Труды семинара Бурбаки за 1992 г (947406), страница 37
Текст из файла (страница 37)
4.3. Пусть теперь р — конечная точка поля Р, делящая простое число р, и пусть $' — некоторое Л-адическое представление группы Ср. «Разрежем» комплекс НГ(Рр, р') на два комплекса, чтобы получить. выделенный треугольник В77(Рр, 1') — » ВГ(Рр, р') — » Н7Н(Рр, 1'), характеризующийся тем, что Н'(НГу(Рр,'р')) есть Ел-векторное подпространство Н'(Рр, T) в Н'(Рр,Ъ'), определенное в п. 3.2, Н~(Н71(Рр, 1 )) = Но(Рр, Ъ ) и Н (Н71(Рр, 1' )) — О при» ф О, 1.
Пусть Ор — кольцо целых поля Рр, ур. БресРр — » оресОр и гр. Вресйр — + ВресОр — естественные морфизмы. Если 1 ф р, то ЙГт(Рр, р') = ВГ(lср, »рур, р') = ЯГ()«р, 0р('»')). Этот комплекс можно отождестврть с комплексом, сосредоточенным в степенях О и 1, Ор(Ъ)»Вр(1) (это отображение переводит «1 в (ур — 1)(д)). В частности, «1ес»ВГу(Рр, р') = Ел. Если же 1 =, р и если к обозначает проекцию пространства В„н р С Ван р на Вен р(Р1(оВан р, то можно показать (см., например, [ВК90, ргор.
1.7]), что последовательность О -+ (~р — ~ В„и р » В,н, р Ю (Ван р/Р»2 Ван р) -+ О (*) Жан-Марк Фонтен 198 (где ьер — + В,„!ер †естественн вложение, а следующее отображение переводит Ь в ((сб — 1)Ь, лЬ)) является точной. Если ее умножить тензорно на И и взять Ср-инварианты, то получимю точную последовательность О +Н (Гр 1) ь В (Ъ ) +.0р(Ъг)Ю1~ р +Ну(ЬР 1г) +О которая позволяет отождествить ЛГу(гр, !') с комплексом, сосредоточенным в степенях О и 1, .Ор(Ъ') — + В (Ъ') Е 1,;р. В частности, г1есхЛГу(ГР, И) совпадает с с(ефрр. 4.4. Рассмотрим снова Ех-пучок И на У5. Определим колсплекс ЛГу(1!5, !У), вычисляющий у-когвянвяогии пучка У как С[ — 1], где С вЂ” конус композиции морфизмов Л1 ег (У5, 1' ) — + ® Л1 (Ер, ! ) — р ® Л1 Н (Рр, ь' ).
Ривг рввг Из двух выделенных треугольников ЛГс(У5, Р ) — р Л1 ес(У5, 1 ) — + ® Л1 (гр, И) РЕ5 Л1 у(У5, !') — + Л1 ес(У5, 1 ) — р ® ЛГН(КР, ь ) РЕ5г можно построить третийз> ЛГ (Ув, Ъ ) — + ЛГу (ьг!5, Ъ ) — + ® ЛГг(ЛР,$ ) 9 ® ЛГ(Рр 1 ) РЕ5Г Рея (Р) г1!1оскольку Венке и Вял р имеют бесконечную размерность иад с1р, то нужно или показать, что последовательность (*) расщепляется как последовательность топологнческнх векторных пространств над С)р,или заметить, что можно заменить В„н,р н Вял р на объединение ях С)р векторных подпространств конечной размерности, инвариантных относительно действия Ср. э!для этого нужно использовать аксиому октаэдра из определения трнангулированных категорий. — Прим.нерее.
ЗНАЧЕНИЯ Е-ФУНКЦИЙ МОТИВОВ В ЦЕЛЫХ ТОЧКАХ 199 Из него мы получаем изоморфизм беслНГ/(Нз Ъ ) = Ьл,ег(У) 8 1Мл1У З 1)е1л~ . (а) С другой стороны, вычислить Ну1 (Ня, Ъ'):= Н1 (НГу (Ня, Ъ')) легко: при 1 ф О, 1,2,3 они равны О. Имеем Нуе(Нз, У) = Не(г', Ъ') и Н~(НЗ, Ъ') = Ну1(7, Ъ'). Также ясно, что Нуэ(Нз, Ъ') можно отождествить с' двойственным пространством к Не(Г,У'(1)); для этого сначала заметим, что оба этих пространства естественным образом ЯвлЯютсЯ фактоРами пРостРанства ®рея Н (гР, Ъ') (пеРвое РЕ51 по определению, второе в силу локальной двойственности (см., например, [М186, Сйар. 1, З 2]), отождествляющей каждое НР(РР, У) с двойственным к Н~(ЕР, Ъ" (1)) и позволяющей использовать двойственное отображение к естественной инъекции Не(г, У*(1)) — Р ®„ея Н~(ЕР, У'(1))), и можно проверить, что эти два фактора РЕЯ1 совпадают.
Наконец, если Не'(0з, У) обозначает ядро естественного отображения Нэ(Нз У) + ® Н (лР Ъ ) РЕЗ1 то Н~з(Нз,У) есть прямая сумма Нее(Нз,У) и коядра Йуз(Нз,У) естественного отображения 9 1( Р ) ® ( Р~ )' РЕЗ1 РЕЭ1 Локальная двойственность [1ос.с11[ отождествляет каждое пространство н1(ггчъ') с двойственным к н1(гр, У'(1)), откуда получаем отображение ®„ез Н'(Рр', У) — + Н~У(Ня, Ъ" (1))', а теоремы глобальной двойственности Пуату — Тейта (см. например, [М186, сЬар. П, з 1[) позволяют отождествить его коядро с двойственным к Нет(0з, Ъ') пространством. Если Ъ' является псевдогеометрическнм, то можно проверить, что последовательность Н1(иьУ) е е Н~(рР,У) -Р е н1(г,У) -+ РЕ51 РЕЗ1 — э Н'(0з, Ъ" (1))' — > Н" (Нз,Ъ") -+ О Жан-Марк Фантен 200 точна.
Следовательно, имеем короткую точную последовательность 0 -+ Йут(Нв, Ъ') — + Н~(Нв, Ъ" (1))' — л Но (Нв, Ъ') -+ О. Так как Нут(йЬ, Ъ') = Йгт(йЬ, Ъ') Ю Но (Бт Ъ'), то деглН~(Нв, Ъ'*(1)) отождествляется с де1лНт(Нв, Ъ'). Собирая'все вместе, получаем канонический изоморфизм беслВГу(Нв, Ъ ) = Ьу(Ъ') З Ьу(Ъ" (1)); вместе с (а) это дает канонический изоморфизм между Ьу(Ъ') и Ьл,нр(Ъ'). Мы используем этот изоморфизм для того, чтобы перенести на Ьу(Ъ') норму ) (л нр, определенную на Ьл лр. Б. СМЕШАННЫЕ СТРУКТУРЫ ХОДЖА 5.1. В случае 1 = оо роль (-адических представлений играют смешанные структуры Ходжа.
Если Ъ' есть В;векторное пространство, то положим Ъо С Зн Ъ' и обозначим через т: Ъо -+ Ъо отображение, переводящее х З о в У З о. Напомним (см. [лле71)),.что смешанная В;струкглура, Ходжа над С вЂ” зто конечномерное векторное пространство Ъ' над В с заданными на нем возрастающей фильтрацией (весовой фильтрацией) (И' Ъ') ех В;линейными подпространствами, такой, что И';Ъ' = 0 при 1 « 0 и Иг,Ъ' = Ъ' при 1 » О, и убывающей фильтрацией (фильтрацией Ходжа) (Г1РЪо)сег пространства Ъо С-линейными подпространствами, причем если г'и: обозначает фильтрацию, сопряженную с ГН' (т.
е. фильтрацию в Ъс, для которой г'л( ЪФ = т(Г1РЪ'с)), то фильтрации Ис,, г'Н' и ГЙ' являются дополнительными (т.е. если для любого т Е Е фильтрации, индуцированные на дг~УЪо, снова обозначить через г'Н' и Р'г1', то естественное отображение РН дг ЪФ Ю г'й дг ЪС вЂ” + дг УО, будет изоморфизмом для любого г Е Е). Напомним, что целые т, такие, что уг Ъо ~ О, называются и' весами структуры Ъ' и что Ъ" называется чистой, если у нее есть один и только один вес. Сметанные В.-структуры Ходжа над С образуют очевидным образом В;линейную абелеву категорию БНп(В).
Обозначим через БНо(С) категорию смешанных С-структур Ходжа над С, т. е. ЗНАЧЕНИЯ Ь-ФУНКЦИЙ МОТИВОВ В ЦЕЛЫХ ТОЧКАХ 201 С-линейную категорию, получающуюся из 5НО(К) расширением скаляров. Объект )г этой категории является, таким образом, смешанной К-структурой Ходжа над С, снабженной В.-вложением поля С в ее кольцо эндоморфизмов (обратите внимание, что хотя на соответствующем )г вещественном векторном прес(ранстве задана структура векторного пространства над С, фильтрация Ходжа определена только на гО = С Зн )г).
5.2. Смешаннал структура Ходжа наг) К может быть определена как смешанная К-структура Ходжа над С, на которой задано действие Оа)(С/К). Это равносильно заданию разложения в прямую сумму Ъ' = 'и'+ 6 1г совместимого с весовой фильтрацией и такого, что фильтрация Ходжа происходит из некоторой фильтрации, определенной на )гня = (Ъс)~а~(~ги) = 1г+ Ю с'[г . Получаем абелеву категорию 5НВ(К) и обозначаем через 5НВ(С) категорию смешанных С-структур. Ходжа над К, т.е.
категорию, получающуюся из 5Ни(К) с помощью расширения скаляров В. -+ С. 5.3. Далее на протяжении этого раздела К, Ь Е (К, С), К = 'С, сгк = Оа1(С/К) и )г — смешанная Ь-структура Ходжа над К'). Если Л = С, то положим Ъ'+ = 'гг и )гэн = )гО. Таким образом, в любом случае имеем )г+ = (г~" и )гин = ((гО)~я. Обозначим через 1и,б единичный объект категории 5Нк(1), т.
е. единственный чистый объект веса О, такой, что 1к б = 1+ ь —— Ь. Мы предлагаем читателю дать определения тензорного произведения двух объектов и двойственного объектат). Объект Тей, та 1к г.(1) †э единственный чистый объект веса — 2, такой, что 1кьб(1) = Ь.(2нг), причем 1я,б(1) = 1я,(1)), если К = В,.
Мыбудем обозначать через Ъг*(1) тензорное произведение двойственного объекта к 1' на 1к ь(1). Положим су = 1гкл/Рт(падл. Вложение Тг в гО индуцирует по- ~ еле взятия инвариантов относительно Ск,и перехода к фактору Ь-линейное отображение ау . 'гГ+ — г су. Н Мы будем применять этот формализм в случае К = гв и Ь = Еь, где р Е о (г) и Л Е осе(Ь) (напомним, что гв отождествлено с С). т> Категория огзл(б) является нейтральной категорией Таннаки [РМ82, бей 2дэ[ над Ь. 202 Жан-Марк Фонтен 5.4. Для всякого з Е 11 положим Н'(К, Ъ') = Ехсзн ~с>(1к,ь "') Это Ь-векторные пространства конечной размерности, равные нулю при з ф 0,1. В дальнейшем ядро и коядро отображения а~ будут играть большую роль, хотя казалось бы более естественным рассматривать Н'(К,И)'>, Эти пространства тесно связаны друг с другом; Н'(К,Ъг) = Не(К,ИоЪг), и если И'оЪ' = Ъг, то НО(К,Ъ') = Кегсгу и Н>(К,Ъг) = СО1сегау; отсюда получаем точную последовательность 1-векторных пространств 0-+НО(К, Ъ ) — >Кегау -+Кегауги,у — »Н'(К, Ъ ) — >Со1сегау — »О, н можно показать, что Кегаууи;у отождествляется с двцйственным пространством к Н'(К, (Ъ'/ИгоЪг)'(1)).
Лерко также проверить, что существует совершенное спаривание Со1седо> х Кегау.»> — > Е б. МОТИВЫ НАД Е И ИХ РЕАЛИЗАЦИИ Обозначим через Аг(Щ (соотв. А г(Е)) кольцо конечных аделей поля Я (соотв. поля Е). Положим 14 = К н Вял р —— Рр — — С для любого р Е Я (Е). 6.1. Поскольку точное определение категории ММр(Е) неизвестно, обычно вводят некоторую вполне корректно определенную «достаточно вместительную» категорию, в которой должна содержаться ММ р(Е) и внутри которой пытаются работать (смз например, (1>е90, З 1; Ла90, З 2; ВК90, с)е1. 5.5; ГР91, поге П, З 1;...
)). Та категория, которая используется в настоящее время, обозначается через Ср(Е) и будет определена в следующем пункте. Сначала мы введем категорию Ср,о.' ° Объект М категории Ср,о определяется следующим набором данных: >> Если «забыть» о весовой фильтрации, то можно рассматривать И как объект некоторой аддитивной невбелевой Ь-линейной категории; тогда Кег ау отождествляется с Ь-векторным пространством морфизмов из 1к ь в У в этой категории, тогда как Со>«ег ау классифицирует «расширения» 1к ь с помощью К.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
