда алгебра содержит нильпотентный идеал.
Чтобы доказать, что из (а) следует (Ь), Водзицки заметил, что комплекс, ацикличность которого нужно доказать, является на самом деле тотальным комплексом «мультикомплекса». Предположение об Н-унитарности влечет за собой ацикличность мультикомплекса, поскольку гомологии берутся в одном направлении. Этого достаточно для того, чтобы отсюда следовала ацикличность тотального комплекса. П Принимая во внимание все, что сделано для К-теории, и связь между НС„(А) и Н,(д1(А)), совершенно естественно переписать свойство вырезания для НС в терминах гомологий алгебр Ли дй 2.4.
Предложение. Для всякой Н-унитарной «4-алгебры 1 гомом орфизм Н,(91(1)) -+ Н„(д1(1)) является изоморфизмом. Доказательство. Те же аргументы, что и в предыдущем доказательстве,позволяютдоказать,чтоалгебра1« —— (~ е е !]а,бЕ 1~ 1 а 6 Н-унитарна и что вложение 1 + 1«ицлуцирует изоморфизм гомологий Хохшильда (ср. (%1]). Ввиду точной последовательности Кона это также изоморфизм циклических гомологий. Двя того чтобы перенести этот результат на гомологии алгебр Ли д(, используется обобщение теоремы Лоде — Квиллена — Цыгана (ср. п. 2.1) для Н-унитарных ллгебр, полученное П. Ханлоном [Н]. Отсюда получается изоморфизм Н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
