Труды семинара Бурбаки за 1992 г (947406), страница 50
Текст из файла (страница 50)
3.2. Об аналитических днффеоморфнзмах окружности. Проблема Энгеля близка к проблеме линеаризации аналитических диффеоморфизмов окружности. Эвристическое соотношение сформулировано В. И. Арнольдом во введении к его статье [АгЦ: ю .. Проблема центра есть особый случай задачи об отображении окружности, радиус которой, в особом случае, равен нулю... ь (Мы описываем в и. 6.1 конструкцию, делающую аккуратным это эвристическое соотношение меяСву двумя проблемами.) Йоккоз применил свою геометрическую технику к проблеме линеаризации аналитических диффеоморфизмов окружности. 3.2.а. Предварительные замечания. Пусть 7"; У вЂ” э У вЂ” гомеоморфизм окружности, сохраняющий ориентацию; его главным динамическим инвариантом является число вращения р[1) Е К/Е, введенное А.
Пуанкаре. Если 1 — диффеоморфизм, например, класса Сз и р[7') иррационально, то 7 топологически линеаризуем по теореме Данжуа [Не2]. Возникает вопрос о регулярности линеаризующего отображения. Если 7" — аналитическое отображение, то теорема Арнольда [АгЦ (улучшенная Х. Рюссманом [Нн]) утверждает, что линеаризующее отображение является аналитическим для почти всех чисел вращения, если предположить, что у близко к повороту [локвльный результат). М. Эрман [Не2] доказал глобальную теорему (без предположения близости к повороту) в классе С и в аналитическом случае, доказав тем самым одну гипотезу Арнольда. Диофантово условие в классе С было улучшена Ж.-К. Йоккозом [г'3], который дал оптимальное диофантово условие.
В аналитическом случае оптимальное диофантово условие неизвестно. В дальнейшем мы имеем дело с универсальным накрытием окружности У, определенным отображением Е: К вЂ” > У,Е(е) = е~ ". Для Ь > 0 мы обозначаем через о'[о, сх) пространство аналитических диффеоморфизмов окружности У, поднятых на В., имеющих число вращения о Е К и продолжаемых до однолистного 268 Рикардо Перес-Марко отображения полосы (г Е С; [1пы[ < Ь). Множество поднятых аналитических диффеоморфизмов окружности с числом вращения о обозначаем Я(о, 0) = Ц Б(о, Ь). а>о 3.2дь Теоремы о диффеоморфизмах окружности.
Мы отсылаем читателя к арифметическому приложению за определениями арифметических условий 71,'Н(Ь) и В. Заметим просто, что они выражены вполне явно и что Н С Пд Н(Ь) и В = [)а Н(Ь). В дальнейшем линеаризуемость означает аналитическую линеаризуемость. В [У2] имеются результаты трех типов: Глобальная теорема. 1. Если о Е 'Н, то все аналитические диффеоморфиэмы окружности с числом вращения о линеаризуемм. 2. Если а ф Я, то существуют нелинеаризуемме аналитические диффеоморфизмм окружности с числом вращения о. Полулокальная теорема.
Существует универсальная константа Со(= 3), такал, ало 1) если о Е Я(Ь вЂ” Со), Ь > Со и / Е Б(сг,Ь), то У линеаризуемо; 2) если о ф Я(сг — Со), то существует нелинеаризуемое отображение з' Е Б(о, Ь). Локальная теорема. 1. Если о Е В, Ь > — '„Ф(сг) + 3.15 и / Е Я(о, Ь), то З' линеариэуемо и линеариэующее отображение принадлежит Я(1, Ь вЂ” 1 Ф(о) — 3.15). 2. Пусть о Е В и для любви: 0 < б' < б существует число е > О, такое, что если ]1пы] < б, то Щг) — г — о[ < е; тогда 1' линеаризуемо и линеаризующее отображение принадлежит Я(1,5').
3. Если о ф В, то дробь Бляшке Д„,„(г) = рггф~-, а > 3, р()е я) = о, нелинеаризуема. Третья часть последней теоремы показывает, что условие В является оптимальным. Нелинеаризуемость дробей Бляшке выводится из нелинеаризуемости квадратичных полиномов с помощью конструкции Э. Гиса (см. [ОЦ и [1зо]). 4. МЕТОДЫ 4.1. Геометрическое доказательство теоремы Зигеля — Брюно. Доказательство основано на динамическом критерии линеаризуемости — устойчивости.
269 ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ ЗИГЕЛЯ В разных местах появляются универсальные константы. Их точное значение для наших рассуждений неважно. Мы обозначаем их С, Сщ С~ ...и иногда применяем одно и то же обозначение для различных констант. 4.1.а. Отображение возвращения в секторе. Отправным пунктом является следующее замечание А. Дуади и Э. Гиса (см. (11о)): множество (о Е К вЂ” ьЬ; все ((х) = е2™мх+ О(х ) линеаризуемы) инвариантно относительно действия группы оЬ(2,Е), ~ л~х = /а Ьй ах~ЬЬ сз+а Достаточно показать, что множество чисел Зигеля инвариантно при а + — а '.
Доказательство геометрическое. Рассмотрим 1(г) = е2'™г + С(гз) и отрезок 1 = (О,е] с началом в О. Дуги 1 и у (1) образуют сектор в окрестности О, который мы можем замкнуть отрезком 1', соединяющим некоторую точку из 1 с ее образом (см. рис. 1). ~я(х) Рис. 1. Если склеить 1 и у (1) посредством 1, получается топологическое многообразие с границей, гомеоморфное 11. Легко видеть, что его внутренность биголоморфна ГЬ относительно индуцированной комплексной структуры. Отображение первого возвращения в склеенном секторе корректно определено и голоморфно в окрестности О. Мы получаем росток д(х) = ет"чзх + 0(х~). Легко видеть, что 11 = -о ' (чтобы убедиться, рассмотрите случай, когда 1 — поворот).
270 Рикардо Перес-Марко Динамика у отображения возвращения д, с точностью до некоторого числа итераций, та же самая, что и у у. В частности, у линеаризуемо тогда же, когда и д. Это доказывает инвариантность относительно действия ЯЦ2, 2). Можно утверждать большее: если у имеет периодическую орбиту, близкую к О, то д также имеет периодическую орбиту, период и число вращения которой определяются по у'.
Далее, если у имеет «неустойчивую точку», т. е. близкую к 0 точку, убегающую из окрестности О, то ей соответствует «неустойчивая точка» д. Это замечание и количественная реализация предшествующей конструкции приводят к теореме об устойчивости, т.е. линеаризуемости. Начнем с нормализации у е Я . Удобнее работать на универсальной накрывающей множества 11 — (О) с накрытием Е: Н = (х Е С;1шх > О) -+ Р— (0),Е(х) = ез ". Отображение у Е Я поднимается до Е, такого, что ЕоГ = у" оЕ и (1) Г: Н » С однолистно; (2) Е(х) = х + а+ ф(х), где ф есть Х-периодическая функция и 1пп ф(х) = О, т. е.
ее разложение Фурье имеет вид Но«-Н.«о ф() =Еф-" *"' и>1 Легко видеть, что ф экспоненциально убывает, когда 1шх -» +со. Обозначим через 5(а) пространство таких отображений Е. Оно компактно и является универсальной накрывающей множества Я . Для построения отображения возвращения нужно взять вертикальную полупрямую и ее образ под действием Е, образующие границы вертикальной полуполосы. Положим Н, = Н+ мч Отображение Г приближается переносом х» с+а в Н„при больших г.
Если а ф О, то в силу компактности пространства 5(а) существует высота 1(а), такая, что при е Е Нц ~ выполняется фундаментальная оценка (г'(х) — г — а( < —. 4 Легко видеть, что можно всегда положить 1 с(а) = — 1ока '+ С. 2я Наименьшее значение 1(а), при котором удовлетворяется (*), выражает высоту показателей нелинейности отображения Е. Выше этого значения Е хорошо приближается переносом х» х+ а. ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ ЗИГЕЛЯ 271 Показателями нелинейности Г являются, например, неподвижные точки. В силу оценки (*) их мнимые части должны быть меньше 1(а).
Теперь можно определить отображение возвращения в полуполосе В, ограниченной кривыми 1 = [г1(а),+1со[, Г(1) и [гг(а),Г(гг(а))[. Если г Е В, мы итерируем посредством Г, пока не получим ВеГ" (г) > 1. Если 1п1 г > 1(а) + Со, то положим г' = Г" (г) — 1 Е В и отображение г ~-+ г' будем называть отображением возвращения в полуполосе В. Заметим, что нас интересует значение 1(а) только с точностью до универсальной аддитивной константы, т. е. если мы будем рассматривать |(а) + С вместо 1(а), то рассуждения не изменятся. Склеивая границы 1 и Г(1) области В посредством Г, получим риманову поверхность В, биголоморфную П вЂ” (0).
Если ввести подходящую униформизацию поверхности В на окрестности диска П, то динамика возвращения будет определяться отображением д Е о' — (для замены — а ' на а ' нужно изменить ориентацию), поднятым до С е о'(а '). Можно показать, что если имеются точки г Е Н, убегающие из Н под действием итераций отображения Г, то соответствующие им точки г' Е С убегают из Н под действием итераций отображения 0 и 1ш г' контролируется посредством 1гп г. Более точно: Предложение.
Пусть О < а < 1, Г Е 5(а) и1(а) > О таково, что если 1ш г > Г(а), то [Г(г) — г — а[ < а/4. Тогда определенное вите С Е 5(а 1) обладает следующим свойством: если г Е Н,1гпг > 8(а), О < г < и Г'(г) Е Н, но Г" (г) ф Н, то существует г' Е С, такое, что 1) 1ш г' > а '(1гп г — 1(а) — Со); 2) существует т, О < т <и, такое, что 0 (г') ф Н. Оценка п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
