Труды семинара Бурбаки за 1992 г (947406), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Е-линейную категорию, получающуюся из ММр,~Щ) расширением скаляров Е) — > Е. Объект М категории ММр,1(Е) удобно рассматривать как комплекс [Х вЂ -~ Я], где Х вЂ” конечномерное векторное пространство над Е, снабженное дискретным действием группы Ср, Я вЂ” полуабелево многообразие над Е, снабженное вложением Е в С! Зх Епбр[5), и и: Х -+ ь! Зх Е(7) есть Е-линейное бр-эквивариантное отображение. Для каждого 1-мотива М = [Х вЂ” "-~ Е] над Е с коэффициентами в Е можно определить [!ос.с1!) его весовую фильтрацию и связать с ним его реализацию де Рама Мял [это алгебра Ли универсального расширения мотива М с помощью векторной группы, тогда как касательное пространство к М вЂ” это алгебра Ли многообразия 5), реализацию Бетти Мн,р (называемую реализацией Ходжа в!ос.с11) для любой бесконечной точки р поля Е и реализацию Галуа Му [имеем Му = 1пп М„, где М„= 1(х', в) Е Х х Е[Г)[и(х) = пэ)/((пх, и[х))[х Е Х)) Известно также [Впгев], как определить изоморфизмы сравнения, и можно показать, что таким образом пол[ чается объект категории Ср(Е).
Эта конструкция является функториальной. Из гипотезы Тейта для абелевых многообразий (доказанной Фалтингсом, см. [Ве83]) можно легко вывести, что функтор Кеа!: ММрл [Е) — э Ср[Е) является вполне строгим и потому индуцирувт эквивалентность между категорией ММр1 и ее существенныМ образом, который мы обозначим через ЕМр,(Е). Этот образ содержит объект 1р,н (являющийся реализацией [Е -+ О]) и является, устойчивым относительно М ~-+ М'(1). Если М = Беар[[Х -т Е]), то всякий элемент ~э Е С!З 5(Е) опре! делает некоторое расширение 1р н = Ней([Е -д, О]) с помощью М, (иаб а именно Веа![[Х Ю Е вЂ” '-+ о!), где в(1) = в. Это расширение расщепляется тогда и только тогда, когда в Е н(Х) Отсюда получаем точную последовательность Х вЂ” + Олэр(Г) — + Нэгм !В1(Г,М!) — + О. 214 Жан-Марк Фантен 8.2.
Если М вЂ” объект категории ЯЛ)сз „(Е), то Ь"л(М) = 0') для всех т,з, кроме, возможно, т,з Е ( — 1,0). Кажется разумным предположить, чта ЯМр)(Е) — зто в точности подкатегория в ЯМр(Е), образаваннав темп абвектами М, длл, которых йсл = О, если г (с (О, — 1) или з к (О, — 1) . В частности, ЯМрб(Е) должна быть подкатегорией в ЯМр(Е), устойчивой относител)(но взятия подобъекта, факторобъекта и прямой суммы и такой, что если она содержит М, то содержит и любое расширение 1р к с помощью ЛХ. Таким образом, она должна быть )"-допустимойг), т.е.
любой объект М = Кеа!((Х -"р Я)) должен удовлетворять гипотезе С„'(М) для каждой точки Л поля Е. Нетрудно видеть, что это действительно так, если точка Л архимедова. Если же Л конечна, то можно проверить, что отображение Ел е)н Н" (Р, М) — ) Н~(Е, Мт) является изоморфибмом, в то время как отображение))Ел Зк Н~у(Е,М) — ) Н'(Р,Мл) инъективно. Пусть Я вЂ” рас)пиренне абелева многообразия А с помощью тора Т; тогда сюръективность последнего отображения для всех точек Л, делящих данное прес~ее 1, эквивалентна (см. [ВК90, Ргор.
5.4!) конечности 1-примарно)( компоненты Ш(А)(!) группы Шафаревича абелева многообразий А, Ш(А) = Кег()с)'(Е, А(7)) — ) Ц Н'(Рр, А(Рр))). рез(р) Следовательно, справедливо Предложение. Категорил ЯМр) (ьг) является у -допустимой тогда и только пм(гда, когда для любого абзлева многообразия А над Е и любого простого числа ! группа Ш(.4)(!) конечна.
Если это так, то Я)Мк))(Е) также являетсл /-дот)устимой. Кроме того, уже установленных свойств категории ЯМр (Е) нам достаточно для того, чтобы построить точную последовательность зу л(зг) для л(обого объекта М категории ЯМз ) (Е) и любой точки Л Е Я (Е), дйже и не предполагая конечности групп Шафаревича.
) ) Можно определить числа Ходжа произвольной лютивиой структуры М, положив Л" в(М) = б)пц(НН" (М)/си"+)(М)), есяи М вЂ” чистая структура веса т + з, и 6™(М) = 6"л()ет~"' М) в общем случае. т) Мы будем писат Й'(Н, М) = Н) з~(Н, М) и Н~~(Н, М) Дмз ~(е) и;м „„(М) ЗНАЧЕНИЯ б-Ф»НКЦИЙ МОТИВОВ В ЦЕЛЫХ ТОЧКАХ 215 8.3. Положим Е = ь4 и рассмотрим некоторые частные случаи. а) Случай М = 1л с) = йеа1([(Ч -+ О]). Тогда М*(1) = 1Г,О(1) = Кеа1([0 -» тв ]). Имеем Н~(Г, М) = ь), 'Н~(Г, М) = Н'(Г, М) = О, Но(Г М'(1)) = О, Н'(Г, М'(1)) '= ь! З Г', тогда как Н~(Г М'(1)) отождествляется с (4-векторным подпространством (4 З (/и в (4 З Г*, где (/р обозначает группу единиц числового поля Г. Для любой точки р Е Н (Г) имеем Мв р — — С! с тривиальным действием группы Сл и (м = О, так что ам является нулевым отображением, Кегсгм = ®р з (я) К и Со)сегсвм = О.
Точная последовательность лг (М) сводится к последовательности 0 » К вЂ” + ® К вЂ” » (КЗВ Нл)* -+ О, Рея (Р) где К вЂ” + сг)р з (к) К вЂ” диагональное отображение, а следующее отображение является сопряженным к К-линейному отображению, получающемуся расширением скяляров нз отображения (/к — » ® К, вез (Р) котоРое пеРеводит и в (!ой][н[[р)вея Функция Т (М, л) совпадает с функцией ДГ, и) числового поля Г. Гипотеза С„(М) утверждает, что если г = )го' (Г), то ДГ,л) имеет в'точке л = 0 нуль порядка г — 1; гипотеза Срв(М) утверждает, что если ны из,..., и„з — линейно независимая над Е система единиц поля Г, рырт,...,р„г — различные элементы из 5 (Г) и Н = с!е1(!ой []и;[[ее), то ~*(Г, 0)/Н* Е ь!", тогда как техника, кратко описанная ниже в равд.
11, позволяет интерпретировать гипотезу Снк(М) как утверждение о том, что если е — индекс в Нр подгруппы, порожденной набором (ие), и )с — число классов поля Г, то ~*(Г, 0) = хНЬ/е, что хорошо известно (см., например, [Та84, СЬар. 1]). Ь) Случай 1л,О(1) = Кеа![О -+ б ].
Этот случай является едвойственным к предыдущему». Если положить 1 = 2и( Е С, то Мв р — — (4 с для любой точки р 6 Я (Г); следовательно, М+ „= О, ') Гле )! ~]р — обычное абсолютное значение, если точка р венсествениан, и его квадрат, если р комнлекснал. 216 Жан-Марк Фонтен если р вещественная, и Мат р — — ь1 . ( в противном случае. Имеем (м = г'.
Если обозначить множество вещественных (соотв. комплексных) точек поля г' через Ян(Е) (соотв. 5с(Г)), то отображение агаиО) . ® 1с ( — ) гсЗог = ® Н. йг ® С ровс(в) рева(в) реяс(в) переводит (ир ()рев (в) в (О,(ир 2рг()рев (в)). Имеем Кегсгм О и Со1сегам = ®р в (в)1с, что канонически отоясдествляется со своим двойственным и, следовательно, с Кегсг(а„ч) .
Точная последовательность ав (М) является двойственной к ав (1в,()). Имеем Ь(М,г) = ДР, г + 1). Гипотеза С„(М) утверждает, что ДР, е) имеет простой полюс в точке е = 1, Свв(М) утверждает, что если И вЂ” дискрнминант поля г, то Г'(Р, 1) Я/В 6 (.(", и Свк(М) может быть переформулирована с помощью техники разд. 11 как утверждение о том,что ~*(Р,1) =:Е2" . (2л)"'.И ч~ ЬВ/е, что снова хорошо известно (1ос.с11).
с) Случай нетривиального расширения 1в с) с помощью 1вс)(1). Мы будем в дальнейшем предполагать для 'простоты, что В = (,(. Тогда существует натуральное число д > 2, такое, что М ВеаЦ[Я -"р О )), где и(1) = д. Имеем И' аМ = 1() с)(1). Можно записать Мв, = (е .1 Ю (еи; тогда Мв = ( еи, (м = (и, М = (е. Отображение сам переводит и в 1ок(д) и является изоморфизмом. Мотивная структура М'(1) канонически отождествляется с М. Имеем Н~((.1, М) = О, а Ц-векторное пространство Н'Я, М) отождествляется с фактором ь(Э ь(* по прямой, порожденной 1®д.
Положим д = р" ,рг'... р";, где р; — различные простые числа, а г,— целые числа ) 1. Можно проверить, что Н~гЩ, М) отождествляется с (.1-векторным подпространством в Н'(С(, М), порожденным образами элементов 1Эрг. Точная последовательность еб (М) сводится к изоморфизму Н~Щ, М)' на Н~((1, М) „что эквивалентно заданию билинейной невырожденной формы ЗНАЧЕНИЯ Ь-ФУНКЦИЙ МОТИВОВ В ЦЕЛЫХ ТОЧКАХ 217 если положить з;,; = !офр;)(т«и з; = 0 при «)З у, то форма )« звдается соотношениями )«(р«,ру) = (!ой(р,) !о8(ру))/!о8(д) — з;,.
Имеем Ь(М,з) = Дз) . ~(з + 1) П,<«<,(1 — р« *). Гипотезы С„(М), Спп(М) и Снк(М) тогда являются теоремами, которые легко выводятся из результатов о значениях дзета-функции Римана при з = 0 и в = 1. с() Случай абелева многообразия, т. е. случай, когда М Кеа![О -» А), где А — абелево многообразие над г'. Применяя к А функтор ограничения скаляров по Вейлю, можно предполагать, что г' = (в. Легко проверить, что М'(1) отождествляется с М, что схм является изоморфизмом, что Но(ъ1,М) = 0 и что Н~7Щ,М) = Н'(ъв, М) = ъв Э АЩ), так что точная последовательность ву (М) снова сводится к изоморфизму Н)(й),М)' на Н~ (ъз, М)„, а это эквивалентно заданию невырожденной билинейной формы Ь: Кз А(й!) и КЗ А(ъб) — + К. Можно показать (см.
(В!80)), что эта форма является не чем иным, как билинейной формой, отвечающей высоте Нерона — Тейта. Имеем Т,(М, в) = Ьл(в+ 1), где Ьл есть | функция Хассе — Вейля абелева многообразия А. Техника рззд. 11 позволяет показать, что объединение гипотез С„(М) и Спи(М) эквивалентно гипотезе Берча — Свиннертона-Дайера'). В последнее время в доказательстве этой гипотезы достигнут значительный прогресс (см. (Ко90, Ре89, Сг91, Кп91]). 9. МОТИВЫ ГЛАДКИХ ПРОЕКТИВНЫХ МНОГООБРАЗИЙ 9.1.
Пусть Х вЂ” гладкое проективное многообразие над (,З з). Будем изучать мотивные структурыз) Н'(Х)(т), где т, т Е Е и ! > 1. Если М = Н'(Х)(т), то двойственность Пуанкаре вместе с «трудной» 1~ В предположении конечности группы Ш(А), которая необходима для придания смысла как гипотезе Сок (М), так и гипотезе Верча — Свиннертовачйайера. з~ Случай гладкого проективиого многообразия У над г сводится к данному, если взять за Х ограничение скзляров по Вейлю для У. »1 Я слегка лукавлю: при сопоставлении Н'(Х)(т) объекта категории Сз(С)) могут возникнуть проблемы в точках плохой редукции.
218 Жам-Марк Фомтен теоремой Лефшеца позволяют отождествить-М'(1) с Н'(Х)(1+1— гп). Мы будем изучать одновременно гипотезы для М и М'(1), т. е. значения Б(Н'(Х), г) в точках г = т и г = и, где и = г + 1 — тп, так что можно считать, что тп < (1+ 1)/2 < и. Заметим, что М является чистой структурой веса 1 — 2т, тогда как М*(1) — чистой структурой веса 1 — 2п. 9.2. Предположим сначала, чтао пт < г/2, откуда вытекает, что М имеет вес > 1 и М'(1) имеет вес < — 3. Получаем, следовательно (п. 7.1), что Н~1Щ,М) = О, гмЧО = О и гм с(ппс~Н~1(Я,М"(1)) = с11щнКегом = 81щнСо1сегом.91 '. Можно пРовеРить, что Со1сегам*(О„= Нгл(Х)н((УЫ"Нги(Х)н + Н' (Х(С), Щп))н) отождествляется с группой когомологий Делиня Н+'(Х~р„Б.(п)) (см., например, [Бс88; да88, ~4]). По модулю обычных гипотез о функциональном уравнении для функции ЦН'(Х),г) (ор.
с1ь., Я1) гипотезы С„(М) и С„(М*(1)) являются теоремами, а гипотезы Сов(М) н Сон(М'(1)) эквивалентны (ситуация со связью между Свк(М) и Свк(М'(1)) является несколько более деликатной, см. разд. 12). Легко также проверить, что М является критическим тогда и только тогда, когда Н,'~~(Х~н, Щп)) = О, и что в этом случае Срв(М) и Сов(М*(1)) являются частными случаями гипотезы Делння [Ое79, соп).
1.8]. 9.3. Чтобы прояснить связь с гипотезой Бейлинсона, напомним (см., например, [Яо85]), что для любого г е г1 на К„(Х) 8 Я определены опеРации Адамса (фк)„еы- и К,(Х) З б) = ®уе,„К,(Х)Н~, где К„(Х)Н> обозначает ь)-векторное подпространство в К,(Х)®С1, на котором Ф' действует умножением на аУ для любого а. Напомним также, что Бейлинсон ввел группу мотпнвных когомологий Н'~ (Х, ьг(н)) = К„(Х)ОО и построил некоторое отображение : Н]~~~(Х С1(п)) — тН. +~ (Х7н, Б(п)). Известно также (по крайней мере, если Х имеет регулярную модель над Е, — в противном случае требуется еще одна гипотеза, см.
ор. сйь), что можно определить некоторое Я-векторное подпространство Н'~'(Х,Ц(п))х в Н'„, (Х,Щп)); гипотеза Бейлинсона утверждает, что в данной ситуации гнв инлуцирует изоморфизм с',н,: Б Зс1 Наг (Х ьг(п)) х — а Нй (Х7н, м.(п)) ЗНАЧЕНИЯ б-ФУНКЦИЙ МОТИВОВ В ЦЕЛЫХ ТОЧКАХ 219 и, таким образом, изоморфизм >1>„, между детерминантами этих И;векторных пространств и что если Ьр — «хорошо» выбранный базис в'> г)ебнН'+1(Хун,Щп)), то сУществУет базис ЬА«в с]е1Н'+'(Х, Щп))я, такой, что >1> „(ЬА«) = Й'(Н>(Х), и) . Ьр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
