Труды семинара Бурбаки за 1992 г (947406), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Предложение. Если Р1"(О) 6 С* пе являетсл корнем из единицы, то у" линеаризуемо тогда и только тогда, когда Сепс(У) = С'. В нелинеаризуемом случае легко получаем Предложение. Пусть у неаипеаризуемо, Дг) = ег" г+ С1(г~), о 6 К вЂ” Я.
Тогда /и с Сенс(Д с У и множество Сепс(/) ° плотно в У, ° тина Е и, следовательно, борелевское в У, ° имеет пулевую меру Хаара в У. Если д 6 Сеп1(у) и Рд(0) пе является корнем из единицм, то д пелинеаризуемо. Если д 6 СепЯ) и Рд(0) — корень из единицы порядка д, то дг=Ы. Естественно поставить задачу о строении группы СепЩ) для нелинеаризуемого у: какие подгруппы из У имеют форму СепЩ)? 283 ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ ЗИГЕЛЯ Д. Мозер дает некоторые ограничения: Теорема ]Мо].
Пусть/(г) = ег™г+0(гг) и д Е Сеп»(/) с Вд(О) = ег™. Предположим, чтпо сущестпвуют у,т > О, такие, что при д>1ирЕЕ щах(]да — р],]д11 — р]) > — . 7 Тогда / линеарпзуемо. М. Эрман, который построил несчетные централизаторы в классе гладких нелинеаризуемых диффеоморфизмов окружности (]Не2], см. также ]У4] о других результатах в классе диффеоморфизмов), интересовался, существуют ли такие объекты в классе аналитических отображений. Это показало бы, что диофантовы условия являются необходимыми в теореме Мозера, и дало бы примеры ростков /, таких, что / не является подгруппой конечного индекса в Сенс(/).
Оказывается, что геометрический метод присоединения нелинейностей из п. 5.1 позволяет строить такие примеры. Теорема [РМ2]. Существует канторово множество К С Т = 11/Е и коммутативное семейстпво отображений (/т)щк, таких, что /~ Е о(1) и Ус нелинеаризуемо при С Е КП(1» — Ц)/Е. Множество КО Щ/Е) плотно в К. Канторово множество К порождает несчетную подгруппу С с Т, такую, что С с Сепг(/) при т е К. Конструкция достаточно гибкая и позволяет наложить дополнительные условия: можно потребовать, чтобы все (/ )сея имели одну и ту же последовательность периодических орбит, накапливающуюся к О, или чтобы Л не имели ни одной периодической орбиты, отличной от О, при 1 Е К Г1 (В. — че)/Е.
При построении мы начинаем с семейства вращений и присоединяем нелинейности того же «типа», что и на рис.6. При каждом приклеивании исчезают некоторые интервалы и при переходе к пределу остается только компакт К. Средство, используемое для того, чтобы обойти трудности, состоит в том, что мы одновременно приклеиваем нелинейности к нескольким элементам семейства, благодаря чему числа, принадлежащие К О (К вЂ” СЕ)/Е, являются очень «лиувиллевымик 6. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ НЕКОТОРЫХ ПРОБЛЕМ В этом последнем разделе рассматриваются недавние конструкции — полученные после 1991 г. Хотя и не связанные непосредствен- 284 Рикардо Перес-Марко Рис.
Т. но с предшествующей геометрической техникой, они заслуживают упоминания, так как объединяют три задачи, связанные с малыми знаменателями. Результаты, упоминавшиеся ранее, переходят одни в другие. 6.1. Как получать диффеоморфизмы окружности, отправляясь от голоморфных диффеоморфизмов пространства (С, 0). Если Дг) = ег ' г+ 0(гг) линеаризуемо или а е С1, то легко видеть, что в любой окрестности 0 имеются связные компакты Х, отличные от (0) и такие, что ДК) = К. Оказывается, что это общее свойство: Теорема (П.-М.). Пусть у Е 5(а), сг й В. и 0 < т < 1.
Тогда сущестпвуегл связный коятакт К, 0 к К С Р„, такой, что К О д1у,~а и ДК) = К. Наибольший интерес представляет случай, когда у нелинеаризуемо, и при этом топология компакта К может быть сложной. Г. Виркгоф (В~] показал, что существует К, удовлетворяющее условию 1(К) С К. Теорема доказывается для линеаризуемого 1 (или сг Е С1), а затем мы осуществляем переход к пределу, рассматривая возмущения отображения у. Когда это установлено, можно отметить, что если т ф О, то ивЂ К является кольцом, биголоморфным 1зл — Ь (рис.
7). Пусть йн Вя — Г1 -+ 'в)Р есть К-конформная эквивалентность. Сопрягая 7 посредством а, получаем отображение д = а ' ау оп, которое является гомеоморфизмом некоторой окрестности окружности У в 1зл — Г). Легко видеть, что д непрерывно продолжается на У, д(У ) = У; поэтому по принципу отражения Шварца д определяет аналитический диффеоморфизм окружности У. Можно показать, что р(д) = и = р((). Ясно, что если д линеаризуемо, то и 285 ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ ЗИГЕЛЯ у линеаризуемо, и если у не имеет периодических орбит, отличных от О, то и д не имеет.
Далее, если мы выберем т > 0 достаточно малым, то полученный диффеоморфизм д продолжается однолистно в кольцо, содержащее о1, и модуль этого кольца может быть сделан сколь угодно большим. Мы можем теперь преобразовывать результаты о ростках в результаты о диффеоморфизмах окружности и наоборот.
Более точно, прямые результаты о диффеоморфизмах окружности приводят к соответствующим результатам для ростков голоморфизмов. Пример; из локальной теоремы Йоккоза о диффеоморфизмах окружности следует теорема Зигеля — Брюно. Контрпримеры, построенные для ростков голоморфизмов, приводят к аналогичным примерам для диффеоморфизмов окружности. Пример: если у нелинеаризуемо и не имеет периодических орбит, отличных от О, то и д таково.
Мы видим, что локальные проблемы для диффеоморфизмов окружности эквивалентны аналогичным проблемам для ростков голоморфизмов. Можно также рассматривать глобальные теоремы о диффеморфизмах окружности в рамках теории ростков голоморфизмов .... 6.2. Как получать особенности голоморфных слоений, отправляясь от ростков голоморфизмов пространства (С,О).
Обратная процедура является классической. Для а > 0 рассмотрим слоение окрестности (С, 0) с особенностью в начале, определенное формой ы = х(1 +... )Г(д + оу(1 +... )Нх, где многоточия рбозначают члены высшего порядка. Проколотая ось [д = О] — [0) является слоем. Для достаточно малого е > 0 петля у: [0,1] -+ [д = О), у(1) = (еез ", 0), определяет голономию (отображение последования) в точке (е, 0) на малом диске, трансверсальном (у = О). Мы получаем класс сопряженности ростка голоморфизма у(х) = ез"' х + О(гз) и отображение Н классов сопряженности относительно голоморфизмов пространства (С, 0) слоений указанного типа в классы сопряжеиности ростков голоморфизмов пространства (С, 0). Ж.-Ф.
Матье и Р. Мусею показали [М-М], что Н всегда инъективно. Ж. Мартине и Ж.-П. Рампе доказали сюръективность для о Е ь), а результаты А.Д. Брюно о линеаризации [Вг] дают этот результат для о е В (имеется один клж:с сопряженности). В действительности верна 286 Рикардо Перес-Марко Теорема [У-Р-М]. Но сюръекгоивно. Это значит, что всегда можно реализовать росток 7(«) еа" « + О(««) как голономию слоения описанного типа. Для доказательства рассмотрим универсальное накрытие пространства С вЂ” ((х = О] О (у = 0)), задаваемое отображением Е« . .(«ы «а) (еа "',еа""'). Рассмотрим слоение пространства Са на прямые «1 + «а = сонэк После факторизации С по действию Т,: («ы «а) («1+1,«а) и Та .
(«ы«а) «+ («ы««+1) образ при Е«будет слоением на прямые, задаваемым формой ы = хс(у + саудх. Голономия этого слоения линеаризуема. Пусть 7" («) = е«™«+ 0(««) Е Я вЂ” росток, который мы хотим реализовать, и Е Е Я(п) — его поднятие на Н: г'(«) = «+ се + ф(«). Мы реализуем этот росток как голономию опоения, индуцированного линейным опоением, на комплексном многообразии М, полученном склеиванием сторон фундаментальной области для действий «1 .' («1, «2) «т («1 + 1, «а + ф(«2 + о«1)) и та . '(«1, «2) ~-> («1, «а + 1). Мы рассматриваем эти отображения только в области ((«м «а) Е С«;1ш(««+ о«1) > Со) С С, в которой Е1 и Еа близки к Та и Т«. Проблема состоит в том, чтобы показать„что абстрактное многообразие М биголоморфно окрестности начала координат в С с выброшенными осями координат.
Это верно для С -структуры: существует С -униформизация нужного нам вида, так как можно сопрячь Е1 и Еа с Т1 и Та посредством С -отображения. Отличие униформизующих координат от голоморфных при этом мало (мало д). Если склеивание сторон фундаментальной области произведено хорошо, так что М становится многообразием Штейна, то можно применить метод Л. Хермандера [Но] для решения д-уравнения с оценками. Можно теперь исправить С -униформизацию так, что она станет голоморфной. Так как мы хотим сохранить голоморфное слоение, то мы снова решаем второе д-уравнение для формы, определяющей это слоение.
7. АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ 7.1. Разложение в непрерывную дробь. Напомним сначала обычное разложение в непрерывную дробь (см. [1 а]). Для целого числа х мы обозначаем через [х] его целую часть и через (х) = х — [х] — его дробную часть. Пусть о 6 К вЂ” Я. Положим ао = [са] Е Е, сао = (са) и при и ) 1 287 ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ ЗИГЕЛЯ Пусть Ч-г=р- =1, Ч вЂ” г =р — г = О, и при и > О ~7~ = а~~Д~~ — г + ~7и-г, р„= а„р„1 + р„г. Последовательность рациональных чисел (р„/о„)„>о образует последовательность подходящих дробей для а. Последовательность знаменателей растет тем быстрее, чем лучше а приближается рациональными числами. Далее, определим последовательность ())„)„>Н положим )у г —— 1 и при и > 1 Последовательность ()3„)„>о всегда убывает не медленнее геометрической прогрессии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
