Труды семинара Бурбаки за 1992 г (947406), страница 45
Текст из файла (страница 45)
РгоЫешв апяпб Егош Таге апй Ве1!швоп сои]есгпгея !и СЬе сопгехс оЕ БЬ!пшга чапебев, ш: АпгошогрЫс Еогшя, БЫишга чапебев апй Е-ЕипсС1опя, чо!. П, Регяресйчев ш МаСЬешаг!св, чо!. 11, Асайепис Ргеяв, 1990, 227-252. Варорогг М., БсЬаррасЬег 1»Е., БсЬпеЫег Р. (ейя.) Вепйпвоп'в Сои!ее!всея оп Ярес!а1 Ча!иев оЕ Е,-рипсг!опя, Регвресбчея !п МаСЬешаг)ся, чо1. 4, Асайепис Ргеяя, 1988. ВпЬ|п К. ТЬе»шЫп сои)есгпгев» оЕ 1авяааа СЬеогу Еог ипаб!паху йиайгабс бе!йя, 1вчепг. МаСЬ., 103 (1991), 25 — 68. БсЬпеЫег Р.
1псгойпсгюп Со СЬе Верйпяоп соп)есгпгея, ш [ВББ88], 1-35. БсЬпеЫег Р. Мойчк Еиаяаъа СЬеогу, ш: Ай». БСис1. Риге МаСЬ., чо!. 17, 1989, 421-456. БсЬо!! А.Л. Мойчев Еог шойи!аг Еогшя, 1пчепг. МаСЬ., 100 (1990), 419-430. БсЬо!! А.Л. Вегоах1гя оп вресга1 ча1пея оЕ Е-Еппсг!опя, ш: ЕРппсйопя апй АПСЬшегк, Ргос. оЕ ВпгЬаш Бушровшш, Ьопйоп МаСЬ. Бос. ПЕ»!.Б., чо!. 153, 1991, 373 — 392. Бетте Л.-Р. Расгеигв 1осапх йсв Еопсбопв вега йея чапегея аЕбеЪпгЕиея (йебпйюпя еС соп1есгигсв), Со!!есгей рарегя, чо!.
2, Брппбег-Чег1аб, Вег1!п, 1986, 581-592. [Имеется перевод: Серр Ж.-П. Локальные множители дзета-функций алгебраических многообразий (определения и гипотезы). — Математика, т. 15, 1971, вып. 1, с. 3 — 13.) Бетте Л.-Р., Таге Л. Соой гейпсВоп оЕ аЬе!!ап чапейев, Апп. оЕ МаСЬ., 88 (1968), 492 — 517 [Имеется перевод: Серр Ж.-П., Тейт Дж, Хорошая редукция абелевых многообразий — Математика, т.
15, 1971, вып. 5, с. 140 — 165.) Боц!е С. К-СЬеог!е йев аппеаих й'епС1егя йе согрв йе погиЬгея ег, соЬошо!ойбе есаЕе, 1пчепС. МаСЬ., 55 (1979), 251 — 295. Бои!е С. Оп ЫВЬег р-ай!с гебп!агою, гп: А!бебга!с Л -СЬеогу, Ьесг. ЬЕогевбп МаСЬ., чо!. 854, Брипбег-Чег!аб, Вег!Сп, 1981, 371-401. Боп!е С. К-СЬеойе еС вегов аих ро!пгв епйегв йе Еопсгюпв вега, Ргос.
1СМ Ъахзваиа 1983, РЪЧ51, %агав»ч, 1984, 437 — 445. Боп!е С. Вебп1агепгя, Беиипаие ВопгЬаЫ, ехр. 644, Еечпег 1985. Боп!е С. р-ай!с ЕЕ-СЬеогу оЕ е!!Срйс сигчея, !Лойе МаСЬ. Л., 54 (1987), 249-269. ТаСе Л. А18еЬгак сус!ея апй ро!ея оЕ вега-Еппсг!опв, !п: АПСЬшейса! а18еЬгыс беошеггу, Натрет апй Кои, !Чеи Чог1с, 1965. [Имеется перевод: Дж. Тейт. Алгебраические циклы когомологий. — УМН, т. 20, 1965, с.
27 — 40.) ТаСе Л. Оп СЬе соп)есСпгея оЕ В1гсЬ апй Бачппеггоп-Оуег апй а беошегпс апа!об, Бепипыге ВопгЬаЫ, ехр. 306, РЛчгнг 1966. [Имеется перевод: Дж. Тейт. О гипотезе Верча — СвиннертонаДайера и геометрическом аналоге. — Математика, т. 12, 1968, выи. 6, с. 41 — 55.] 238 Жан-Марк Фонген [Та 79] [Та 84] [В шов] [БСА4] [БСА4.5] [БСА5! ЛЯА»с-Макс ГО)ч[ТА1!»)Е Ып!четв!»е с]е Рапв-Яш1 Аг!Иипес!с!не е1 Сеошевг!е А18еЬг!с!ие С.!»).В..Я. ЛБА В0752 Вас!шеп1 425 Г-91405 ОКЯАУ СЕВЕХ Таге Л.
!»1ишЬег СЬеоге»!с ЬасЬЯгоипй !п: Ргос. Буп»р. Риге Ма»Ь., чо!. 33, 1979, рагс 2, 3 — 26. [Имеется перевод: Тейт Дж. Теоретикшчисловое введение. — В кнк Автоморфные формы, представления и Ь-функции. — Мс Мир, 1984, с. 71 — 112.] Та»е Л. Ьев соп]ес»игев с)е Бва»1с виг !ев Еопсйопв Ь сГАг»!п еп в = О, В!»ЬЬайвег, Вов»оп, 1984.
Бепппа!ге виг 1ев рег!обев р-ас1!»1иев, Авгепвйие, 223 [1993). ТЬеопе с)ев »оров е» соЬошо1о8!е ега)е с)ев всЬешав, йп8е рах М. Аггш, А. Сго»Ьепйес1с ег Л.-1. Чегд!ег, 1еса 1чо»ев 1п Ма»Ь., чо!. 269, 270, 305, Брпп8ег-Чег!а8, Вег!ш, 1972-73. СоЬошо!о54е ева1е, сйп8е раг Р.Ве!!8пе, Ьесп !»1о»св !п Ма»Ь., чо1. 569, Брпп8ег-Чег!а8, Вег!!п, 1977. СоЬошо!о8!е 1-айс1иев ег 1опсйопв Ь, йп8е раг А. Сто»Ьепйес1», Ьеса 5!осев 1п Ма»Ь., чо1. 589, Брпп8ег-Чег1аб, Вег!ш-Хек Уо»1с, 1977. ВЫРЕЗАНИЕ В АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ К-ТЕОРИИ (по А. Суслину и М. Водзицки) Жан-Луи Лоде' ) Пусть А — произвольное кольцо.
Тогда группы К„(А), ~ > О, алгебраической К-теории — абелевы группы, определенные следующим образом. При п = 0 Ко(А) является группой Гротендика проективных модулей конечного типа над А. Для п > 1 К„(А):= яп(ВСХ(А)с), где СЦА) — объединение линейных групп СХ,„(А) (обратимых и х и-матриц) и ВСЦА) — классифицирующее пространство дискретной группы СЦА). Плюс-конструкция Квиллена дает пространство ВСМА)ь, которое является Н-пространством с теми же гомологиями, что и ВСЦА). В малых размерностях имеем К,(А) = Н1(СХ(А)) = СХ(А)/(СХ(А),СЦА)) = СХ(А)/Е(А), где Е(А) — подгруппа в СЦА), порожденная элементарными матрицами.
При п = 2 имеем Кв(А) = Нв(Е(А)). Для вычислений важна возможность сравнивать К„(А) и К„(А/1), где 1 — двусторонний идеал. Определим абстрактно относительные группы К-теории К„(А,1) (см. п. 1.3) как группы, получающиеся из следующей точной последовательности: -+ К„чг(А/1) -у К„(А, 1) -+ К„(А) -у К (А/1) -+ .. -+ Ко(А/1). (0) Тогда возникает естественныи вопрос: зависят ли группы К„(А, 1) только от 1 или они зависят от объемлющего кольца А? На самом деле для всех пЬевдоколец (= колец без единицы) 1 можно определить группы К„(1) следующим образом.
Закон (п,и)(гп,и) = (пт,пи + гпи + ии) превращает Е к 1 в кольцо с единицей (единица = (1,0)), которое содержит 1 в качестве двустороннего ццеала. Положим К„(1):= Кег(К„(Е и 1) -+ К„(Е)). Заметим, что тогда К„(1) = К„((Е к 1), 1). Естественный гомоморфизм колец Е к Х -+ А, тождественный на 1, позволяет переформулировать предыдущий вопрос следующим образом: г>Ьос1ау Яеап-Ьошв. Ехсмюп еп К-1Ьеоие а1яеЬг1япе, сраргев А.зпв11п ег М.ЪЪЪс1в1сЬЬ вЂ” Яегп1па1ге ВопгЬаЫ, 1991-92, и 752, Авынвяпе, 206 (1992), р. 251-271.
240 Жвн-Луи Лоде ° является ли естественный гомоморфизм К„(1) -+ К„(А,1) изоморфизмом для всех п и всех колец А? Если ответ на этот вопрос положителен, говорят, что 1 является К-вырезаемым. Х. Басс [В] показал, что ответ положителен для п = О. Однако это неверно для и > 0 (см. обсуждение в разд. 6).
В [6-%] Суслин и Водзицки дают простое необходимое и достаточное условие для вырезаемости кольца 1 в рациональной алгебраической К-теории']. Определение [%3]. Говорят, что Я-алгебра 1 (не обязательно с единицей) Н-унитарна, если комплекс В. (1): ... -+ 1®"" — '+ 1®" -+ ... -+ 1З,З1 — 'е 1-+ О, гдеЗ = З~ЗиЬ'(аоЗ .За„) = 2 ", о ( — 1)'(аоЗ.. ЗазасесЗ За„), ацикличен (т.е. Н„(В„(1)) = О, п > 0). Заметим, что тогда 1г = 1. Все Я-алгебры с единицей Н-унитарны,так каке: 1о" ' -+.Р", з(азЗ .За„з) = (1®азЗ .За з), удовлетворяет тождеству зЬ' + Ь'з = 16.
Предположим, что для всех конечных наборов элементов ао,..., а„из 1 существует элемент и 6 1, такой, что иа, = а,и = а; для всех т. Тогда алгебра 1, называемая в этом случае локально унитарной, является Н-унитарной. Другие примеры можно найти в ['зт'2]. Для любой абелевой группы М через Мсг мы будем обозначать локализацию М Зя ь1 Теорема 1. Длл любого псевдокольца 1 следующие свойства эквивалентны: (а) 1 Ксз-вырезаемо, (Ь) 1сз Н-унитпарна.
! Отсюда легко вывести следующий результат: Теорема 2. Длл любой й]-алгебры 1 (не облзаглельно с единицей) следующие свойства эквивалентны: (а) 1 Ксз-вьсрезаеыа, (Ь) 1сз Н-унитарна. А. Суслин известил меня, что в настоящее время он записывает доказательство следующего результата для А = Е, Е/пЕ или © П Решение проблемы вырезания для К-теории с любыми коэффициентами приведено в статье А.
А, Суслина [Янэ*]. — Прим. персе. ВЫРЕЗАНИЕ В АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ К-ТЕОРИИ 241 1 является КА-вырезаемым тогда и только тогда, когда Тося" (2, Л) = О. Цель этого сообщения — обозначить главные этапы доказательства теоремы 1 в случае, когда 1 есть Сг-алгебра. В разд. 1 К-вырезание выражается в терминах гомологий группы С1,. В разд. 2 предположение об Н-унитарности связывается сначала с циклическими гомологиями, а затем с гомологиями алгебры Ли дй Общий план доказательства обсуждается в разд. 3.
Разделы 4 и 5 посвящены сравнению гомологий группы С1 и алгебры Ли д1. В последнем разд. 6 затрагивается проблема вычисления препятствия к вырезанию, которая является более общей задачей по сравнению с определением условий, при которых это препятствие обращается в нуль. Всюду в дальнейшем под алгеброй понимается ассоциативная алгебра, не обязательно с единицей.
Прежде чем перейти к доказательствам, приведем здесь одно обобщение полученных результатов, а также некоторое их приложение, содержащиеся в одной и той же статье ~8-%). Теорема 3. Предположим, чтв дяя любого набора из т элементов аы..., а псевдокояьца 1 существуют элементы Ьы..., Ь,„,с,д Е 1, такие, что а; = Ь,сд, 1 < «< т, и левые аннуяятвры элементов сд и с совпадают. Тогда 1 является К-вырезаемым. Одним из замечательных приложений этих теорем является доказательство следующего результата, известного как «гипотеза Каруби». Теорема 4.
Для всех С'-аягебр А существует канонический ивом орфизм К„(.4 й К) — = К„""(.4 й К), и > О. В этой формуле К обозначает С*-алгебру компактных операторов счетномерного гильбертова пространства, й — тензорное произведение в категории С'-алгебр, верхний индекс гор в К„'"Р означает, что речь идет о топологической К-теории, т.е. К„"Р†э я„(ВСЦ вЂ” )), где для построения классифицирующего пространства учитывается топология группы С1,. А вот еще одно приложение в том же ключе, полученное М. Водзицки: 242 Жги-Луи Лоде Теорема 5.
Длл всех С'-алгебр А группы К„(А З )С) алгебраичес- кой К-теории лвллютсл периодическими периода л. Я благодарю Андрея Суслина и Мариуса Водзицки за их комментарии в то время, когда эта статья редактировалась. 1. ОБЩАЯ ЛИНЕИНАЯ ГРУППА И АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ К-ТЕОРИЯ Для всякого кольца А линейная группа СВ„(А) — это группа обратимых и х и-матриц с коэффициентами в А. Окаймляя матрицу нулями и одной единицей, получаем вложение з„: СВ„(А) + СВ„+з(А).
Индуктивный предел этих вложений есть по определению группа СЦА). Рассматриваемая как дискретная группа, СЦА) допускает построение классифицирующего пространства ВСЕ(А) (пространства Эйленберга — Маклейна типа К(СЦА), 1)), гомологии которого обозначаются через Н. (ВСВ(А) ) или Н,(СВ(А)). Квиллен показал, что можно изменить пространство ВСЦА), прибавляя к нему клетки, таким образом, чтобы из нового пространства ВСМА)т сделать Н-пространство без изменения его гомологий (см. [(4] или [1 1]).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
