Труды семинара Бурбаки за 1992 г (947406), страница 51
Текст из файла (страница 51)
1) получается при рассмотрении униформизации поверхности 8 методами теории однолистных функций или с помощью оценок модулей кольца, содержащегося в В. В ней нет ничего удивительного: такая оценка получается, если Г является трансляцией г ~ г+ а; в этом случае 1(а) = О и униформизация задается явным образом. А ведь на высоте г(а) Г аппроксимируется этой трансляцией. 4.1.Ь. Аргумент бесконечного спуска.
Применим теперь по индукции предыдущую конструкцию. Мы отправляемся от а Е 272 Рикардо Перес-Марко К вЂ” ь3„0 < о < 1 и Е б Я(о). Положим (см. приложение) оо = с! и при п > 0 -1 Оп — оп+1 + Оп+1~ гДе апв! б Х' и 0 < ап+! < 1. Положим ф ! — — 1 и ф„= оо... оп. Построим последовательность (Е„)„йо с Е„б 5(а„). Положим Го — — Г. Предположим, что мы построили Е„. Пусть С„б Я(о„1) — отображение возвращения, построенное в п.4.1.а, Положим Г„+1(я) = С„(е) — апе1.
Непосредственной индукцией с использованием предложения из п. 4.1.а получаем Предложение. Существует универсальная константа Со, !ла- кал, что если яо б Н, 1т го > ~ Д 11!о!) + Со и Г"е(го) ф Н, то существуют точки (е1)1<1<, я, б Н, и числа (п1)1<1<,„, такие, что г,»' ф Н и по>п! »...п >О. Отсюда выводим с помощью бесконечного спуска: Теорема.
Если можно ной!пи последоватпельность (1!о„))п>о, !пакую, чпю +сю )' !Чп-11(О») < +Осг п=о то 7' усгаойчиво в 0 и, следовательно, линеаризуемо. Заметим, что мы получаем круг радиуса С ехр — 211 ~ ф„11(а„) п=о содержащийся в области устойчивости. Напомним, что всегда можно положить 1 1(оп) = — )ок а„~ + С. 273 ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ ЗИГЕЛЯ Го Е Е(а«) Р! Е Я(о!) РФ Е Я(а2) ае а! ~( а««( — ! а» МИ ' Рис. 2. Так как ~ „>е)3„-! < С (см.
приложение), то универсальная константа, которая прибавляется к ~(а„), ие имеет никакого значения и предыдущее арифметическое условие превращается в +00 ~ ~)3„! )ок а„< +оо. !»=О Это условие о (смотри арифметическое приложение) теоремы Зигеля — Брюно. Рисунок 2 схематически резюмирует идею доказательства.
На каждом этапе отображение возвращения Р„+! помнит о динамике отображения Г„только выше ~(а„). Отмеченные области, где информация о динамике пропадает, соответствуют иа полуплоскости, где действуег г' = Ре, областям, которые «складываются» и толщина которых мажорируется величиной )»„! (!(а„) + С). Далее, если высота этих складывающихся областей ие превосходят некоторой фиксированной величины, то точка, находившаяся выше и покидающая Н за пе итераций отображения Г, должна пересечь все эти области.
Оиа соответствует точке, покидающей Н за п! итераций отображения г! и т.д. Так как пе > п! » ... О, получается противоречие. 4.2. Построение нелинеаризуемых ростков 4.2.а. Присоединение нелинейности. Принцип получения оптимальных диофаитовых условий состоит в том, чтобы обратить конструкцию отображения возвращения. При переходе от Р„»! к 274 Рикардо Перес-Марко Рис. 3. Е„нужно реконструировать нелинейности Г„выше 1(а„), препятствующие уменьшению г(о„). «Типичная» нелинейность создается неподвижными точками с динамикой, подобной изображенной на рис.
3. Напомним, что оценка (*) из и.4.1.а показывает, что 1(ои) > 0 мажорирует мнимую часть неподвижных точек отображения Р„. Мы покажем, как «приклеить» неподвижные точки к Г„+ы Но сначала опишем, как восстановить Р„+1 без приклеивания неподвижных точек. Мы отправляемся от С Е 5(о) и хотим построить Е Е 5(1)) с )1 = а+а, 0 < о, В < 1 и а Е Х' (напомним, что а„' = аи~»1+аи~ы). Положим С(г) = С(г) + а, д Е Я(о+ а) = Я(11 '). Имеем В ' > 1, и выше некоторой высоты С > 0 д приближается трансляцией а»« а + )3 '. Рассмотрим полуполосу В', ограниченную 11 — — [1С, +1оо[, д(11) = 1а и [1С,д(гС)). При склеивании 11 и 1а посредством С мы получаем риманову поверхность Б', являющуюся полуцилиндром, т.е. биголоморфную Р— (0). Трансляция Т(а) = а+ 1, коммутирующая с С, индуцирует однолистное отображение на некоторой области в 8', являющейся окрестностью точки О.
Затем выбираем униформизацию и: 5' -» Р— (0), сопрягаем динамику, норма- 275 ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ ЗИГЕЛЯ г( с) с Рис. 4. лизуем (однолистность на Р) и поднимаем на Н, чтобы получить динамику Г' Е о'(р). Построение, которое мы описали, обращает построение отображения возвращения, но не приклеивает неподвижных точек. Для того чтобы это сделать, продолжим полуцилиндр В' до цилиндра В. При дальнейшем построении мы рассматриваем полосу В, ограниченную (ы 4,1з =] — гоо,зС] и (4 — — 1з + (д(гС) — зС), см. рис. 4.
При построении есть определенная свобода: можно взять в качестве (я образ 1з под действием произвольного однолистного отображения, близкого к г н г + В ' и коммутирующего с Т. Это позволяет фиксировать класс аналитической сопряженности отображения возвращения в окрестности неподвижной точки, которую мы строим. Теперь, склеивая (1 и (з, как ранее, а затем (з и (4 посредством отображения х ~ х+ (д(гС) — гС), мы получаем, как легко видеть, риманову поверхность В, являющуюся цилиндром, т.
е. биголоморфную С вЂ” (О). Трансляция Т определяет на Ю отображение, однолистное вне некоторой окрестности Х точки, соответствующей ~С; пусть это будет у:  — Х -~ В (рис. 5). Как и ранее, униформизуем В посредством отображения к: 8 — > С вЂ” (О, А) так, что й(Х) остается вне Р и точка А находится так близко к О, как возможно.
Точка О соответствует +гсо на В, а точка А соответствует — все. Эти требования необходимы для того, чтобы выполнялись следующие условия: 276 Рикардо Перес-Марка Рис. 5. 1. Сопряженное отображение ко ус)е ' определено и однолистно на ху. 2. Нелинейность, соответствующая неподвижной точке А, приклеена настолько близко к началу, насколько возможно.
В этом месте необходимы оценки униформизующего отображения 1с. Чтобы их получить, рассмотрим кольцо А, изображенное на рис. 4. Одна связная компонента его дополнения содержит Х, а другая содержит 0 и А. Оценивая максимальную длину пути, соединяющего две границы кольца, получим, что его модуль оценивается снизу величиной — ' 1оя р ' — С. Если мы выберем )с так, что ЙЩ й ху ~ О, то решение экстремальной задачи Тейхмюллера дает оценку 1А~ < Са. Далее, поднимая отображение 1с о у е й з на Н, получаем отображение Г е 5()1), откуда следует, что имеется неподвижная точка с мнимой частью порядка — ' 1оя)3 ' — С. Это, с точностью до универсальной константы, оптимальная высота, на которой можно надеяться приклеить неподвижную точку. На самом деле, как мы видели при доказательстве теоремы Зигеля— Брюно, всегда можно положить |(13) = — ' 1оя~3 ' + Се.
Заметим, что оценки, полученные для униформизации, не завышены: такие же получаются, если мы рассматриваем С(г) = г + о; в этом случае имеются явные выражения для Й. Итак, мы выполнили первое построение, С является отображением возвращения для Р, и мы получаем также ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ ЗИГЕЛЯ 277 Предложение. Пустпь О < а < 1,а Е Х'„3 =,1 и С Е 5(а). Тогда существует Е Е 5()д), такое, чтао (1) Е имеетп неподвижную точку го Е Н с 1шго > 1 1об~У 1 — С; (2) если С имеет периодическую орбитау с числом вращения р(у, т.е. Сд(г) =г+р су>1, рЕ Е и ппп 1шС1(г) > Со, 1<1<д то Е имеет периодическую орбиту с числом вращения Ц(а+р/у) и 1 ппп 1птР(г') > 13 ппп 1тпС1(г) + — !оба ' — Со.
1<1<ад-~-р — 1<1<д 21г 4.2.Ь. Индукции и переход к пределу. Как в нашем доказательстве теоремы Зигеля — Брюно, остается провести индукцию. Начиная с О < а < 1, определим последовательность (а„)„>о. Зафиксируем и > О и положим Ет„+1 = г + а„+1 Е Е(а„+1). Для этой трансляции мы присоединяем неподвижную точку, как описано в п. 4.2.а. Получаем отображение Е„„Е 5(а„) и по индукции строим е„1 е 5(а1), отправляясь от е„,тд.т. применяя индукцию к предложению из п.
4.2.а, получаем Предложение. Пусть т > О. Если О < и < т и р„/у„— хорошая подходящая дробь (см. арифметаическое приложение), тпо Е„, о имеет периодическую орбиту с числом вращения р„(у„и 1 ППП 1ШР",„О(гп) > ~~~ Д 1 1Ойа, — С. Мы должны сделать предположение, что р„/у„— хорошая подходящая дробь, чтобы превратить неподвижную точку Е„, „ 5(а„) в орбиту отображения Е„,,о с числом вращения р„/у„. Напомним, что а ф В, если и только если множество хороших подходящих дробей бесконечно. Наконец, мы выберем сходящуюся подпоследовательность из (с„о)„йо с о(а).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
