Труды семинара Бурбаки за 1992 г (947406), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Но БТ(Уо) легко описать! Его 'сечения над сектором В (поднятым в $) — это голоморфные в В матрицы Рл, асимптотическн равные 1, для которых Рн(г)г~ехр(11(г ~)) гл охра(г '))Сн, где Сн — постоянная матрица. В частности, матрица ехр(Я(г '))Свехр( — ьг(г ')) должна быть асимптотически равна Х в В, и пучок БТ(Уо) кусочно постоянен, причем разрывы могут возникать лишь на линиях Стокса пространства У. Таким образом, в случае общего положения (по поводу общего случая см.
(ВЧ2, МВ2, ЕВ]) классы когомологий пучка БТ(Уо) задаются набором постоянных унипотентных матриц С„, взятых по всем секторам Ь, все недиагональные элементы которых равны О, кроме может быть стоящих на (г, у')-и месте, где г, у — индексы детерминантных факторов, связанных с сингулярным направлением о. Пусть (С ) — такое семейство матриц. Ему соответствует единственная с точностью до К-изоморфизма пара (У, Ф), прннадле- АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ 175 жащая Н'(Б,БТ(Уе)). Поскольку «хорошие» покрытия достаточно мелки (см. [ВЧ2, ЗА.2]), каждая матрица Р (з), соответствующая С (на Б), может быть записана в виде частного (Ф ) '(Ф' ) двух горизонтальных сечений пучка А З Нош(У,Уе) над В,В', асимптотически равных Ф, и притом единственным образом (поскольку тождественный оператор является единственным глобальным сечением пучка БТ(У)).
Другими словами, с Ф и с каждым сингулярным направлением о (точнее, с его прообразом в Б) канонически связаны две фундаментальные матрицы К,(Р) Ф (г)свекра(з ')), 0' (Р) решений уравнения РУ = О, такие, что 0' (Р) = Н (Р)С в 5 . Тем самым мы получаем канонические элементы в1 Е Ап1с(Уэ) (из однозначности их «аналитического» описания следует, что это те же элементы, что и в п. 3.1). Но нормальные формы И~о различных тензорных конструкций И~ нэд У согласованы с соответствующими подсвязностями. Следовательно, автоморфизмы пространств»У~, определяемые элементами эт, тоже согласованы с подсвязностями (по крайней мере, если И' — достаточно общего положения).
Таким образом, мы снова видим, что эт„лежат в группе Галуа Са1(Р). Эта точка зрения позволяет также доказать теорему 3: для любой конструкции 1У над У Се 1(Р)- инвариантное С-подпространство Х' с И~~ задает подсвязность Ке на соответствующей конструкции И~е над Уси если к тому же Х' инвариантно относительно БТе(Р), то ограничения матриц С на Х определяют элемент пространства Н'(Б, БТ(Хе)), который с помощью изоморфизма Мальгранжа — Сибун можно интерпретировать как подсвязность Х в И' с пространством горизонтальных векторов Хэ = Х' (см..
[(,Н]П1). 3.3. Вычисления и замечания. Остается научиться вычислять матрицы Стокса — Рамиса С . При аналитическом подходе операторы повторного суммирования позволяют выразить коэффициенты этих матриц в интегральной'форме, и теорема о вычетах сразу дает ответ (см. [МН1]). Что касается когомологического подхода, одно из его преимуществ состоит в обосновании предельных переходов: пространство Н'(Б, БТ(Ув)) снабжено естественной структурой аффинного многообразия, будучи пространством модулей (классов изоморфизма) пар (У, Ф) (см.
[ВЧ2, ЬН]). Пример 2 (продолжение). Ъгравнение Бесселя,У(о). Этот пример относится к случаю общего положения (в а = со) при й = 1. Сингулярные линии (соответственно линии Стокса) .— это две мни- 176 Даниель Бертран мые полуоси а» = -«', оа = «(соответственно две вещественные полуоси), а хорошее покрытие состоит из интервалов В1 †] 2х,О[, В[ †] — тг,к[, Ва =] — к,х[, Вг †]0,2х[, где Ьт — — ] — х,0[, Ьа =]О, к[. Матрицы Стокса — Рамиса равны ,где сы(с) = ~2ехр(~2Ыс) сов л.с, согласно [МК1, 3.4.12]; с»;(с) = т2 соэ хи, согласно [ВЪ'2, р.
94]. Причина несовпадения — не «ошибка эксперимента», а различный выбор базисных решений (или изоморфизма Ф). (Матрицы в [МКЦ выписаны в базисе а '7ае *'Н„(а), г 'тае" Н„( — г); на самом деле' Н„= Ее(Й,), и мы можем забыть о предосторожностях, принятых в примере 2 в разд.2...). Но это несущественно. Нам достаточно знать, что с,(п) и с «(е) не равны О, чтобы из полученных выражений немедленно, вывести, что при п, не сравнимом с -' шоб Е, группа Стокса, а значит и Оа!(У(и)), совпадает со всей 5Ц2). В этом смысле наш метод, можно сказать, избыточен: он дает точные «формулы связности», тогда как достаточно знать местоположение ненулевых коэффициентов у некоторых унипотентных матриц (см.
[МК1]). Другие примеры, относящиеся к случаю общего положения, можно найти в [МК1] (вырожденные гипергеометрические уравнения порядка 2) и в [ОМ, М1] (обширный класс подобных уравнений высших порядков; см. ниже пример 3). За рассмотрением общего случая мы отсылаем читателя к [Ва2] и [1 В], а здесь лишь отметим, что с теоретической точки зрения этот случай можно исследовать, отправляясь от канонического разложения изоморфизма Ф, индексированного различными звеньями диаграммы Ньютона пространства Епд( и'). В этом случае аналитический подход основан на фундаментальном понятии «мультисуммируемости» [МВ2, ВВВВ], и для него, в частности, необходима соответствующая версия предложения 3(й) (см.
[М-К, Ма2]). Отсюда можно получить «фильтрацию Жевре» на дифференциальной группе Галуа [Ка2], которой при ксгомологическом подходе соответствует фильтрация того же типа на пучке ЯТЯ,) [МВ2, ЬК]. АлГеБРАические ГРУппы и линейные УРАвнения 177 Наконец, один из наиболее интересных аспектов теории Рамиса связан с дикой группой монодромип хц, ростка открытой пунктированной окрестности начала координат [МВ,2, з4, рр.
381, 388]. Эта группа есть полупрямое произведение обычной группы моно-' дромии и группы, являющейся полупрямым произведением группы характеров г-модуля конечного типа в алгебре разветвленных полиномов от г ' и «группы перестроек». Последняя есть группа, ассоциированная со свободной алгеброй Ли, порожденной различными сингулярными линиями. Можно рассматривать образ Са1(Р)' в Апг(рв) как пРедставление гРУппы як, и вывести отсюда [МН2, 1п. 18] обобщенное соответствие Римана — Гильберта между категориями векторных Ке,„,-пространств.со связностью и конечномерных представлений группы кц,. (См. также [МН2] по поводу связи этого аспекта с работами д'Экаля.) 4. РЕДУКТИВНЫЕ ГРУППЫ (ср. [Ка4, Ве]) Результаты этого раздела основаны на весьма жестких свойствах комплексных полупростых алгебр Ли. Идея их непользования является классической (см.
[Кар] и [Ко2] для Ы(2) в применении к уравнениям Эйри и Бесселя). Последние исследования Бекерса, Браунавелла, Хекмана [ВВН, ВН] и Каца и Габбера [Ка3, Ка4] дали новое развитие этому направлению. Поскольку этому сюжету уже посвящена половина книги [Ка4] (содержание второй ее половины мы тоже рекомендуем читателю) и обзор [Ве], наше изложение будет кратким. Предположим, что векторное К-пространство ~' со связностью неприводимо или, более общо, вполне приводимо. По теореме 1 точное представление У~ группы С = Са1(Р) в этом случае вполне приводимо, и С является редуктивной группой, разлагающейся в почти прямое произведение л. РС своего центра а и коммутанта РС.
Поскольку характеристика поля равна О, все представления группы С и, следовательно, все тензорные конструкции над У вполне приводимы, и можно надеяться, что это облегчит нахождение подсвязностей, определяющих С. Например (см. [ВВН, Ве]), если РС бесконечна, то неприводимостн симметрического квадрата ог(\') достаточно для того, чтобы все симметрические степени пространства И были неприводимы, и тогда РС есть вся группа Яь(п) или симплектическая группа Яр(п). Следовательно, важно иметь в распоряжении критерии неприводимости пространства И. Более конкретно, речь идет о том, чтобы выяснить для пространства г', определенного дифференциаль- 178 Даниель Бертран ным уравнением Ну = О, неприводим ли Н в кольце К[д] дифференциальных операторов с козффициентами из К. Это трудная проблема1г> (например, мы не располагаем аналогом леммы Гаусса для кольца С[г, и/дг]), но иногда мы можем.
преодолеть зту трудность с помощью локального анализа. Так, в обозначениях разд. 2, если все детерминантные множители пространства Ч' имеют один и тот же порядок, равный — и, то Р неприводимо над К и, следовательно, К неприводимо над К (о применении к обобщенным уравнениям Эйри см. [КаЗ, 2.2.8, 4]). Пример 2 (окончание). 'Уравнение Бесселя д(о). Если параметр о целый, присутствие логарифма в решении.У„вместе с иррациональностью 2- показывает, что симметрический квадрат проз' странства У неприводим над К = С(г).~Так как 41гпСа1(д(и)) = стаей К(д, У, К)/К > 2, группа РС не может быть. конечной, и, как следует из изложенного выше, Са1(д(и)) совпадает с Я1,(2).
То же самое верно, если и не полуцелое (см. ниже). Напротив, Са!(д(-')) есть тор (функции Эрмита). Вместе с тем зти методы позволяют описать скорее алгебру Лн группы С, что приводит к изучению ограничения представления 1' на связную компоненту Со. Пространство К называется иеприводиммм о смысле Ли, если это представление группы Со неприводимо (иными словами, если К «абсолютно» неприводимо). Приведем типичный результат, взятый из [Ка4] и [Ве], который можно вывести из классификации полупростых алгебр Ли и результата Габбера о подторах в их нормализаторах: Предложение 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
