Труды семинара Бурбаки за 1992 г (947406), страница 38
Текст из файла (страница 38)
В частности, любая короткая точная последовательность Π— > У' — > >' — > >Г" -» О в категории зик(Ь) порождает длинную точную последовательность О » Кегау -» Кегау — » Кегау -> Сокегар — » Сокегау — » Со>«егау» — » О. ЗНАЧЕНИЯ Ь-ФУНКЦИЙ МОТИВОВ В ЦЕЛЫХ ТОЧКАХ 203 (т) Е-векторное пространство конечной размерности Мел, снабженное убывающей фильтрацией (ГтйчМлл)шя Г-векторными подпространствами, причем ЕРРМил = Мил при т «О и ЕтРМлл = 0 пря е » 0; (й) длЯ любого Р Е В (Е) Я-вектоРное пРостРанство МВ р, снабженное действием Ср (положим МВ+ =.
(МВ р)~ ); (ш) свободный Ау Щ)-модуль конечного ранга Му, на котором линейно и непрерывно действует Ср; если для произвольного простого г обозначить через Мт его (-компоненту, то требуется, чтобы она была неразветвленной в дополнении к конечному множеству точек; ()ч) для любого р Е В, (Е) изоморфизм Ау(ь1)[Са)(Рр/Гр)]-модулей тм,р: Ат'(ье) Зе МВ,Р + МУ) (и) для каждой точки р Е о' (г') (р конечно или нет) ем,р . Вил,р ЗО МР Р Влл,р Зр Мент) (гДе чеРез Мр обозначен Яр(СР]-моДУльч соответствУюЩий Мр при конечном р и для К Зс) МВ,Р при бесконечном р), изоморфизм Вил р-векторных пространств, совместимый с действием группы Ср и такой, что для любого т Е Е гм р(ЕтйгВлл,р Зсз Мр) ~~~ (Еей Вел,р Зр Гт(~Мил) если рф оо.
° Если М=(Мил,(МВ,Р)рея.„<р),Му), )Уж(лтлл,()УВ,Р)р«е (р), )Уу) — два объекта в ср,о, то морфизм т): м — Р )У вЂ” зто набор отображений т) = (т)ел, (т)В р)рее тр), т)у), удовлетворяющих всем естественным соотношениям совместимости. 6.2. Категория Ср,о является абелевой Я-линейной категорией. Обозначим через Ср(Е)о категорию, получающуюся из Ср,о расширением скаляров Я -+ Е; таким образом, объект категории Н Предположим, что г = СЕ, и пусть Й вЂ” кольцо целых в Е). Изменяя соответствующим образом обычную конструкцию Вел р (фактически заменив в ней 2р/р2р на П(Х/р2)), можно определить Ат(т2)-алгебру Вел т, снабженную Е-фильтрацией и действием группы Ср, и переформулировать (ч) как требование задания изоморфизма Вел Зп Мн = Вел Эп Мел (где Вел = с х еллп), удовлетворяющего надлежащим условиям. 204 Жан-Марк Фонтен Ср(Е)о — это объект М категории Ся о, снабженный вложением поля Е в ь»-алгебру Сро-эндоморфизмов объекта М, тогда как морфизм в Сг(Е)е -это морфизм соответствующих объектов категории Ско коммутирующий с действием Е.
Если М вЂ” объект в Сг(Е)о, то Мен является свободным ЕЗс» Г- модулем конечного ранга, который мы обозначим через 6(М), каждое Мв р является Е-векторным пространством размерности 6(М), а Ме — свободным АХ(Е)-модулем ранга 6(М). Для кеокдой конечной точки Л поля Е Ел-компонента Мл модуля Ме является псевдо- геометрическим Л-адическим представлением группы Ся размерности 6(М). Назовем касательным пространством к М модуль »м = Мен!ГгЯМел над ЕЗ Г.
Пусть р — точка поля-Г и Л вЂ” точка поля Е, лежащие над одним и тем же р Е ЯЩ); тогда ° если р простое, то Йелр(Мл) отождествляется с (Ел Яо, Гр) Зввк Мея и»м„,р — с (Ел Зс», Гр) Зявк»м; ° если р = со, то положим Мр л = Ел Зн Мр, С-линейное отображение ем,р отождествляет С Зн Мр-л с С Зкв»р Меп; в частности, можно говорить о фильтрации Ходжа и сопряженной к ней фильтрации на С Зн Мр,л. Если Я вЂ” конечное множество точек поля Г, содержащее 5 (Г), то будем говорить, что М допускает Хв-функцию, если все Скмодули Галуа Мл допускают Х в-функцию и эти функции совпадают для всех конечных точек Л поля Е (обозначим тогда эту общую функцию через Х в(М, в)). В случае Я = Я (Г) будем говорить, что М допускает Х;функцию (и обозначать ее через ЦМ, в)). 6.3.
Категория Сг(Е) определяется следующим образом: ° ее обвект — это объект М категории Ск(Е)о, допускающий Х функцию и снабженный возрастающей фильтрацией (весовой фильтрацией) подобъектами (И~»М),ев (такими, что И»М = 0 при» (< 0 и = М при г, » 0), причем если Л (соотв. р) — архимедова точка поля Е (соотв. Г), то Мр л является смешанной Ел-структурой Ходжа над Гр (это эквивалентно тому, что на С Зн Мр л весовая фильтрация, фильтрация Ходжа и сопряженная к ней фильтрация являются дополнительными друг к другу). ° морфизм в Ся(Е) — это морфизм соответствующих объектов из Сг(Е)е, совместимый с их весовыми фильтрациями. Нетрудно проверить, что Ск(Е) также является абелевой Е-линейной категорией. Мы предоставляем читателю возможность ЗНАЧЕНИЯ Ь-ФУНКЦИЙ МОТИВОВ В ЦЕЛЫХ ТОЧКАХ 205 дать определение "объектов М З Ж и Нош(М, Ф) для двух объектов М и Ф категории Ср(Е).
Имеется также единичный объект 1р к (это чистый объект веса О, причем 1ркдн = Е, 1р,к,вж = Е З Е для любого р Е о„(Е) и 1р,ну = Ау(Е) с тривиальным действием группы Сг); двойственный объект М' к М есть тогда Нош(М,1р,к) (и Нош(М,Х) = М* З Х). Мы получаем, таким образом, нейтральную категорию Таннакн нвд Е [0М82, З 21 Разумеется, категория Ср(Е) — это не что иное, как категория Таннаки Ср(Я)<нр получающаяся из Ср(ь1) расширением скаляров ь1 С Е [ВМ82, ~ 3[. 6.4. Если Г' — конечное расширение поля Е, содержащееся в 7, то имеются следующие функторы: функтор расширения скаляров Ехсрур . 'Ср(Е) — ) Ср (Е) и сопряженный к нему функтор ограничения скаляров по Вейлю Неэр гр .
.Ср (Е) -+ Ср(Е) (заметим, что если'Л вЂ конечн точка, то Ехсрур (М)х есть не что иное, как ограничение представления Мх на подгруппу Ср С Ср, тогда как Невр ~р(М)х есть представление группы Ср, ипдуцированное представлением 1ух группы Ср ). Имеем Е(Невр ~к(М), в) = Х (Ю, в). Аналогично, если Е' — некоторое конечное расширение поля Е, то определен функтор расширения поля скаляров с Е до Е', переводящий Ср(Е) в Ср(Е'), для которого существует сопряженный функтор ограничения поля скаляров с Е' до Е. Обозначим через 1(1) обвект Тейгоо категории СО(че) (он явля, ется чистым веса — 2; имеем 1(1)ея = СЕ, 1(1)В = 2кг'.ье; для любого п Е М конечнал группа 2тгЕ/2т~пЕ отождествляется с Л„Щ) с помощью отображения, переводящего 2кг' в еэ" ~", и это дает действие группы СО на 1(1)у = че З- Нш(2кг2/2~ппе ) при очевидном выборе изоморфизмов сравнения.
В дальнейшем положим 1 = 2кю' для бесконечных р; тем самым элемент г определен в Вел р для всех (конечных или бесконечных) точек р поля ье. Объект Тейта 1г,н(1) — это объект категории Ср(Е), получающийся из 1(1) при двойном расширении скаляров. Для любого т Е 1ч обозначим через 1р к(г) г-ю тензорную степень объекта 1р н(1), а через 1р,н( — г) двойственный к ней объект. Для любого объекта М категории Ср(Е) и любого 1 Е Е положим М(г) = М З 1рн(1). Скрученный по Тейту двойственный обвект М'(1) будет играть в дальнейшем важную роль. 206 Жан-Марк Фантен 6.5.
Пусть М вЂ” полная подкатегория категории Ср(Е), устойчивая относительно взятия подобъекта, факторобъекта, прямой суммы, а также перехода М»э М*(1) и содержа|цая 1р,л. Для любого объекта М из М положим Н~(Р, М) = Ноше <н1(1р в, М)(= Ногах«(1пн, М)) и обозначим через Н' (Р, М) Е-векторное пространство классов изоморфизма расширений 1г н с помощью М в категории М. Для любой конечной точки Л поля Е и любого х 6 Н,',„(Р, М) обозначим через хл образ х в Н'(Р, Мл).
Положим Нл«у(Р, М) = (х 6 Н'(Р, М)~хл 6 Ну(Р, Мл) для любой точки Л) и также Нм оу(Р М) = Но(Р М Скажем, что категория М является ~-дбпустимой, если для любого объекта М из М, любой точки Л поня Е'и любого» 6 (О, Ц она обладает следующим свойством С' (М) = С'(М, М): а) если Л конечна, то естественное отображение Ел Зн Нл«,у(Р М) -«Ц(Р Мл) есть изоморфизм; Ь) если Л 6 Я (Е) и Но«у(Р,М*(1)) = Н~л у(Р,М" (1)) = О, то естественное отображение Ел Зя Н(«у(Р, М) -+ Урез (р>Н'(Рю Мл) леляетсл изоморфизмом. 6.6. Назовем подкатегорией Таннаки в Ср(Е) любую полную подкатегорию, устойчивую относительно взятия подобъекта, фактор- объекта, двойственного объекта, прямой суммы и тензорного произведения. Естественно считать, что каждый мотив над Р с коэффициентами в Е определяет некоторый объект в Ср(Е), его реализацию.
В таком случае можно ввести категорию БМр(Е) мотионмх структур над Р с коэффициентами в Е как наименьшую подкатегорию Таннаки в Ср(Е), содержащую любой объект, изоморфный реализации некоторого мотива. Разумеется, когда мы будем располагать подходящим определением категории ММ р(Е), «стандартные гипотезы для смешанных мотивов» превратятся в утверждение о том, что функтор «реализации» индуцирует эквивалентность между категориями ММ р(Е) и БМг(Е). ЗНАЧЕНИЯ Ь-Ф»НКЦИЙ МОТИВОВ В ЦЕЛЫХ ТОЧКАХ 207 «Гипотеза».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
