Труды семинара Бурбаки за 1992 г (947406), страница 49
Текст из файла (страница 49)
При этом возникает 2п циклов из о элементов. На рис. 1 изображена динамика отображения 1». После работ Экаля и Воронина (см. [Ес, »о, Ма]) известно полное описание классов аналитической сопряженности, которое, в противоположность уже рассмотренным случаям, много богаче, чем топологическая классификация. 1.5. Безразличная иррациональная неподвижная точка.
Проблема Зигеля. Случай, который остается обсудить, это Л = ег при о б Н вЂ” ь). Формальное лииеаризующее отображение существует всегда, ио этот ряд может расходиться ввиду наличия ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ ЗИГЕЛЯ 261 малых знаменателей, которые возникают, если о хорошо приближается рациональными числами. Действительно, можно решить фор- +ОО мально уравнение А ' в / в Й(с) = Лс и найти Й(я) = 2, Ь„г" с »=1 Йг — — 1 и «-1 /„+~'/„~ ' АЛ ...А„ и=в л+" +«р л >1 Есть подозрение, что / может быть неустойчивым для очень «лиувиллевых» чисел вл мы рассматриваем / как предел отображений /„(я) = ет««р" г«" с+ О(с»), где (р„/у„)„>а хорошо приближают а. Мы видели, что в случае «общего положения» безразличная рациональная неподвижная точка неустойчива.
Проблема Зигеля, называемая также проблемой центра или функционального уравнения Шредера, состоит в том, чтобы исследовать множество значений а, для которых отображение всегда линеаризуемо. Как мы убедимся, квадратичный многочлен Р~(с) = Лс(1 — г) (единственный с точностью до линейного сопряжения) играет важную роль в проблеме Зигеля: его динамика очень точно отражает динамику общего ростка с постоянным мультипликатором Л. 2.
КЛАССИЧЕСКИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ПО ПРОБЛЕМЕ ЗИГЕЛЯ Несмотря на то, что существование нелинеаризуемых отображений, казалось бы, должно было быть известно математикам прошлого столетия, по-видимому, впервые оно было письменно упомянуто Г.
А. Пфейфером в 1917 г. [Р(]. На самом деле легко показать, что общий квадратичный многочлен нелинеаризуем, т. е. существует плотное множество типа Сз значений сг, для которых линеаризующий ряд расходится (см. п. 5.1). Первым, кто обратил внимание на важность арифметики числа а, был Г.
Кремер (см. [Сг]). Пусть (р„/у„)„>в обозначает последовательность подходящих дробей для а (эта последовательность определена в приложении, посвященном арифметике). Он доказал следующий результат: Теорема (Кремер [Сг]). Если а Е П вЂ” Я удввлеглвврясга условию Кремера (С) »>О чл 262 Рикардо Перес-Марко то суи1ествует нелинеаривуемое отобраоюение у(г) = ег" г + 0(г~). Доказательство элементарно и состоит в последовательном построении коэффициентов отображения у, начиная с первого.
Положим [Я = 1 и положим аргумент отображения у„равным аргументу второго члена в сумме внутри скобок в рекуррентном соотношении, определяющем последовательность (Ь„)„й~ (см. п. 1.5). Тогда по меньшей мере Даже в случае, когда условие С не выполнено, получается оценка сверху радиуса сходимости ряда 6. С помощью простых и красивых аргументов можно доказать такое утверждение: Теорема [Сг].
Если Ы > 2 и а е В. — О удовлетворяет условию Кремера степени б впр = +оо, !око„чч (С ) »>О то все ростки многочленов Р(г) = ег * г +... + авг~, ав ф О, нелинеаривуемм. Заметим, что С = Пв>гСв — условие, позволяющее применить теорему ко всем многочленам независимо от степени, — записывается в виде вир 1оа)ееч +~ = +со.
(С ) »>1 и» Имеем С», С ... С Сз С Сг С С С В. — С1. Проблема существования значений о, для которых все ростки у(г) = ег" г+ О(г~) линеаризуемы, является тонкой и долгое время оставалась открытой. Г. Жулиа [Зи] даже привел ошибочное доказательство их несуществования. Проблема была решена замечательным образом К.-Л. Зигелем в 1942 г.
Теорема (Зигель [З1], улучшена Брюно [Вг]). Если о удовлетворя- ет арифметическому условию (Е) 263 ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ ЗИГЕЛЯ то все отображения вида у[а) = еэ ' г+ 0[ха) линеаризуемм. Множество чисел, удовлетворяющих арифметическому условию теоремы Энгеля 1942 г., имеет полную меру Лебега. Это первый результат, в котором преодолены трудности, связанные с малыми знаменателями.
Доказательство основано на оценках коэффициентов линеаризующего отображения непосредственно из рекуррентного соотношения п. 1.5. Малые знаменатели оцениваются снизу с помощью диофантова условия. Позднее, в 50-х и 60-х годах, были открыты новые методы, которые привели к доказательству теорем К.А.М. По этому поводу читатель может обратиться к статье Боота [Во] в трудах семинара Бурбаки. Эти методы применимы также к проблеме Зигеля, но дают более грубые результаты в том, что касается оценок областей линеаризуемости, и арифметические условия более ограничительны. Что касается диофантовых условий, Энгель доказал линеаризуемость для всех О Е В.
— (.:Е, удовлетворяющих такому условию: существуют у, т > О, такие, что для любых рациональных р/д В 1965 г. А.Д. Брюно улучшил это арифметическое условие и усовершенствовал доказательство Зигеля. Одновременно и независимо Т. Черри [СЬ] также сформулировал этот результат в качестве предположения и предположил, что условие В является оптимальным.
Он не смог при жизни доказать это предположение, но его работа [СЬ], хотя и очень неясная, показывает замечательное понимание динамики нелинеаризуемых отображений. И только в,1987 г. Ж.-К. Иоккоз в своем мемуаре [У1] доказал это предположение. 3. НОВЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ 3.1. О проблеме Зигеля 3.1.а.
Предварительные замечания. Часть 1.3 работы [У1] содержит новое доказательство теоремы Зигеля — Брюно. Это новое геометрическое доказательство дает оптимальные оценки, с точностью до мультипликативной константы, радиуса сходимости линеаризующего отображения. Так как задача инвариантна относительно сопряжения гомотетиями, следует при формулировке результатов нормализовать наши отображения. Рикардо Перес-Марко 264 Допуская возможность сопряжения у посредством гомотетий, мы предполагаем, что у б Я, где ߄— множество одиолистяых (голоморфиых и ииьективиых) отображений единичного круга О = 11м таких, что 1(г) = е2™г + 0(г~).
Хорошо известно, что пространство Я компактно в топологии равномерной сходимости на компактных подмножествах. Мы уже обозначили через Я(1) > О радиус сходимости лииеаризующего отображения; положим В(а) = (пГ й(у). уев« При а б В положим В(а) = ~ и=о Если а у В, то В(а) = +со. Разность между функцией В и функцией Ф, определенной в арифметическом приложении, ограничена универсальной константой там, где опа конечна.
3.1.Ь. Теоремы о ростках. Вот основная теорема из [У1]: Теорема. 1. Пусть а Е К вЂ” Я и Тогда существует нелинеаризуемое отображение у(г) = ег "*я + сг(г~) 2. Существует универсааьнал константа С > О, такал, что если В(а) <+со, то В(а) > О и [В(а) — )оя(В(а) ')[ < С. Пункт 1 показывает, что условие В является оптимальным, а п. 2 улучшает результат Зигеля и Брюно, а именно оценку !об(й(а) ') < СгВ(а) +Се, где С| и Сг — универсальные константы и можно положить С1 — — 2 (по [Не1]). ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ ЗИГЕЛЯ 265 Как мы увидим далее, нелинеаризуемые отображения первой части теоремы конструируются «обращением» геометрического доказательства теоремы Зигеля. Это позволяет изучить некоторые черты динамики: нелинеаризуемые ростки имеют последовательность периодических орбит, стремящуюся к началу координат; можно также показать, что точки этих орбит находятся на существенно оптимальном (т.
е. наименьшем возможном для орбит с таким периодом) расстоянии от О. Конструкция обладает большой гибкостью. Она позволяет свободно выбирать динамику возвращения в окрестности периодических орбит. Это дает возможность доказать такую теорему: Теорема. При о р Б сущестпвуетп несчетное множество классов сопряженности ростков голоморфных отпображений Дг) ег ' г+ 0(гг), не содержащих ни одной целой функции. Мотивировки в пользу оптимальности условия Е содержатся в приложении 2 из [У1], где показано, что доказательство Брюно неприменимо для квадратичных многочленов при о ф Е.
В приложении 1 содержится изолированный интересный результат, который показывает, что теорема Зигеля о линеаризации (которая справедлива в высших размерностях при условии, что линейная часть диагонализуема, собственные значения все различны, имеют модуль 1, не резонансны и удовлетворяют диофантовым условиям) не выполняется, если линейная часть не диагонализуема. Теорема. Пусть и > 2 и А Е СЬ„(С). Предположим, что А имеет собственное значение Л, по модулю равное 1, такое, что характеристпическое водпростпранство, ассоциированное с А, не совпадаетп с собственным подпространством. Тогда сущестпвуют нелинеариэуемые ростки голоморфных диффеоморфизмов (С",0) с дифференциалом в нуле, равныл«А.
3.1.с. Результаты о квадратичных многочленах. До начала работы над теоремой Зигеля Йоккоз интересовался квадратичными многочленами. Уже результаты Кремера показали, что квадратичные многочлены являются в некотором смысле «менее линеаризуемыми», чем другие ростки многочленов. Это было уточнено Иок козам: Теорема. Если а Е К вЂ” ье и квадратичный многочлен ег"т г(1 — г) линеаризуем, тпо все ростки т (г) = ег ' г + О(гг) линеаризуемы. 266 Рикардо Перес-Марко Кроме того, элементарным и независимым способом он доказал теорему Зигеля: Теорема. Квадратичный многочлен ег ' г(1 — г) линеаризуем для множества значений о полной меры.
Заметим, что две последние теоремы влекут за собой теорему Зигеля для множества значений с«полной меры. Их доказательства можно найти в [У1] и [Во]. Доказательство первой теоремы связано с результатами о ростках из [У1, рагбе П]: Теорема. 1. При а «р В квадрагаичнмй многочлен Рю Л = ег'™», нелингаризуем. 2. Существует универсальнол константа С1 > О и для любого г > О константа С(г), такие, что при а й В (1 — г)В(с«) — С(г) < 1о8(В(Рл) ') < В(сг) + Сг. Семейство квадратичных многочленов дает примеры нелинеаризуемых ростков при с«ф В, и при с«й В радиус сходимости оказывается почти (с точностью до величины порядка г) наименьшим возможным. Возникает естественный вопрос [У1, П.1.9]: Является ли отображение а «-> В(п) — 1оя(В(Ргл .
) ') ограниченным на Ву В 1989 г. Йоккоз уточнил первый пункт предыдущей теоремы. Теорема. Если а ф В, то квадратичный многочлен имеет периодические орбиты, отличные от О и содержащиеся в произвольной окрестности О. Доказательство можно найти в [РМ1]. Те же аргументы применимы также к структурно устойчивым рациональным дробям (при фиксированном мультипликаторе Л в нуле). Когда ]Л] < 1, нуль является притягивающей неподвижной точкой линеаризуемого отображения Рю Линеаризующее отображение Ьл имеет единственную особую точку У(Л) на границе своего круга сходимости и при этом Ьх(У(Л)) = 1/2. Параграфы П.2 и П.З в [Л«Ц посвящены изучению функции Л «-+ У(Л), голоморфной и ограниченной на 1з.
Естественно считать, что радиальные пределы функции У при Л -+ Ло б У = д11 дают информацию о Рх. Можно доказать следующий результат: ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ ЗИГЕЛЯ 267 Теорема. Для любых Ло Е У модуль функции Л имеет в Ло ра- диальный предел, равный радиусу сходимости отображения Ьх . Это доказывает линеаризуемость для п. в. значений сг как следствие теоремы Фату, которая утверждает, что функция Л, голоморфная и ограниченная в 11, имеет ненулевые радиальные пределы для п.в. точек границы. В [Ъ'Ц поставлены очень интересные вопросы о функции Л, которая, кажется, обладает глубокими арифметическими свойствами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
