Труды семинара Бурбаки за 1992 г (947406), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Рассмотрим на А 1-форму о = тг(о и симплектическую форму ы = гго = ггт А сШ. Пусть Р: (о, т) + (0(г), т), Я(6, т)) — диффеоморфизм цилиндра А, изотопный тождественному. Запишем его первую координату в виде Ег(д, т) = д+ ф(В, т), ф Е С~(А). ~г УОССОг 2Еае-СЬПЕГОрЬЕ. ГГагаПХ дЕ НЕППаП ЕЕГ ГОГЕЕ ВжаПаеег. — 94ГПГПаГГЕ Вопгвам, 1991 — 92, пе 734, Аесвпаяпе, 206 (1992), р. 311-344. РАБОТЫ ЭРМАНА ОБ ИНВАРИАНТНЫХ ТОРАХ 293 Определения. Ддффеоморфизм Е называется ° монотонно положительным (соотв. отрицательным), если д,ф > 0 (соотв.
д„ф < 0) на А; ° симплектпическим, если Е*ш = ьц ° точно симпаектическим, если 1-форма Е'и — и является точной; ° вполне интегрируемым, если Я(е,т) = т и ф(у, т) = 1(т) не зависит от у. 1.2. Теория Виркгофа [В1, Н19, Г, 13]. Пусть à — монотонно положительный диффеоморфизм цилиндра А. Первая теорема Виркгофа. Если график функции ф Б Со(Т1) инвариантен относительно Е, то ф липшицева и — '(Е-'(й,ф(В))) > Пф(д) > — — (В,ф(В)) д,Н двВ д,ф д,ф для почти всех о Б Т'. Предположим теперь, что Е является также и симплектическим (достаточно, чтобы Е сохршгял некоторую меру Радона, положительную на открытых множествах).
Вторая теорема Виркгофа. Предположим, что Г сохраняет открытое подмножество У С А, обладающее следующими свой- стивами: ° существуют такие то,ты то < ты что Т' х ( — со,то) С У С Т х ( — со,т(); ° У диффеоморфно А; ° У совпадает с внутренностью своего гамыкания. Тогда граница множества У является графиком некоторой (липшицевой, согласно предыдущей теореме) функции ф 6 Са(Т1). Следствия.
Пусть Š— симплектический монотонно положительный диффеоморфизм цилиндра А; для то > 0 рассмотрим множество С(то) простых кривых, гомотопных сечению (т = 0) в А, инвариантных относительно Г и содержащихся в полосе Т' х ( — то, то). Всякая кривая С Б С(то) представляет собой график некоторого отображения фс, являющегося липшицевым с постоянной, не превышающей К(то). Объединение всех кРивых С Б С(та) компактно, Жан-Кристоф Йоккоз 294 как и множество всех отображений фс [отиосительио Се-тополо- гии). Положим Р'[0 тдс[0)) = Ус(0) Фс[УС(0))) и обозначим через рс число вращения отображения ус. Множество значений рс также является компактным.
Кроме того, если рс иррационально и кривая С' б С(тв) отлична от С, то либо рс ( рс, фс <Фс,либорс >Рс,фс >Фс Замечание. Для того чтобы множество С[те) было иепустым, необходимо, чтобы Е был заочным симплектическим диффеоморфизмом. Однако это требование ие является достаточным, как показывает следующий пример: та[0,т) = [0+т,т+соа2я[0+т)), Ге"(О,О) = [О,п). 1.3. Диофантовы кривые: нормальная форма Биркгофа. Для у > О, т > О положим СР[ у, т) = [о й гь; ~гд > 1, 'гр й Е, [во — р[ > ув СП[т) = ] [ Си[у,т), СВ = [ ] СП[т). з>о Число о й Сгг называется диофантовмм.
[Простая) кривая С, иивариаитиая относительно диффеоморфизма Г, называется диофантповой, если ограничение г*]с сохраняет ориентацию кривой и число вращения этого ограничения диофаитово. Если диффеоморфизм г' и кривая С гладкие, то по теореме о глобальном сопряжеиии диффеоморфизмов окружности [НВ, 1т] иа всякой диофаитовой кривой С существует координата 0 й Т', такая, что ограничение г'[с является сдвигом относительно этой координаты. Предложение [В2].
Нустаь г' — симплгктический диффсаморфизм цилиндра А, изотаопнмй тождеставенному, и С вЂ” инвариантная диофантова кривая, гомопюпнвл нулевому сечению [т = О). Для всякого целого и > О сущеставуст симплгктичсский диффеоморфизм Н цилиндра А, изотпопный тождественному, такой, что Н[С) = (т = 0) и п Н Р Н '[0,т) = О+ ~ бт'+о,т +0[т"+'), 1 РАБОТЫ ЭРМАНА ОБ ИНВАРИАНТНЫХ ТОРАХ 295 где о Б СР— число вращения ограничения Г]О, а числа Ьи ю' > 1, однозначно определены (инвариантм Биркгвфа). Говорят, что кручение диффеоморфизма Г вдоль С положительно, если 61 > О, отрицательно, если 31 < О, и вырожденно, если ь, = о.
Упражнение. Если симплектический диффеоморфизм Г монотонно положителен, то его кручение вдоль любой инвариантной диофантовой кривой, гомотопной сечению (т = 0), положительно. Если кривая не гомотопна сечению (т = О), то это не обязательно так. 1.4. Теорема о сдвинутых кривых. Теорема о сдвинутых кривых, принадлежащая Рюссману [Н1, Н9] — это более гибкая форма теоремы Дж.
Мозера [Мо1] об инвариантной кривой, справедливая без предположения о консервативности системы. Пусть 1 (у, т) = (0+1(т), т) — вполне интегрируемый диффеоморфизм цилиндра А. Предположим, что число 1(0) = о диофантово и что Р(0) 1е О. Для р Б Н обозначим через Т„сдвиг (у, т) т (у, т+ р) цилиндра А. Теорема. Для диффеоморфизма Г цилиндра А, достатаочно близкого к Ь в С -топологии, существуют вещественное число РР, близкое к О, и функция фР 6 С' (Т ), малая в С'ь-топологии, такие, чтао график функции зрР является кривой, инвариантной отаносительно диффевморфизма Т„о Г, и число вращения этого диффеоморфизма есть о. Замечания.
1) Отображение Г ~-т (НР, фт), определенное в окрестности диффеоморфизма Ь, является хорошим отображением класса С в смысле Р. Гамильтона [На1, Н10, Во]. 2) Пусть т > О, у > О, б > О. Предположим, что у(т) ф 0 для т й [ — б,б], и положим К = 1([ — б,б]) П СР(у,т). Тогда для всех 1с > 2т + 3 существует окрестность диффеоморфизма Ь в С"-топологии, в которой утверждение теоремы верно для всех чисел вращения из К. Зависимость функции фт и числа РР от числа вращения является гладкой в смысле Уитни [Ва, Ро]. 3) Пусть à — точный симплектический монотонно положительный диффеоморфизм цилиндра А и о — вещественное диофантово число.
Жгн-Кристоф Йоккоз 296 ° Если г' не сохраняет ни одной кривой, гомотопной (г = О), с числом вращения а, то и ни для какого возмущения диффеоморфизма Е таких кривых нет. ° Если г' сохраняет гладкую кривую, гомотопную (т = 0), с числом вращения сг, то то же верно для всякого точного симнлектического возмущения диффеоморфизма Е. 1.5. Области нестабильности. Пусть Š— точный симплектический монотонно положительный диффеоморфизм цилиндра А. Объединение кривых, инвариантных относительно Е и гомотопных окружности (т = О), является замкнутым подмножеством в А. Связные компоненты дополнения, ограниченные парой таких кривых, называются обласпиьни нестабильности диффеоморфизма Е; динамика диффеоморфизма Е в этих зонах понята далеко не достаточно, хотя недавно здесь и получены значительные продвижения.
Описать их в настоящем докладе невозможно; отошлем читателя к работам (Ап,  — Н, Сп, Ь1 — Ь4, М1 — М5). 2. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ СИМПЛЕКТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ 2.1. Симнлектическим многообразием называется пара (М, ы), где М вЂ” многообразие (четной размерности 2н), а ш — замкнутая всюду невыроясденная 2-форма.
Пусть Ю вЂ” многообразие половинной размерности н. Иммерсия у: М -+ М называется лаграноюевой, если у*и = О. Для функции Н 6 С (М) векторное поле Хл, определенное равенством ы(Хл, ) = дН(), называется гамильтоновым с гамильтонианом Н. Если гиперповерхность И в М является поверхностью уровня двух гамильтонианов Нг, Нг на М, то соответствующие гамильтоновы поля Хл„Хл, коллинеарны на г' и орбиты порождаемых ими потоков совпадают. 2.2. Кокасательное расслоение р: Т'Ъ' -+ г' многообразия И снабжено канонической структурой симплектического многообразия: положим ш = до, где 1-форма о в точке С 6 Т"М определяется равенством о(У) = С(Рр(У)), У й Тс(Т*М).
РАБОТЫ ЭРМАНА ОБ ИНВАРИАНТНЫХ ТОРАХ 297 Сечение з: 1' -+ Т*Тт, т.е. 1-форма на т', является лагранжевым вложением в том и только в том случае, когда эта форма замкнута. Предложение [%). Если Ат — вложенное лагранжево подмногообразие симплектпического многообразия М, тпо сущеставуетп симплектпический диффеоморфизм некоторой окрестпностпи подмногообразия Ат в М на окрестпностпь нулевого сечения расслоенил Т" Х (переводящий Н в нулевое сечение). 2.3. Для 2п > к > 0 введем на Тг" г х К~ координаты Вт, Вг,..., Вгп г Б Т', т„..., тг й К.
Для Н й С '(Тг" г х Кг) положим ЧН ='(Ог,Н,...,д,„Н). Пусть А Б СЦ2п, В.) — кососимметричная матрица; симплектическая форма (с постоянными коэффициентами), ассоциированная с А, определяется равенством юл(А17Н, ) = дН(). 2.4. Отождествим Т*(Т") с Т" х Кп и обозначим это многообразие через А". Каноническая симплектическая форма на А" имеет вид ы = ди = ~~~ т(тт Л ддт, и = ~~~ т;ддт. Пусть Š— диффеоморфизм многообразия А", гомотопный тождественному.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
